99考研数二真题及解析.docx
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99考研数二真题及解析
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.)
(1)Iimxcot2x=.
x_
(2)tsintdt二.
L0
x
(3)曲线y=j(t-1)(t-2)dt在点(0,0)处的切线方程是.
⑷设f(x)=x(x1)(x2)川(xn),则f(0)二.
1
⑸设f(x)是连续函数,且f(x)=x•2of(t)dt,则f(x)二.
abx2,x_0
⑹设f(x)二sinbx在x=0处连续,则常数a与b应满足的关系是
x0
x
(7)设tany=xy,贝Udy=.
二、计算题(每小题4分,满分20分.)
1
求lim(2sinxcosx)x.
X小(1t2),求矽及空.y=arctant,dxdx
12
=1,求0xf(2x)dx.
12
已知f
(2)=-,厂
(2)=0及[f(x)dx
三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求所选项前的字母填在题后的括号内.)
1
(1)设x0时,曲线y=xsin()
x
(A)有且仅有水平渐近线
(B)有且仅有铅直渐近线
(C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线
(D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线
⑵若3a2—5b:
:
0,则方程x52ax33bx4c=0
积为
四、(本题满分6分)
求微分方程xy-(1「x)y=e2x(0:
:
:
xnJ满足y
(1)=0的解.
五、(本题满分7分)
x
设f(x)=sinx-:
(x-t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).
六、(本题满分7分)
证明方程lnx1—cos2xdx在区间(0,=)内有且仅有两个不同实根
e0
七、(本大题满分11分)
x+1
对函数y厂,填写下表:
x
单调减少区间
单调增加区间
极值点
极值
凹(U)区间
凸(「1)区间
拐点
渐近线
八、(本题满分10分)
设抛物线y=ax2•bx-c过原点,当0_x_1时,y_0,又已知该抛物线与x轴及直线
1
x=1所围图形的面积为—,试确定a,b,c使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V
3
最小.
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(每小题3分,满分21分.)
1
(1)【答案】丄
2
方法一:
【解析】这是个0•:
:
型未定式,可将其等价变换成0型,从而利用洛必达法则进行求解0
cos2x「x
limxcot2x=limxlim
J0sin2xJ°sin2x
1
cos2x
方法二:
=limx—洛lim
xsin2xx02cos2x
cos2xlimxcot2x=limx—x0x«sin2x
=-lim2xcos2x」lim
2x
2xj0sin2x2x)0sin2x
sinx/lim1.
X—-0x
【答案】二
【解析】禾U用分部积分法和牛顿
-莱布尼茨公式来求解,
分部法
-I-tcosti0-p(「cost)dt
-■:
0Sint[=(0-0)-:
•
【答案】y=2x
【解析】要求平面曲线的切线
首先应求出该切线的斜率,即f(x0).
这是
个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即y丄(x-1)(x-2).
由y‘在其定义域内的连续性,可知y心=(0-1)(0-2)=2.
所以,所求切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.
⑷【答案】n!
【解析】方法一:
利用函数导数的概念求解,即
f(x)-f(0)x(x1)(x2)(xn)-0f(0)=limlim
X^0xx—x
=1叫(x1)(x2)111(xn)=12111n=n!
.
方法二:
利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知,
f(x)=(x1)(x2)HI(xn)x1(x2)HI(xn)Hl
x(x1)(x2)|||(xn-1)1,
所以f(0)=(01)(02)训|(0n)0⑴0=1・2川n二n!
.
⑸【答案】x-1
i
【解析】由定积分的性质可知,.°f(t)dt和变量没有关系,且f(x)是连续函数,故
i
of(t)dt为一常数,为简化计算和防止混淆,
i令°f(t)dt=a,则有恒等式f(x^x2a,两边0到1积分得
11
0f(x)dx二0(x2a)dx,
111
a=o(x2a)dx=oxdx2a。
dx=
1
解之得a,因此f(x)二x•2a=x-1.
2
⑹【答案】a二b
【解析】如果函数在x0处连续,则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等
由函数连续性可知f_(0)=f(0)=a•bQ=a.
sinbxsinbxsinbx
=b.
f.(0)=limlimb=blim
—+xxt+bxt+bx
如果f(x)在X=0处连续,必有f_(0)=f(0),即a=b.
⑺【答案】2
(x+y)
【解析】这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得seCyd^=dxdy,
dxdxdx
所以dy=—222,(xy=0).
secy+1tany(x+y)
二、计算题(每小题4分,满分20分.)
(1)【解析】令u=e_x,v=-'、x,则y=arcsine_x=arcsinu,由复合函数求导法则
lim(2sinxcosx)x=lim[1(2sinxcosx—1)]x
2sinx-cosx」
二lim[1(2sinxcosx_1)]2sinxcosx」x
2sinxcosx-1=t,则当x—0时,t—0,lim[1(2sinxcosx-1)]2sinxcosxJ
这是个比较熟悉的极限,即lim(1t)t二e.
lim2sinxcosx-1洛lim2cosx-s叽2,
x_.0xx_0"
1lim2sinxcosxJ
(4)【解析】这是个函数的参数方程
dy__dt1t1
dx
dx
2t2t
dt
1t2
d2y
dtd
dx2
(丄)—虫亠丄)
dx2tdt2tdxdt2t
【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法:
如果
(5)【解析】利用定积分的分部积分法求解定积分
121
oxf(2如亍
1分部法
0x2df(2x)二-
1-2
x
2-
-2
1
1t2
_(2t)2一
2t
4t
1t
2
x=(t)
则
dy
4(t)
7=(t)
dx
'(t)
-1
f(2X)0
1
2
1u
(2x)dx
1
dx
dt
2
1f
(2)-0】-.;xf(2x)dx
11
(2)0xdf(2x)
1
111
(2^2f
(2)20f(2x)dx,
0f(2x)dx
112
所以of(2x)dx=20f(t)dt.
1
把f
(2),f
(2)=0及0f(x)dx=1代入上式,得
【解析】
1函数y=xsin只有间断点x=0.
x
11
limy=limxsin,其中sin是有界函数•当x—;0■时,x为无穷小,无穷小量X旷x_°■xx
和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以
1
limy=limxsin0,
x—0•xft'x
故函数没有铅直渐近线
.1sinlimy=limxxX1
x
所以y=1为函数的水平渐近线,所以答案为(A).
【相关知识点】铅直渐近线:
如函数y=f(x)在其间断点x=x0处有limf(x)二:
:
则
X=X。
是函数的一条铅直渐近线;
水平渐近线:
当limf(x)二a,(a为常数),则y二a为函数的水平渐近线.
x-
⑵【答案】(B)
【解析】判定方程f(x)=0实根的个数,其实就是判定函数y=f(x)与x有几个交点,即对函数图形的描绘的简单应用,
令f(x)=x52ax33bx4c,
则f(x)=5x46ax23b.
令t=x2,则f(x)=5x46ax23b=5t26at3b=f(t),
22
其判别式厶=(6a)-453b=12(3a-5b)<0,
所以f(t)=5t2-6at-3b无实根,即f(t).0.
所以f(x)=x52ax33bx4c在x・(」:
「:
)是严格的单调递增函数•
又limf(x)=lim(x52ax33bx4c)--:
:
X•x_•
limf(x)二lim(x52ax33bx4c)二
X,x_.
所以利用连续函数的介值定理可知,在(-C〔G)内至少存在一点沧:
=(_:
:
•:
:
)使得
f(x°)=O,又因为y二f(x)是严格的单调函数,故X。
是唯一的•
故f(x)=O有唯一实根,应选(B).
(3)【答案】(C)
2
微增dx,则微柱体的体积dV-二cosxdx,所以体积V有
V=j2-.二cosxdx
~2
因此选(C).
⑷【答案】(D)
为了判定的方便
【解析】题中给出的条件中,除了一处极值点外均未指明函数其它性质可以举出反例而排除•
若取f(x)=g(x)=-(X-a)2,两者都在x=a处取得极大值0,而
F(x)=f(x)g(x)=(x-a)4在x=a处取得极小值,所以(A)、(C)都不正确•
若取f(x)=g(x)=1-(x-a),两者都在X=a处取得极大值1,而
—2-2一
F(x)=f(x)g(x)=1—(x—a)2丨在x=a处取得极大值1,所以(B)也不正确,从而选(D).
⑸【答案】(B)
【解析】微分方程9_目=£1所对应的齐次微分方程的特征方程为r2-1=0,它的两
个根是”=1,r2=T.
而形如y•_y=e必有特解Y二xae;y"_y=1必有特解Y1^b.
由叠加得原方程必有特解Y=x£ex-b,应选(B).
(6)【答案】(D)
【解析】利用导数的概念判定f(x)在X二a处可导的充分条件.
(A)等价于limf(a◎_f(a)存在,所以只能保证函数在x=a右导数存在;
T+t
(B)、(C)显然是f(x)在x=a处可导的必要条件,而非充分条件,
(D)是充分的:
f(a+也x)—f(a)必f(a)—f(a—h)严右…、厂f(a)—f(a—h),,
limlim存在二f(a)二lim存在
匚xxh0hh>0h
应选(D).
四、(本题满分6分)
【解析】所给方程为一阶线性非齐次微分方程,先写成标准形式
J/1八12x
y
(1)ye,
xx
_』」)dx12x(丄4)dx1x12xxexx
通解为y=ex(-eexdxC)二一e(-e^dxC)=—(eC).
xxLxex
x
代入初始条件y
(1)=0,得C--e,所求解为y=e(ex-e).
x
【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的标准形式为月p(x)y二q(x),其通解公式为
一p(x)dxp(x)dx
y=e(q(x)edxC),其中C为吊数•
五、(本题满分7分)
【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律
xXX
f(x)=sinx—0(x—t)f(t)dt=sinx—x0f(t)dt+0tf(t)dt,
所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得
xx
f(x)二cosxf(t)dt-xf(x)xf(x)二cosx-「f(t)dt,
再求导,得
这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为r2^0,
此特征方程的根为r=±i,而右边的sinx可看作e*sinPx,°=0,0=1,°±i0=±i为特
征根,因此非齐次方程有特解Y=xasinx•xbcosx.
代入方程并比较系数
1x
得a=0,b,故丫cosx,所以
22
x
f(x)二gcosx02sinxcosx.
11x
又因为f(0)=Of(0)",所以「032,即f(x)工sinX一2cosx.
六、(本题满分7分)
x兀/
令f(x)=Inx1-cos2xdx,
eL°
其中;.1-cos2xdx是定积分,为常数,且被积函数1-cos2x在(0,二)非负,故
o、1-cos2xdx0,为简化计算,令IJ-cos2xdx=k0,即f(x)=Inx-xk,e
11.
则其导数f(x),令f(x)=0解得唯一驻点x=e,
xe
即ff&Wce,
f(x)<0,evx<母
e
所以,x=e是最大点,最大值为f(e)=lnek=k・O.
e
Xtt
故方程ln-r.-^cos2xdx在(o「J有且仅有两个不同实根
令八0,得X-2即
令y、o,得x=—3,即
16
y3
(2)o,x(-3,o)u(o,:
:
),为凹,
xx
16
y=飞
(2):
:
o,x(」:
,-3),为凸,
xx
又一卯划(一+一2)f故x=o是函数的铅直渐近线;
limy•2)",故y=o是函数的水平渐近线
*xx
填写表格如下:
单调减少区间
(皿,_2)U(o,址)
单调增加区间
(-2,o)
极值点
x=-2
极值
1
S
凹区间
(-3,o)U(o,母)
凸区间
(_oo,_3)
拐点
(-3,—白
9
渐近线
x=0,y=0
八、(本题满分10分)
bx.
【解析】由题知曲线过点(0,0),得c=0,即y=ax
如图所示,从x>xdx的面积dS二ydx,所以
旋转体积
空赵空匚生电)
IL5230523
a4(1-a)2a(1-a)
IL5273
导得
dV二
4
(—a+1),
da275
令其等于0得唯一驻点a
dV在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最小,da
3
这时bj,故所求函数y
二ax2
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