九年级数学暑假考试试题.docx
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九年级数学暑假考试试题
数学月考卷
一、选择题(每题3分)
1.下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的方程是( )
A.
B.
C.
D.
2.下列事件是必然发生事件的是( )
A.打开电视机,正在转播足球比赛
B.小麦的亩产量一定为1500千克
C.在只装有5个红球的袋中摸出1球,是红球
D.农历十五的晚上一定能看到圆月
3.在同一坐标系中,二次函数y=x2+2与一次函数y=2x的图象大致是( )
4.将二次函数
的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函数表达式是()
A.
B.
C.
D.
5.如图,将Rt△ABC(其中∠B=35°,∠C=90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,使得点C、A、B1在同一条直线上,那么旋转角等于()
A.55°B.70°C.125°D.145°
6.在圆内接四边形ABCD中,则∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
4,则∠D的度数是().
A.60°B.90°C.120°D.30°
7.已知⊙O的半径为2,直线l上有一点P满足PO=2,则直线l与⊙O的位置关系是( )
A.相切B.相离
C.相离或相切D.相切或相交
8.如图,AB是⊙O的直径,∠AOC=110°,则∠D=()
A.25°B.35°C.55°D.70°
二、填空题(每题3分)
9.已知关于x的一元二次方程
的一个根是0,那么a=。
10.如果关于
的方程
没有实数根,则
的取值范围为_____________.
11.请写出一个二次函数,使它的图象满足下列两个条件:
(1)开口向下;
(2)与y轴的交点是(0,2).你写出的函数表达式是.
12.将抛物线y=x2+x向下平移2个单位,所得抛物线的表达式是________.
13.如图,将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED,点D正好落在BC边上.已知∠C=80°,则∠EAB=°.
14.如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B,若∠APB=60°,PA=3.则⊙O的半径是。
15.一个不透明的袋子中装有2个白球、2个黑球(除颜色外没有区别),从中任意摸出2个球,“两球同色”与“两球异色”的可能性分别记为a、b,则a、b的大小关系是_______.
三、计算题(8分)
16.解下列一元二次方程.
(1)x2﹣5x+1=0;
(2)3(x﹣2)2=x(x﹣2).
四、解答题(17、18、19、20每题9分21、22每题10分23题11分)
17.为落实素质教育要求,促进学生全面发展,某市某中学2009年投资11万元新增一批电脑,计划以后每年以相同的增长率进行投资,2011年投资18.59万元。
(1)求该学校为新增电脑投资的年平均增长率;
(2)从2009年到2011年,该中学三年为新增电脑共投资多少万元?
18.在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,
的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点).
⑴画出△ABC关于点O的中心对称的△A1B1C1;
⑵如果建立平面直角坐标系,使点B的坐标为(-5,2),点C的坐标为(-2,2),则点A1的坐标为;
⑶将△ABC绕点O顺时针旋转90°,画出旋转后的△A2B2C2,并求线段BC扫过的面积.
19.在一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小球,其中白球1个、黄球1个、红球1个,摸出一个球记下颜色后放回,再摸出一个球,记下相应颜色.
(1)请用列表法或画树状图法表示出两次所得颜色的所有可能情形;
(2)求两次摸到的球同色的概率.
20.如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象过点A(-1,0),对称轴为过点(1,0)且与y轴平行的直线.
(1)求点B的坐标
(2)求该二次函数的关系式;
(3)结合图象,解答下列问题:
①当x取什么值时,该函数的图象在x轴上方?
②当-1<x<2时,求函数y的取值范围.
21.如图,在
中,AB=AC,以AB为直径的
交BC于点M,
于点N.
(1)求证:
MN是⊙O的切线;
(2)若
,AB=2,求图中阴影部分的面积.
22.某商场出售一种成本为20元的商品,市场调查发现,该商品每天的销售量
(千克)与销售价
(元/千克)有如下关系:
w=-2x+80.设这种商品的销售利润为y(元).
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)在不亏本的前提下,销售价在什么范围内每天的销售利润随售价增加而增大?
最大利润是多少?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?
23.如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在
(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小?
若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)若点E是
(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.
参考答案
1.A.
【解析】
试题分析:
A、△=(-3)2-4×1×1=5>0,则方程有两个相等的实数根,所以A选项正确;
B、△=02-4×1×1<0,则方程没有实数根,所以B选项错误;
C、△=(-2)2-4×1×1=0,则方程有两个不相等实数根,所以C选项错误;
D、△=22-4×1×3<0,则方程没有实数根,所以D选项错误.
故选A.
考点:
根的判别式.
2.C.
【解析】
试题分析:
A、是随机事件,选项错误;
B、是随机事件,选项错误;
C、是必然事件,选项正确;
D、是随机事件,选项错误.
故选C.
考点:
随机事件.
3.C
【解析】∵一次函数的图象过(0,0),(1,2)两点,
又∵y=x2+2的顶点坐标为(0,2),∴选C.
4.A.
【解析】
试题分析:
原抛物线的顶点为(0,0),向右平移1个单位,再向上平移2个单位,那么新抛物线的顶点为(1,2).可设新抛物线的解析式为y=(x﹣h)2+k,代入得y=(x﹣1)2+2.
故选A.
考点:
二次函数图象与几何变换.
5.C.
【解析】
试题分析:
∵∠B=35°,∠C=90°,
∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°,
∵点C、A、B1在同一条直线上,
∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°,
∴旋转角等于125°.
故选C.
考点:
旋转的性质.
6.B.
【解析】
试题分析:
:
∵∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
4,
∴设∠A=2x,则∠B=3x,∠C=4x,
∵四边形ABCD为圆内接四边形,
∴∠A+∠C=180°,即2x+4x=180,解得x=30°,
∴∠B=3x=90°,
∴∠D=180°﹣∠B=180°﹣90°=90°.
故选B.
考点:
圆内接四边形的性质.
7.D
【解析】当OP垂直于直线l时,即圆心O到直线l的距离d=2=r,⊙O与l相切;当OP不垂直于直线l时,即圆心O到直线l的距离d=2<r,⊙O与直线l相交.
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交.
故选D.
8.B.
【解析】
试题分析:
∵AB是⊙O的直径,∠AOC=110°,
∴∠BOC=180°-∠AOC=70°,
∴∠D=
∠BOC=35°.
故选B.
考点:
圆周角定理.
9.-1.
【解析】
试题分析:
由题意知关于x的一元二次方程(a-1)x2-x+a2-1=0的一个根是0,所以直接把一个根是0代入一元二次方程(a-1)x2-x+a2-1=0中即可求出a.
试题解析:
∵0是方程(a-1)x2-x+a2-1=0的一个根,
∴a2-1=0,
∴a=±1,
但a=1时一元二次方程的二次项系数为0,舍去,
∴a=-1.
考点:
一元二次方程的解.
10.
【解析】∵
,∴
.
11.y=﹣x2+2.
【解析】
试题分析:
根据二次函数的性质,所写函数解析式二次项系数小于0,常数项是2即可.函数表达式是:
y=﹣x2+2.
故答案是y=﹣x2+2.
考点:
二次函数的性质.
12.y=x2+x-2
【解析】∵抛物线y=x2+x向下平移2个单位,
∴抛物线的解析式为y=x2+x-2.
13.20°.
【解析】
试题分析:
根据旋转可得AC=AD,∠CAD=∠BAE,
∵AC=AD,∠C=80°,
∴∠C=∠ADC=80°,
∴∠CAD=180°-80°-80°=20°,
∴∠BAE=20°.
考点:
旋转的性质.
14.
.
【解析】
试题分析:
连接OA、OP,根据切线长定理即可求得∠OPA=
∠APB,在Rt△OAP中利用三角函数即可求解.
试题解析:
连接OA、OP
∵PA、PB是⊙O的切线
∴∠OAP=90°,∠APO=
∠APB=30°
Rt△OAP中,
∵tan∠APO=
,
∴OA=PA•tan30°=
考点:
切线的性质.
15.a<b.
【解析】
试题分析:
列表得出所有等可能的情况数,分别求出“两球同色”与“两球异色”的可能性,比较大小即可.
列表如下:
白
白
黑
黑
白
---
(白,白)
(黑,白)
(黑,白)
白
(白,白)
---
(黑,白)
(黑,白)
黑
(白,黑)
(白,黑)
---
(黑,黑)
黑
(白,黑)
(白,黑)
(黑,黑)
---
所有等可能的情况有12种,其中“两球同色”的情况有4种,“两球异色”的情况有8种,
∴a=
,b=
,
则a<b.
考点:
列表法与树状图法.
16.
(1)
,
;
(2)
【解析】
试题分析:
(1)确定a、b、c及△的值,代入求根公式即可.
(2)移项进行因式分解,得两个一元一次方程,求解即可.
试题解析:
(1)∵a=1,b=-5,c=1
∴△=(-5)2-4×1×1=21>0
∴x=
即:
,
;
(2)∵3(x﹣2)2=x(x﹣2)
∴3(x﹣2)2-x(x﹣2)=0
(x-2)(2x-6)=0
即:
x-2=0,2x-6=0
解得:
,
考点:
1.解一元二次方程—公式法;2.解一元二次方程—分解因式法.
17.
(1)30%;
(2)43.89.
【解析】
试题分析:
(1)设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x.根据2009年投资11万元新增一批电脑,计划以后每年以相同的增长率进行投资,2011年投资18.59万元,列方程求解;
(2)根据
(1)中的增长率,计算2010年的电脑投资,即可计算该中学三年为新增电脑共投资的钱数.
试题解析:
(1)解:
设学校新增电脑的年平均增长率为
根据题意列方程得:
解得:
,
(不合题意,舍去)
答:
学校为新增电脑投资的年平均增长率为30%。
(2)11+11(1+30%)+18.59=43.89
答:
从2009年到2011年,该中学三年为新增电脑共投资43.89万元。
考点:
一元二次方程的应用.
18.
(1)图形见解析;
(2)点A1的坐标为(2,0);(3)图形见解析,线段BC扫过的面积为
.
【解析】
试题分析:
(1)分别找出点A、B、C关于点O的对称点A1、B1、C1的位置,然后顺次连接即可;
(2)根据点C的坐标,向右平移2个单位,向下平移2个单位即为坐标原点的位置,然后建立平面直角坐标系,根据平面直角坐标系写出点A1的坐标为即可;
(3)根据网格结构,找出点A、B、C绕点O的顺时针旋转90°后的对称点A2、B2、C2的位置,然后顺次连接即可,然后根据线段BC扫过的面积=S扇形BOB2﹣S扇形COC2,列式计算即可得解.
试题解析:
(1)如图所示,△A1B1C1即为△ABC关于点O的中心对称的三角形;
(2)点A1的坐标为(2,0),
故答案为:
(2,0);
(3)如图所示,△A2B2C2即为△ABC绕点O顺时针旋转90°后的三角形,
线段BC扫过的面积=S扇形BOB2﹣S扇形COC2=
.
.
考点:
作图-旋转变换.
19.
(1)树状图见解析;
(2)P(两次摸到的球同色)=
.
【解析】
试题分析:
(1)列举出所有情况,看两次都摸到红球的情况数占总情况数的多少即可;
(2)两次摸到的球同色的可能是两个白球、黄球或红球,由
(1)中的数据即可求出其概率.
试题解析:
(1)共有9种情况,两次都摸到红球的有1种情况,
(2)由
(1)可知两次摸到的球同色的数目为3中,所以P(两次摸到的球同色)=
.
考点:
列表法与树状图法.
20.
(1)(3,0);
(2)y=-x2+2x+3;(3)①-1<x<3;②0<y≤4.
【解析】
试题分析:
(1)根据对称性可求出B点坐标;
(2)将A坐标代入二次函数解析式中,利用对称轴公式列出关系式,联立求出a与b的值,即可确定出二次函数解析式;
(3)①由二次函数图象与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标,利用图象即可得出,该函数的图象在x轴上方时x的范围;
②根据二次函数的性质求出y的最大值,根据x的范围即可确定出y的范围.
试题解析:
(1)已知点A(-1,0)及对称轴为直线x=1,知点B的坐标为(3,0);
(2)根据题意可得:
,解得:
,
则二次函数解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;
(3)①∵函数图象与x轴的一个交点坐标为A(-1,0),且对称轴为直线x=1,
∴函数图象与x轴的另一个交点为(3,0),
∴当-1<x<3时,该函数的图象在x轴上方;
②∵函数的顶点坐标为(1,4),
∴当x=1时,y的最大值为4,
∴当-1<x<2时,函数y的取值范围为0<y≤4.
考点:
1.待定系数法求二次函数解析式;2.二次函数的性质.
21.
(1)证明见解析;
(2)
.
【解析】
试题分析:
(1)有切点,需连半径,证明垂直,即可;
(2)求阴影部分的面积要把它转化成S梯形ANMO-S扇形OAM,再分别求的这两部分的面积求解.
试题解析:
(1)证明:
连接OM.
∵OM=OB,
∴∠B=∠OMB.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∴∠OMB=∠C.
∴OM∥AC.
∵MN⊥AC,
∴OM⊥MN.
∵点M在⊙O上,
∴MN是⊙O的切线.
(2)解:
连接AM.
∵AB为直径,点M在⊙O上,
∴∠AMB=90°.
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∴∠AOM=60°.
又∵在Rt△AMC中,MN⊥AC于点N,
∴∠AMN=30°.
∴AN=AM•sin∠AMN=AC•sin30°•sin30°=
.
∴MN=AM•cos∠AMN=AC•sin30°•cos30°=
∴S梯形ANMO=
,S扇形OAM=
,
∴S阴影=
.
考点:
切线的判定;扇形面积的计算;解直角三角形.
22.
(1)y=-2x2+120x-1600;
(2)30,200;(3)25.
【解析】
试题分析:
(1)根据销售利润y=(每千克销售价-每千克成本价)×销售量w,即可列出y与x之间的函数关系式;
(2)先利用配方法将
(1)的函数关系式变形,再利用二次函数的性质即可求解;
(3)先把y=150代入
(1)的函数关系式中,解一元二次方程求出x,再根据x的取值范围即可确定x的值.
试题解析:
(1)y=w(x-20)
=(x-20)(-2x+80)
=-2x2+120x-1600,
则y=-2x2+120x-1600.
由题意,有
,
解得20≤x≤40.
故y与x的函数关系式为:
y=-2x2+120x-1600,自变量x的取值范围是20≤x≤40;
(2)∵y=-2x2+120x-1600=-2(x-30)2+200,
∴当x=30时,y有最大值200.
故当销售价定为30元/千克时,每天可获最大销售利润200元;
(3)当y=150时,可得方程-2x2+120x-1600=150,
整理,得x2-60x+875=0,
解得x1=25,x2=35.
∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,∴x2=35不合题意,应舍去.
故当销售价定为25元/千克时,该农户每天可获得销售利润150元.
考点:
二次函数的应用;一元二次方程的应用.
23.解:
(1)∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0),点C(4,3),
∴
,解得
。
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3。
(2)存在。
∵点A、B关于对称轴对称,∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小。
∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,∴抛物线的对称轴为直线x=2。
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
,解得:
。
∴直线AC的解析式为y=x﹣1。
当x=2时,y=2﹣1=1。
∴抛物线对称轴上存在点D(2,1),使△BCD的周长最小。
(3)如图,设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m,
联立
,消掉y得,x2﹣5x+3﹣m=0。
由△=(﹣5)2﹣4×1×(3﹣m)=0得m=
。
∴m=
时,点E到AC的距离最大,△ACE的面积最大。
此时x=
,y=
。
∴点E的坐标为(
,
)。
设过点E的直线与x轴交点为F,则F(
,0)。
∴AF=
。
∵直线AC的解析式为y=x﹣1,∴∠CAB=45°。
∴点F到AC的距离为
。
又∵
。
∴△ACE的最大面积
,此时E点坐标为(
,
)。
【解析】
试题分析:
(1)利用待定系数法求二次函数解析式解答即可。
(2)利用待定系数法求出直线AC的解析式,然后根据轴对称确定最短路线问题,直线AC与对称轴的交点即为所求点D。
(3)根据直线AC的解析式,设出过点E与AC平行的直线,然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程,利用根的判别式△=0时,△ACE的面积最大,然后求出此时与AC平行的直线,然后求出点E的坐标,并求出该直线与x轴的交点F的坐标,再求出AF,再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离,再求出AC间的距离,然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解。
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