精品因式分解经典题及解析可编辑.docx
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精品因式分解经典题及解析可编辑
因式分解经典题及解析
2013组卷
1.在学习因式分解时,我们学习了提公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式),事实上,除了这两种方法外,还有其它方法可以用来因式分解,比如配方法.例如,如果要因式分解x2+2x﹣3时,显然既无法用提公因式法,也无法用公式法,怎么办呢?
这时,我们可以采用下面的办法:
x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
=(x+1)2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
=…
解决下列问题:
(1)填空:
在上述材料中,运用了 _________ 的思想方法,使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解,这种方法就是配方法;
(2)显然所给材料中因式分解并未结束,请依照材料因式分解x2+2x﹣3;
(3)请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5.
2.请看下面的问题:
把x4+4分解因式
分析:
这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项,而且属于平方和(x2)2+(22)2的形式,要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去,即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=(x2+2)2﹣4x2=(x2+2)2﹣(2x)2=(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)
人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法,就把它叫做“热门定理”,请你依照苏菲•热门的做法,将下列各式因式分解.
(1)x4+4y4;
(2)x2﹣2ax﹣b2﹣2ab.
3.下面是某同学对多项式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:
设x2﹣4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2﹣4x+4)2(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 _________ .
A、提取公因式B.平方差公式
C、两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底 _________ .(填“彻底”或“不彻底”)
若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果 _________ .
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解.
4.找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a,并且将其进行因式分解.
5.利用因式分解说明:
两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.
6.已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为(3x﹣2),试求m的值并将多项式因式分解.
7.已知多项式(a2+ka+25)﹣b2,在给定k的值的条件下可以因式分解.请给定一个k值并写出因式分解的过程.
8.先阅读,后解题:
要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式,再去考虑,具体过程如下:
解:
2x2+8x+10
=2(x2+4x+5)(提公因式,得到一个二次项系数为1的二次多项式)
=2(x2+4x+22﹣22+5)
=2[(x+2)2+1](将二次多项式配方)
=2(x+2)2+2(去掉中括号)
因为当x取任意实数时,代数式2(x+2)2的值一定是非负数,那么2(x+2)2+2的值一定为正数,所以,原式的值恒大于0,并且,当x=﹣2时,原式有最小值2.
请仿照上例,说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0,并且说明它的最大值或者最小值是什么.
9.老师给学生一个多项式,甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述:
甲:
这是一个三次三项式;
乙:
三次项系数为1;
丙:
这个多项式的各项有公因式;
丁:
这个多项式分解因式时要用到公式法;
若已知这四位同学的描述都正确,请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式.
10.在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2(x﹣1)(x﹣9),而乙同学看错了常数项,而将其分解为2(x﹣2)(x﹣4),请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解.
11.观察李强同学把多项式(x2+6x+10)(x2+6x+8)+1分解因式的过程:
解:
设x2+6x=y,则
原式=(y+10)(y+8)+1
=y2+18y+81
=(y+9)2
=(x2+6x+9)2
(1)回答问题:
这位同学的因式分解是否彻底?
若不彻底,请你直接写出因式分解的最后结果:
_________ .
(2)仿照上题解法,分解因式:
(x2+4x+1)(x2+4x﹣3)+4.
12.
(1)写一个多项式,再把它分解因式(要求:
多项式含有字母m和n,系数、次数不限,并能先用提取公因式法再用公式法分解).
(2)阅读下列分解因式的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]①
=(1+x)2(1+x)②
=(1+x)3③
①上述分解因式的方法是 _________ ,由②到③这一步的根据是 _________ ;
②若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2006,结果是 _________ ;
③分解因式:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).
13.阅读下面的材料并完成填空:
因为(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,所以,对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解,就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p,即如果有a,b两数满足a﹒b=a+b=p,则有
x2+px+q=(x+a)(x+b).
如分解因式x2+5x+6.
解:
因为2×3=6,2+3=5,
所以x2+5x+6=(x+2)(x+3).
再如分解因式x2﹣5x﹣6.
解:
因为﹣6×1=﹣6,﹣6+1=﹣5,
所以x2﹣5x﹣6=(x﹣6)(x+1).
同学们,阅读完上述文字后,你能完成下面的题目吗?
试试看.
因式分解:
(1)x2+7x+12;
(2)x2﹣7x+12;(3)x2+4x﹣12;(4)x2﹣x﹣12.
答案
1.请看下面的问题:
把x4+4分解因式
分析:
这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项,而且属于平方和(x2)2+(22)2的形式,要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去,即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=(x2+2)2﹣4x2=(x2+2)2﹣(2x)2=(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)
人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法,就把它叫做“热门定理”,请你依照苏菲•热门的做法,将下列各式因式分解.
(1)x4+4y4;
(2)x2﹣2ax﹣b2﹣2ab.
考点:
因式分解-运用公式法.
专题:
阅读型.
分析:
这是要运用添项法因式分解,首先要看明白例题才可以尝试做以下题目.
解答:
解:
(1)x4+4y4=x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2,
=(x2+2y2)2﹣4x2y2,
=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2﹣2xy);
(2)x2﹣2ax﹣b2﹣2ab,
=x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab,
=(x﹣a)2﹣(a+b)2,
=(x﹣a+a+b)(x﹣a﹣a﹣b),
=(x+b)(x﹣2a﹣b).
点评:
本题考查了添项法因式分解,难度比较大.
2.下面是某同学对多项式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:
设x2﹣4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2﹣4x+4)2(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C .
A、提取公因式B.平方差公式
C、两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底 不彻底 .(填“彻底”或“不彻底”)
若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果 (x﹣2)4 .
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解.
考点:
提公因式法与公式法的综合运用.
专题:
阅读型.
分析:
(1)完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差;
(2)x2﹣4x+4还可以分解,所以是不彻底.
(3)按照例题的分解方法进行分解即可.
解答:
解:
(1)运用了C,两数和的完全平方公式;
(2)x2﹣4x+4还可以分解,分解不彻底;
(3)设x2﹣2x=y.
(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1,
=y(y+2)+1,
=y2+2y+1,
=(y+1)2,
=(x2﹣2x+1)2,
=(x﹣1)4.
点评:
本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力,按照提供的方法和样式解答即可,难度中等.
3.找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a,并且将其进行因式分解.
考点:
因式分解-十字相乘法等.
分析:
根据十字相乘法的分解方法和特点可知:
a是﹣6的两个因数的和,则﹣6可分成3×(﹣2),﹣3×2,6×(﹣1),﹣6×1,共4种,所以将x2+ax﹣6分解因式后有4种情况.
解答:
解:
x2+x﹣6=(x+3)(x﹣2);
x2﹣x﹣6=(x﹣3)(x+2);
x2+5x﹣6=(x+6)(x﹣1);
x2﹣5x﹣6=(x﹣6)(x+1).
点评:
本题考查十字相乘法分解因式,运用十字相乘法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程,常数﹣6的不同分解是本题的难点.
4.利用因式分解说明:
两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.
考点:
因式分解的应用.
分析:
根据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2,利用平方差公式进行因式分解,即可证出结论.
解答:
解:
设两个连续偶数为2n,2n+2,则有
(2n+2)2﹣(2n)2,
=(2n+2+2n)(2n+2﹣2n),
=(4n+2)×2,
=4(2n+1),
因为n为整数,
所以4(2n+1)中的2n+1是正奇数,
所以4(2n+1)是4的倍数,
故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除.
点评:
本题考查了因式分解的应用,解题的关键是正确设出两个连续正偶数,再用平方差公式对列出的式子进行整理,此题较简单.
5.已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为(3x﹣2),试求m的值并将多项式因式分解.
考点:
因式分解的意义.
分析:
由于x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2,所以当x=
时多项式的值为0,由此得到关于m的方程,解方程即可求出m的值,再把m的值代入3x2+x+m进行因式分解,即可求出答案.
解答:
解:
∵x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2,
当x=
时多项式的值为0,
即3×
=0,
∴2+m=0,
∴m=﹣2;
∴3x2+x+m=3x2+x﹣2=(x+1)(3x﹣2);
故答案为:
m=﹣2,(x+1)(3x﹣2).
点评:
本题主要考查因式分解的意义,有公因式时,要先考虑提取公因式;注意运用整体代入法求解.
6.已知多项式(a2+ka+25)﹣b2,在给定k的值的条件下可以因式分解.请给定一个k值并写出因式分解的过程.
考点:
因式分解-运用公式法.
专题:
开放型.
分析:
根据完全平方公式以及平方差公式进行分解因式即可.
解答:
解:
k=±10,
假设k=10,
则有(a2+10a+25)﹣b2=(a+5)2﹣b2=(a+5+b)(a+5﹣b).
点评:
此题主要考查了运用公式法分解因式,正确掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键.
7.先阅读,后解题:
要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式,再去考虑,具体过程如下:
解:
2x2+8x+10
=2(x2+4x+5)(提公因式,得到一个二次项系数为1的二次多项式)
=2(x2+4x+22﹣22+5)
=2[(x+2)2+1](将二次多项式配方)
=2(x+2)2+2(去掉中括号)
因为当x取任意实数时,代数式2(x+2)2的值一定是非负数,那么2(x+2)2+2的值一定为正数,所以,原式的值恒大于0,并且,当x=﹣2时,原式有最小值2.请仿照上例,说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0,并且说明它的最大值或者最小值是什么.
考点:
配方法的应用;非负数的性质:
偶次方.
分析:
按照题目提供的方法将二次三项式配方后即可得到答案.
解答:
解:
﹣2x2﹣8x﹣10
=﹣2(x2+4x+5)
=﹣2(x2+4x+22﹣22+5)
=﹣2[(x+2)2+1]
=﹣2(x+2)2﹣2
因为当x取任意实数时,代数式2(x+2)2的值一定是非负数,那么﹣2(x+2)2﹣2的值一定为负数,所以,原式的值恒小于0,并且,当x=﹣2时,原式有最大值﹣2.
点评:
此题考查了配方法与完全平方式的非负性的应用.注意解此题的关键是将原代数式准确配方.
8.老师给学生一个多项式,甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述:
甲:
这是一个三次三项式;
乙:
三次项系数为1;
丙:
这个多项式的各项有公因式;
丁:
这个多项式分解因式时要用到公式法;
若已知这四位同学的描述都正确,请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式.
考点:
提公因式法与公式法的综合运用.
专题:
开放型.
分析:
能用完全平方公式分解的式子的特点是:
三项;两项平方项的符号需相同;有一项是两底数积的2倍.
解答:
解:
由题意知,可以理解为:
甲:
这是一个关于x三次三项式;
乙:
三次项系数为1,即三次项为x3;
丙:
这个多项式的各项有公因式x;
丁:
这个多项式分解因式时要用到完全平方公式法.
故多项式可以为x(x﹣1)2=x(x2﹣2x+1)=x3﹣2x2+x.
点评:
本题考查了提公因式法和公式法分解因式,是开放性题,根据描述按照要求列出这个多项式.答案不唯一.
9.在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2(x﹣1)(x﹣9),而乙同学看错了常数项,而将其分解为2(x﹣2)(x﹣4),请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解.
考点:
因式分解的应用.
分析:
此题可以先将两个分解过的式子还原,再根据两个同学的错误得出正确的二次三项式,最后进行因式分解即可.
解答:
解:
2(x﹣1)(x﹣9)=2x2﹣20x+18,2(x﹣2)(x﹣4)=2x2﹣12x+16;
由于甲同学因看错了一次项系数,乙同学看错了常数项,
则正确的二次三项式为:
2x2﹣12x+18;
再对其进行因式分解:
2x2﹣12x+18=2(x﹣3)2.
点评:
本题考查了因式分解的应用,题目较为新颖,同学们要细心对待.
10.观察李强同学把多项式(x2+6x+10)(x2+6x+8)+1分解因式的过程:
解:
设x2+6x=y,则
原式=(y+10)(y+8)+1
=y2+18y+81
=(y+9)2
=(x2+6x+9)2
(1)回答问题:
这位同学的因式分解是否彻底?
若不彻底,请你直接写出因式分解的最后结果:
(x+3)4 .
(2)仿照上题解法,分解因式:
(x2+4x+1)(x2+4x﹣3)+4.
考点:
因式分解-十字相乘法等.
专题:
换元法.
分析:
(1)根据x2+6x+9=(x+3)2,进而分解因式得出答案即可;
(2)仿照例题整理多项式进而分解因式得出答案即可.
解答:
解:
(1)这位同学的因式分解不彻底,
原式=(y+10)(y+8)+1
=y2+18y+81
=(y+9)2
=(x2+6x+9)2
=(x+3)4.
故答案为:
(x+3)4;
(2)设x2+4x=y,则
原式=(y+1)(y﹣3)+4
=y2﹣2y+1
=(y﹣1)2
=(x2+4x﹣1)2.
点评:
此题主要考查了因式分解法的应用,正确分解因式以及注意分解因式要彻底是解题关键.
11.
(1)写一个多项式,再把它分解因式(要求:
多项式含有字母m和n,系数、次数不限,并能先用提取公因式法再用公式法分解).
(2)阅读下列分解因式的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]①
=(1+x)2(1+x)②
=(1+x)3③
①上述分解因式的方法是 提公因式法分解因式 ,由②到③这一步的根据是 同底数幂的乘法法则 ;
②若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2006,结果是 (1+x)2007 ;
③分解因式:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).
考点:
因式分解-提公因式法.
分析:
(1)根据题目要求可以编出先提公因式后用平方差的式子,答案不唯一;
(2)首先通过分解因式,可发现①中的式子与结果之间的关系,根据所发现的结论可直接得到答案.
解答:
解:
(1)m3﹣mn2=m(m2﹣n2)=m(m﹣n)(m+n),
(2)①提公因式法,同底数幂的乘法法则;
②根据①中可发现结论:
(1+x)2007;
③(1+x)n+1.
点评:
此题主要考查了因式分解法中的提公因式法分解因式,公式法分解因式以及分解因式得根据,考查同学们的观察能力与归纳能力.
12.阅读下面的材料并完成填空:
因为(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,所以,对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解,就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p,即如果有a,b两数满足a﹒b=a+b=p,则有
x2+px+q=(x+a)(x+b).
如分解因式x2+5x+6.
解:
因为2×3=6,2+3=5,
所以x2+5x+6=(x+2)(x+3).
再如分解因式x2﹣5x﹣6.
解:
因为﹣6×1=﹣6,﹣6+1=﹣5,
所以x2﹣5x﹣6=(x﹣6)(x+1).
同学们,阅读完上述文字后,你能完成下面的题目吗?
试试看.
因式分解:
(1)x2+7x+12;
(2)x2﹣7x+12;(3)x2+4x﹣12;(4)x2﹣x﹣12.
考点:
因式分解-十字相乘法等.
专题:
阅读型.
分析:
发现规律:
二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解,就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p,则x2+px+q=(x+a)(x+b).
解答:
解:
(1)x2+7x+12=(x+3)(x+4);
(2)x2﹣7x+12=(x﹣3)(x﹣4);
(3)x2+4x﹣12=(x+6)(x﹣2);
(4)x2﹣x﹣12=(x﹣4)(x+3).
点评:
本题考查十字相乘法分解因式,是x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解的应用,应识记:
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
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