保险精算习题.docx
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保险精算习题.docx
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保险精算习题
1.确定10000元在第3年年末的积累值:
(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%
2.已知第1年的实际利率为10%第2年的实际贴现率为8%第3年的每季度计息的年名义利率为6%第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%求一常数实际利率,使它等价于这4年的投资利率。
3.基金A以每月计息一次的年名义利率12澈累,基金B以利息强度「二丄
6积累,在时刻t(t=0),两笔基金存入的款项相同,试确定两基金金额相等的下一时刻。
4.基金X中的投资以利息强度:
.^0.01t0.1(0 5.某银行推出2年期存单,年利率为9%存款者若提前支取则面临两种可供选择的惩罚方式: 变为活期存款,年利率为7%损失3个月的利息。 某存款人拥有这种存单但要在第18个月末时支取,试问该人该选择哪种惩罚方式? 第二章: 年金 练习题 1.证明v-v二iam-an。 V2.某人购买一处住宅,价值16万元,首期付款额为A,余下的部分自下月起每月月初 付1000元,共付10年。 年计息12次的年名义利率为8.7%。 计算购房首期付款额A。 V3.已知a7=5.153,a和=7.036,a伺=9.180,计算i。 V4.某人从50岁时起,每年年初在银行存入5000元,共存10年,自60岁起,每年年 初从银行提出一笔款作为生活费用,拟提取10年。 年利率为10%计算其每年生活费用。 V5.年金A的给付情况是: 1〜10年,每年年末给付1000元;11〜20年,每年年末给付2000元;21〜30年,每年年末给付1000元。 年金B在1〜10年,每年给付额为K元;11〜 1 20年给付额为0;21〜30年,每年年末给付K元,若A与B的现值相等,已知v10,计 2算K。 V6.化简a诃1v10v20,并解释该式意义。 V7.某人计划在第5年年末从银行取出17000元,这5年中他每半年末在银行存入一笔款项,前5次存款每次为1000元,后5次存款每次为2000元,计算每年计息2次的年名义利率。 1 V8.某期初付年金每次付款额为1元,共付20次,第k年的实际利率为,计算 1到n年每年末平分所领取的年金,领取的年金现值相等,那么v=() A. 3nB 3n D.3n 11. 2 延期5年连续变化的年金共付款6年,在时刻t时的年付款率为(t+1),t时刻 的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为() A.52B.54C.56D.58 第三章: 生命表基础 练习题 1.给出生存函数sx=e2500,求: (1)人在50岁〜60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 ⑶人能活到70岁的概率。 (4)50岁的人能活到70岁的概率。 2.已知Pr: 5vT(60)<6: =0.1895,Pr: T(60)>5]=0.92094,求q60。 3.已知q80=0.07,d80=3129,求l81。 4.设某群体的初始人数为3000人,20年内的预期死亡人数为240人,第21年和 第22年的死亡人数分别为15人和18人。 求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。 22 5.如果叭,0三xW100,求l0=10000时,在该生命表中1岁到4 x+1100-x 岁之间的死亡人数为()。 A.2073.92B.2081.61 C.2356.74D.2107.56 6.已知20岁的生存人数为1000人,21岁的生存人数为998人,22岁的生存人数为992人,则1口。 为()。 A.0.008B.0.007 C.0.006D.0.005 第四章: 人寿保险的精算现值 练习题 X 1.设生存函数为sx=1(0 元): ⑴趸缴纯保费边丽的值。 (2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。 2.设年龄为35岁的人,购买一张保险金额为1000元的5年定期寿险保单,保险金 于被保险人死亡的保单年度末给付,年利率i=0.06,试计算: (1)该保单的趸缴纯保费。 (2)该保单自35岁〜39岁各年龄的自然保费之总额。 (3) (1)与 (2)的结果为何不同? 为什么? (1) Ax: 20° 3.设Ax=0.25,Ax20=0.40,Ax: 2q=0.55,试计算: (2) 4.试证在UDD假设条件下: 1i1 (1)Ax: nAx: n° 6 ⑵輪=Ax: n—心° 5 (x)在保险期限内发生保险 .(x)购买了一份2年定期寿险保险单,据保单规定,若 责任范围内的死亡,则在死亡年末可得保险金1元,qx=0.5,i=O,Varzi;=0.1771,试 求qx1° 6■i皿A76=0.8,D76=400,D77=360,i=0.03,求A77° 7.现年30岁的人,付趸缴纯保费5000元,购买一张20年定期寿险保单,保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付,试求该保单的保险金额。 1 8.考虑在被保险人死亡时的那个丄年时段末给付1个单位的终身寿险,设k是自保 m 1 单生效起存活的完整年数,j是死亡那年存活的完整-年的时段数。 m (1)求该保险的趸缴纯保费Axm)° (2)设每一年龄内的死亡服从均匀分布,证明Axm)二Ax° x・(m)x 9.现年35岁的人购买了一份终身寿险保单,保单规定: 被保险人在10年内死亡, 给付金额为15000元;10年后死亡,给付金额为20000元。 试求趸缴纯保费。 10.年龄为40岁的人,以现金10000元购买一份寿险保单。 保单规定: 被保险人在 5年内死亡,则在其死亡的年末给付金额3000元;如在5年后死亡,则在其死亡的年末给 付数额R元。 试求R值。 11.设年龄为50岁的人购买一份寿险保单,保单规定: 被保险人在70岁以前死亡, 给付数额为3000元;如至70岁时仍生存,给付金额为1500元。 试求该寿险保单的趸缴纯保费。 12.设某30岁的人购买一份寿险保单,该保单规定: 若(30)在第一个保单年计划内死亡,则在其死亡的保单年度末给付5000元,此后保额每年增加1000元。 求此递增终身寿险的趸缴纯保费。 13.某一年龄支付下列保费将获得一个n年期储蓄寿险保单: (1)1000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费,这个保险的趸缴纯保费为750元。 (2)1000元储蓄寿险,被保险人生存n年时给付保险金额的2倍,死亡时返还趸缴纯 保费,这个保险的趸缴纯保费为800元。 若现有1700元储蓄寿险,无保费返还且死亡时无双倍保障,死亡给付均发生在死亡年末,求这个保险的趸缴纯保费。 14.设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单,依保单规定: 被保险人在第一个保单年度内死亡,则给付10000元;在第二个保单年度内死亡,则给付9700元;在第三个保单年度内死亡,则给付9400元;每年递减300元,直至减到4000元为止,以后即维持此定额。 试求其趸缴纯保费。 15.某人在40岁投保的终身死亡险,在死亡后立即给付1元保险金。 其中,给定 lx=110-X,0Wx<110。 利息力3=0.05。 Z表示保险人给付额的现值,则密度fz0.8等 于() A.0.24B.0.27C.0.33D.0.36 16. 已知在每一年龄年 (lA)-(IA) udD假设成立,表示式一() A A. i-、 B. 2 (1+i) d C. 11 ii D. 1 d、 : 、 17. 在x岁投保的一年期两全保险, 在个体(x)死亡的保单年度末给付b元,生存 保险金为 e元。 保险人给付额现值记为 乙则Var(Z)=() A. PxqxV2be2B. 22 PxqxVb-e C. 2儿22l PxqxVb-eD. 222 VbqxePx 第五章: 年金的精算现值 练习题 1.设随机变量T=T(x)的概率密度函数为f(t)=0.015e°°15t(t>0),利息强度 为各=0.05。 试计算精算现值ax。 2- 2•设ax=10,ax=7.375,VaraT=50。 试求: (1)、•; (2)乙。 3•某人现年50岁,以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金,试求其每年所得年金额。 4•某人现年23岁,约定于36年内每年年初缴付2000元给某人寿保险公司,如中 途死亡,即行停止,所缴付款额也不退还。 而当此人活到60岁时,人寿保险公司便开始给 付第一次年金,直至死亡为止。 试求此人每次所获得的年金额。 5•某人现年55岁,在人寿保险公司购有终身生存年金,每月末给付年金额250元, 试在UDD假设和利率6%下计算其精算现值。 6•在UDD假设下,试证: (1)n|0<(m)=? (m)n|#x--mnEx。 ⑵axm)「5)出炕「m(1-nEx)。 (3)aim? 制加m(—Ex)。 7•试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值,且给 付方法为: (1)按年; ⑵按半年;(3)按季; ⑷按月。 8• 试证: (1) (m)- ax-j(m: 「ax (m)-■ (2) (m) ax: n-j(m: )ax: no (3) iim.axm): m—.丿 =axo (4) ax.ax_ 1 o 2 9• 很多年龄为 23岁的人共同筹集基金, 并约疋在每年的年初生存者缴纳R兀于此项 基金,缴付到64岁为止。 到65岁时,生存者将基金均分,使所得金额可购买期初付终身 生存年金,每年领取的金额为3600元。 试求数额Ro 10•Y是x岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量,已知ax=10, 1 2a^6,i,求Y的方差。 24 11•某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子,约定延期10年,其子现年30 岁,求此年金的精算现值。 12•某人现年35岁,购买一份即付定期年金,连续给付的年金分别为10元、8元、 6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元,试求其精算现值。 13.洽宦a(4)=17.287,入二0.1025。 已知在每一年龄年UDD假设成立,则耳丁是() A.15.48B.15.51C.15.75D.15.82 14.给定Var(an^100及.L: ixt]=k,t0,利息强度: =4k,则k=() 9 A.0.005B.0.010C.0.015D.0.020 15.对于个体(x)的延期5年的期初生存年金,年金每年给付一次,每次1元,给 定: 卩(x+t)=0.01,i=0.04,晒=4.524,年金给付总额为S元(不计利息),贝U P(S-51ax)值为() A.0.82B.0.81C.0.80D.0.83 第六章: 期缴纯保费与营业保费 练习题 1.设Jx^jt0,利息强度为常数3,求PAx与Var(L)。 2.有两份寿险保单,一份为(40)购买的保额2000元、趸缴保费的终身寿险保单, 并且其死亡保险金于死亡年末给付;另一份为(40)购买的保额1500元、年缴保费P的完全 离散型终身寿险保单。 已知第一份保单的给付现值随机变量的方差与第二份保单在保单签发时的保险人亏损的方差相等,且利率为6%求P的值。 3.已知巳0: 20=O.O29,P0回二0.005R。 =0.034,i=6%,求百4。 。 4.已知F62=0.0374,q62=0.0164,i=6%,求P63。 5.已知L为(x)购买的保额为1元、年保费为氏刁的完全离散型两全保险,在保单签 发时的保险人亏损随机变量,2Ax.n=0.1774,Px: n=0.5850,计算Var(L)。 d 105—x 6.已知x岁的人服从如下生存分布: sx(0 105 对(50)购买的保额1000元的完全离散型终身寿险,设L为此保单签发时的保险人亏损随机 变量,且P(L>0)=0.4。 求此保单的年缴均衡纯保费的取值范围。 7.已知Ax-0.19,Ax=0.064,d=0.057,二x=0.019,,其中二x为保险人对1单 位终身寿险按年收取的营业保费。 求保险人至少应发行多少份这种保单才能使这些保单的总亏损为正的概率小于等于0.05。 [这里假设各保单相互独立,且总亏损近似服从正态分布,Pr(ZW1.645)=0.95,Z为标准正态随机变量。 ] 8.1000P2。 祠=7.00色=16.72,氐药=15.72,计算1000P2。 。 9. 11•已知x岁的人购买保额1000元的完全离散型终身寿险的年保费为50元, d=: 0.06,Ax=: 0.4,2A=0.2,L是在保单签发时保险人的亏损随机变量。 (1)计算E: L]。 ⑵计算Var(L)。 (3)现考察有100份同类保单的业务,其面额情况如下: 面额(元)保单数(份) 80 420 假设各保单的亏损独立,用正态近似计算这个业务的盈利现值超过18000元的概率。 12•(x)购买的n年限期缴费完全离散型终身寿险保单,其各种费用分别为: 销售佣 金为营业保费的6%税金为营业保费的4%每份保单的第1年费用为30元,第2年至第n年的费用各为5兀;理赔费用为15兀。 且Ax=0.3,&: 刁=0.1,Ax.n=0.4,i=0.6,保额b以万元为单位,求保险费率函数R(b)。 13.设PA50=0.014,^0=0.17,则利息强度、: =()。 A.0.070B.0.071C.0.073D.0.076 14.已知i=0.05,px1=0.022,px=0.99,则px()。 A.0.0189B.0.0203C.0.0211D.0.0245 A.0.005B.0.006 C.0.007D.0.008 第七章: 准备金 练习题 1.对于(x)购买的趸缴保费、每年给付1元的连续定期年金,t时保险人的未来亏损 随机变量为: 计算E(tL)和Var(tL)。 2•当"2时,忆廿孑紙计算忆曲。 PfA}--- 已知_=o.474,tVA=0.510,tVx=0.500,计算tV(Ax)。 5 10V35: 20-10V35: 20。 计算20vx。 算年缴均衡纯保费P。 已知P45: 2C|=0.03,A: 5: 词=0.06,d=0.054,15k45=0.15,求15匕5: 刃。 9.25岁投保的完全连续终身寿险,L为该保单签发时的保险人亏损随机变量,已知 VarL=0.20,人5=0.70,2A? 5=0.30,计算20VA25。 16.对于完全离散型保额,1单位的2年期定期寿险应用某种修正准备金方法,已知 -■-v2Pxqx1,求'。 17.个体(x)的缴费期为10年的完全离散终身寿险保单,保额为1000元,已知 i=0.06,qx9=0.01262,年均衡净保费为32.88元,第9年底的净准备金为322.87元,则 1OOOPxi0=() A.31.52B.31.92C.33.12D.34.32 18. 已知1000tVA]=100,1000P(Ax)=10.50,、=0.03,则axt.=() A.21 B.22C.23D.24 第八章: 保单现金价值与红利 练习题 1.证明式(8.1.7)和式(8.1.8)。 2.证明表8.1.3和表8.1.4中的调整保费表达式。 3.根据表8.1.3和表8.1.4中的各种情况,计算第1年的费用补贴E1。 4.(x)的单位保额完全连续终身寿险在k年末转为不丧失现金价值。 设kcv二kVA,分别按缴清保险与展期保险给出刚改变后的保险的未来损失方差与原保险在时间k的未来损失方差之比。 5.已知Ax=0.3208,如=12,A^n=0.5472,出炕=8,用1941年规则计算P: n。 6.向(30)发行的1单位完全连续20年期两全保险,在第10年年末中止,并且那时还有一笔以10CV为抵押的贷款额L尚未清偿,用趸缴纯保费表达: (1)在保额为1-L的展期保险可展延到原期满时的情况下,期满时的生存给付金额E。 (2)转为第 (1)小题中展期保险与生存保险后5年时的责任准备金。 7.考虑(x)投保的缴费期为n的n年期两全保险,保险金为1单位,支付基础为完全离散的。 在拖欠保费的情况下,被保险人可选择: (1)减额缴清终身寿险。 (2)期限不超过原两全保险的展期定期保险以及x+n岁时支付的减额生存保险。 在时间 t的解约金为V汕,它可用来购买金额为b的缴清终身寿险,或用于购买金额为1的展期保险以及x+n岁时的生存支付f。 设Ax.t: p=2A nj及n4Ex-t表示f。 8.设ktCv=ktV(Ax)。 证明: 决定自动垫缴保费贷款期长短的方程可写成H(t)=0,其中 Hn^axGS^Nxk1-ax。 9.在人寿保险的早期,一家保险公司的解约金定为 kCV二hGxh—Gxak,k=1,2,Hl 式中,G为龄旳毛]果贺;ak为始于x+k岁并到缴费期结束为止的期初生存年金 2 值,h在实际中取一。 如果终身寿险保单的毛保费按1980年规则取为调整保费,并且Px与 3x FXt都小于0.04,h=0.9,验证以上给出的解约金为 kCV二0.9091.125PkVx1.125)(Rk-R) 10.生存年金递推关系为 0U1i二PxiAh1,h=0,1,2川1 (1)如果实际的经验利率是h+1,经验生存概率是x+h,则年金的递推关系为 axh-1卩1■i? 1-pxh(axh-h■1) 式中,丄h1为生存者份额的变化。 证明并解释 (i? 1)axh-1(Pxh l? x-h (2)如果年末的年金收入调整为年初的rh1倍,其中 (级卅一1X1+i? 卅)=,rh+札抽出 用i,i? Pxh及? xh表示rh1。 11.证明式(8412)、式(8413)和式(8414)。 12.在1941年法则中,若P20.04,P20.04,贝UE1=() A.0.036B.0.046C.0.051D.0.053 13.(30)投保20年期生死两全保险,若F30: 羽=0.08,d=0.01,利用1941年法则求 得P30=0.01时的调整保费为() A.0.0620B.0.0626C.0.0638D.0.0715 第九章: 现代寿险的负债评估 练习题 1.在例9.2.1中将第1年到第5年的保证利率改为9%求0到第10年的现金价值及第4年的准备金。 2.在例9.2.3中将保证利率改为: 前3年为8%,3年以后为4%,重新计算表9.2.8、 表929和表9210。 3.在初9.2.5中,若保证利率: 第1年到第5年为9.5%,以后为4%求0到第5保单年度的准备金。 4.考虑固定保费变额寿险,其设计是公平设计且具有下列性质: 男性: 35岁;AIR=4%最大允许评估利率: 6%面值(即保额): 10000元;在第5 保单年度的实际现金价值为6238元;在第5保单年度的表格现金价值为5316元。 且已知 1000q39=2.79,相关资料如下表。 单位: 元 I(%) x(岁) 1000Ax ax 1000qx 4 35 246.82 19.5826 2.11 4 36 255.13 19.3667 2.24 4 40 290.81 18.4389 3.02 6 35 139.51 15.2021 2.11 6 36 146.08 15.0860 2.24 6 40 175.31 14.5695 3.02 求: (1)第5保单年度的基础准备金; (2)用一年定期准备金和到达年龄准备金求第5 保单年度的GMDBB备金。 5.已知某年金的年保费为1000元;预先附加费用为3%保证利率为第1年到第3年8%以后4%退保费为5/4/3/2/1/0%;评估利率为7%假设为年缴保费年金,第1年末的准备金为() A.1005B.1015C.1025D.1035 6.在上题中,如果本金为可变动保费年金,保单签发时缴费1000元,第2年保费 于第1年末尚未支付,则第1年年末的准备金为() A.1005B.1015C.1025D.1035 第十章: 风险投资和风险理论 练习题 1.现有一种2年期面值为1000的债券,每年计息两次的名义息票率为8%每年计 息两次的名义收益率为6%则其市场价格为()元。 A.1037.171B.1028.765C.1043.817D.1021.452 2. X个骰子,设Y是显 示数目的总合,则 A1096 B. 1085 C. 1096 D 48 48 36 1085 36 6%每年支付,如果现行收 8%那么该债券 Y的均值为() 3.现有一种六年期面值为 500的政府债券,其息票率为 假设X是扔五次硬币后“国徽”面朝上的次数,然后再同时扔 益率为5%那么次债券的市场价值为多少? 如果两年后的市场利率上升为 的市场价值又是多少? 4. 如下: 考虑第3题中的政府债券,在其他条件不变的情况下,如果六年中的市场利率预测 r1: 5%「2: 6%「3: 8%“: 7%「5: 6%「6: 10% 那么该债券的市场价值是多少? 5.计算下述两种债券的久期: (1)五年期面值为
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