七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲 全等三角形含答案.docx
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七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲全等三角形含答案
第十二讲全等三角形
趣题引路】
如图12-1所示,BD=CE,只添加一个条件,就可证得∠ABE=∠ACD,有哪几种方法?
这是一道由果索因的开放性问题,从图中看出∠ABE既是△ABE的内角又是△ODB的内角,同时∠ACD也是△ACD、△OEC的内角,而△ACD与△ABE,△ODB与△OEC分别有一对角相等,故可以考虑它们分别全等.
方法1:
添加AD=AE(或AB=AC),可得△ABE≌△ACD
方法2:
可添加∠BDO=∠CEO,可得△BDO≌△CEO
方法3:
可添加BE=CD,再连结BC,可得△BDC≌△CEB
∴∠DBC=∠ECB,∠EBC=∠DCB
∴∠ABE=∠ACD
本讲研究全等三角形在竞赛解题中的一些应用.
知识拓展】
证明三角形全等是研究平面图形性质的重要工具之一.利用它可以证明线段相等、角相等及研究两条直线的垂直和平行关系.
三角形全等问题可分为三个层次:
1.直接利用全等三角形的判定定理和性质定理,需要我们敏捷、快速地发现两条线段或两个角所分布的两个三角形及全等的条件;
2.当证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时,需根据图形的其他性质,先证明别的两个三角形全等以补足条件;
3.当现有图形的任何两个三角形之间不存在全等关系,需要添置辅助线,构造全等三角形来研究平面图形的性质.
我们实际遇到的图形中,两个全等三角形并不重合在一起,而是处于各种不同的位置,但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的,了解全等变换的这几种形式,有助于发现全等三角形、确定对应元素.善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键,应熟悉涉及有关公共边、公共角的以下两类基本图形:
例1(2003年河北竞赛题)如图12-3,AC=BC,AC⊥BC于点C,AB=AD=BD,CD=CE=DE,若AB=
,BE=.
解析在△ADC与△BDC中,由AD=DB,DC=DC,AC=BC,可知
△ADC≌△BDC,∠ADC=∠BDC.
又因为∠ADB=60°,
所以,∠ADC=∠BDC=∠EDB=30°.
故DB⊥CE,BC=BE.
而△ACB为等腰直角三角形,且AB=
,所以,BC=BE=1
点评:
充分利用△DAB、△DCE是等边三角形这个条件是解题关键
例2如图12-4,设△ABC是等腰三角形,D、E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连DE交BC于G点.求证:
DG=EG.
解析思路一:
构造一个与△CEG全等的三角形;
思路二:
构造一个与△DBG全等的三角形.
证明:
作DF∥AC交BC于F,则∠ACB=∠DFB,
又因AB=AC,故∠B=∠ACB,因此∠B=∠DFB,故DB=DF=CE,
而又有∠FDG=∠CEG,∠DGF=∠EGC,故△DFG≌△ECG
故DG=EG.
点评:
构造全等三角形时须根据图形的特征,通常有“截长法”、“补短法”、“中线加倍法”等.
例3(2000年江苏省竞赛题)如图12-5,AD是△ABC的中线,E、F分别在AB、AC上且DE⊥DF,则()
A.BE+CF>EFB.BE+CF=EF
C.BE+CF<EFD.EF与BE+CF大小关系无法确定
解析此题让人联想到三角形三边关系,设法把BE、CF、EF放到一个三角形中去考虑,可将△EFD沿直线DF“翻折”到△GFD,连结CG,易证△EFD≌△GFD,△BED≌CGD,EF=FG,BE=GC,
故BE+CF>EF.
选A.
点评:
本题也可把△GCD看作由△EBD绕D点旋转180°而得到,同时还可以将△EFD沿直线ED“翻折”求解.
例4(2003年全国竞赛题)如图12-6,在△ABC中,D为AB的中点.分别延长CA、CB到点E、F,使DE=DF;过E、F分别作CA、CB的垂线,相交于P.设线段PA、PB的中点分别为M、N.
求证:
(1)△DEM≌△DFN;
(2)∠PAE=∠PBF.
解析题中有多个“中点”,联想到中位线定理和直角三角形斜边上中线的性质,便可找到证题思路.
证明
(1)如图,据题设可知,DM平行且等于BN,DN平行且等于AM,
∴∠AMD=∠BND.
∵M、N分别是Rt△AEP和△BFP斜边的中点,
∴EM=AM=DN,FN=BN=DM.
又已知DE=DF,∴△DEM≌△DFN.
(2)由上述全等三角形可知∠EMD=∠FND,
∴∠AME=∠BNF.
而△AME,△BNF均为等腰三角形,
∴∠PAE=∠PBF.
点评:
学会转化是增强解题能力的一个重要途径,同时在较复杂的图形中发现线段、角之间的内在联系也很关键.
好题妙解】
佳题新题品味
例1(2003年天津中考题)如图12-7,O为□ABCD对角线AC、BD的交点,EF经过点O,且与边AD、BC分别交于点E、F,若BF=DE,则图中的全等三角形最多有()A.2对B.3对C.5对D.6对
解析图中若无EF,则有4对,增加EF后,增加了△AOE≌△COF,△DOE≌△BOF.
选D.
例2如图12-8,P是等边三角形ABC中的一个点,PA=2,PB=
,PC=4,则BC的长是.
解析注意到PC2=PA2+PB2,考虑将PA、PB、PC转移至一个三角形中,将△BPA绕B点逆时针旋转60°,至△BMC,连接PM,则△CMB≌△APB,MB=BP,∠MBP=60°,故△BMP为正三角形,从而MP=BP,这样PA、PB、PC被移至△MPC中,由PC2=MC2+MP2,得∠CMP=90°,又MC=PA=2,PC=4,故∠MPC=30°,∠BPC=∠BPM+∠MPC=90°,由勾股定理可得,BC=
.
点评:
将三条分散的线段化归为三角形的三边.
例3如图12-9,△BDA、△HDC都是等腰直角三角形,且D在BC上,BH的延长线与AC交于点E,请你在图中找出一对全等三角形并写出证明过程.
解析探索性问题已是当今中考的一大热点。
关键在于分析题图,找出相等的角和边.
由已知可得DB=DA,DC=DH,且∠BDA=∠CDA.
于是可得△BDH≌△ADC(SAS).
中考真题欣赏
例(2003年山东秦安中考题)如图12-10,已知△ABC为正三角形,点M是射线BC上任意一点,点N是射线CA上任意一点,且MB=CN,直线BN与AM相交于Q点,就下面给出的三种情况:
(如图①②③)先用量角器分别测量∠BQM的大小,然后猜测∠BQM等于多少度?
并利用图③证明你的结论.
解析此题要求学生动手测量,猜测规律再证明猜想.先用量角器分别测量∠BQM,获知∠BQM均为60°左右(可能有误差),因此可猜测∠BQM=60°,证明时将三角形的全等和正三角形的性质联系起来.
证明∵△ABC为正三角形,
∴AB=BC=CA,∠BAC=∠BCA=60°.
∵BM=CN,∴BM-BC=CN-CA,即CM=AN.
∵∠BAN=180°-60°=∠ACM,
∴△BAN≌△ACM.
∴∠CMA=∠ANB.
又∠QAN=∠CAM
∴∠BQM=∠ANB+∠QAN=∠CAN+∠CMA=∠BCA=60°,即证.
竞赛样题展示
例1(2003年全国联赛武汉选拨赛)如图12-11,△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、
∠ACB,则AC的长与AE+CD的关系为()
A.AC>AE+CDB.AC=AE+CDC.AC<AE+CDD.无法确定
解析:
运用“截长法”.设AD、CE的交点为O,在AC上取点F,使AF=AE,连结OF,则
△AEO≌△AFO,同时可证△ODC≌△OFC,故AC=AE+CD.选B.
例2(天津市竞赛题)如图12-12,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB于M,交AC于N,连结MN,形成了一个三角形.求证:
△AMN的周长是2.
解析欲证AM+AN+MN=2,而AB+AC=2,转证MN=BM+CN,考虑用补短法,在AC的延长线上取CM1=BM,转证MN=NM1,连结DM1,只需证得△MDN≌△M1DN即可.
解在AC的延长线上截取CM1=BM,由Rt△BDM≌Rt△CDM1,得MD=M1D,∠MDB=∠M1DC.
∴∠MDM1=120°-∠MDB+∠M1DC=120°,又∠MDN=60°
∴∠NDM1=60°,
∵MD=M1D,∠MDN=∠NDM1=60°,DN=DN.
∴△MDN≌△M1DN.
∴MN=NM1,
∴△AMN的周长为:
AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2
点评:
巧妙转移线段,借助三角形的全等“偷梁换柱”,这就是方法之美.
过关检测】
A级
1.如图12-13,若△ABD≌△ACE,AD=5,AB=2,则CD=.
2.如图12-14,AD∥BC,∠1=∠2,∠3=∠4,AD=4,BC=2,则AB的值是.
3.如图12-15,△ABC中,∠ABC=45°,AD是∠BAC的平分线,EF垂直平分AD,交BC的延长线于F,则∠CAF的大小是.
4.(2001年福建中考题)如图12-16,在△ABC中,AB>AC,BE、CF分别是AC、AB两条边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连结AD、AG.
求证:
AG=AD.
5.如图12-17,已知:
在∠AOB的OA边上取两点P和S,再在OB边上取两点Q和T,使OP=OQ,OT=OS,PT与QS相交于X.
求证:
OX平分∠AOB.
6.(2003年安徽省中考题)如图12-18,是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案,其中四边形ABCD和EFGH都是正方形。
求证:
△ABF≌△DAE.
7.如图12-19,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE.
求证:
CE=
BD.
B级
1.(1997年《学习报》公开赛)如图12-20,等腰三角形ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边上的高,以D为端点作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F,连结EF与AD相交于G,则∠AED与∠AGF大小关系为()
A.∠AED>∠AGFB.∠AED=∠AGFC.∠AED<∠AGFD.不能确定
2.(1996年山东省)如图12-21,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,AB=AD,若这个四边形的面积为12,则BC+CD=.
3.(1998年上海市)如图12-22,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,AE=
(AD+AB),则∠ADC+∠ABC的大小为.
4.(1998年四川省)如图12-23,在△ABC中,AB=AC,直线l过A且l∥BC,∠B的平分线与AC和l分别交于D、E,∠C的平分线与AB和l分别交于F、G.求证:
DE=FG.
5.(1998年河北省)如图12-24所示,已知BD、CE是△ABC的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.
求证:
(1)AP=AQ;
(2)AP⊥AQ.
6.(2002年全国数学竞赛)△ABC内,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q分别在BC、CA上,并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线.
求证:
BQ+AQ=AB+BP.
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