完整版线性代数知识点总结汇总.docx
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完整版线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结
1行列式
(一)行列式概念和性质
1、逆序数:
所有的逆序的总数
2、行列式定义:
不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质:
(用于化简行列式)
(1)行列互换(转置),行列式的值不变
(2)两行(列)
(3)提公因式:
互换,行列式变号
行列式的某一行(列)的所有兀素都乘以同一数k,等于用数k
乘此行列式
(4)拆列分配:
行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个
行列式就等于两个行列式之和
(5)—行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变
(6)两行成比例,行列式的值为0。
(二)重要行列式
4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘""
&Laplace展开式:
(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则
*30
7、n阶(n》2)范德蒙德行列式
a,其余元素为b的行列式的值:
1
1---
Xj…
1
益
巩=
rr
=n(兀-无)
-
1
H—1
・-用一1
X1
孔…
数学归纳法证明
★8对角线的元素为
abbb
bab-b
bba-&=[□+(科
bbb■■a
(三)按行(列)展开
9、按行展开定理:
(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值
(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0
(四)行列式公式
10、行列式七大公式:
(1)|kA|=kn|A|
(2)|AB|=|A|•|B|
(3)|At|=|A|
(4)|A-1|=|A|-1
(5)|A*|=|A|n-1
(6)若A的特征值入1入2……入n则1=1
(7)若A与B相似,则|A|=|B|
(五)克莱姆法则
11、克莱姆法则:
(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯
(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0
(3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。
2矩阵
(1)矩阵的运算
1、矩阵乘法注意事项:
(1)矩阵乘法要求前列后行一致;
(2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A1,A*,f(A)时,可以用交换律)
(3)AB=O不能推出A=O或B=Oo
2、转置的性质(5条)
(1)(A+B)t=At+Bt
(2)(kA)T=kAT
(3)(AB)T=BTAT
(4)|A|t=|A|
(5)(AT)t=A
(2)矩阵的逆
3、逆的定义:
AB=^BA=EM立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为B=A-1
注:
A可逆的充要条件是|A|丰0
4、逆的性质:
(5条)
(1)(kA)-1=1/k•A-1(kM0)
(2)(AB)—B1•A-1
(3)|A-1|=|A|-1
(4)(AT)-1=(A-1)T
(5)(A-1)-1=A
5、逆的求法:
(1)A为抽象矩阵:
由定义或性质求解
(2)A为数字矩阵:
(A|E)一初等行变换-(E|A-1)
(三)矩阵的初等变换
6初等行(列)变换定义:
(1)两行(列)互换;
(2)一行(列)乘非零常数c
(3)—行(列)乘k加到另一行(列)
7、初等矩阵:
单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。
8、初等变换与初等矩阵的性质:
(1)初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵
(2)初等矩阵均为可逆矩阵,且Ej-1=Ej(i,j两行互换);
E-1(c)=E(1/c)(第i行(列)乘c)j(k)=Ej(-k)(第i行乘k加到j)
★(四)矩阵的秩
9、秩的定义:
非零子式的最高阶数
注:
(1)r(A)=0意味着所有元素为0,即A=O
(2)r(Anxn)=n(满秩)<-->|A|工0<-->A可逆;
r(A)vn<--A|=0<-->A不可逆;
(3)r(A)=r(r=1、2、…、n-1)<--r阶子式非零且所有叶1子式均为0
10、秩的性质:
(7条)
(1)A为mxn阶矩阵,则r(A) (2)r(A±B) (3)r(AB) (4)r(kA)=r(A)(〜0) (5)r(A)=r(AC)(C是一个可逆矩阵) (6)r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT) (7)设A是mxn阶矩阵,B是nxs矩阵,AB=O,则r(A)+r(B) 11、秩的求法: (1)A为抽象矩阵: 由定义或性质求解; (2)A为数字矩阵: Af初等行变换f阶梯型(每行第一个非零元素下面的元素均为0),则r(A)=非零行的行数 (五)伴随矩阵 12、伴随矩阵的性质: (8条) (1) AA*=A*A=|A|E f★A*=|A|A-1 (2) (kA)*=kn-1A* (3) (AB)*=B*A* (4) |A*|=|A|n-1 (5) (At)*=(A*) T (6) (A-1)*=(A*) -1=A|A|-1 (7) (A*)*=|A|n-2 •A ★(8)r(A*) =n (r (A) =n); r(A*) =1 (r (A) =n-1); r(A*) =0 (r (A) vn-1) (六)分块矩阵 13、分块矩阵的1 乘法: 要「 求前列后行分法相同 14、分块矩阵求〕 逆: 3向量 (一)向量的概念及运算 1、向量的内积: (a,B)=aTB=BTa 、亠、tt)=飞/征」。 =Jaf十品+…十d; 2、长度定义: ||a||=' 3、正交定义: (a,B)=aTB=BTa=a1b什a2b2+…+anbn=04、正交矩阵的定义: A为n阶矩阵,AA^E-->A-1=At<-->ATA=Ef|A|=±1 (2)线性组合和线性表示 5、线性表示的充要条件: 非零列向量B可由ai,a2,…,as线性表示 ⑴E齐次线性方程组(a1,a2,…,as)(Xi,X2,…,Xs)T=B有解。 ★ (2)—>r(a1,a2,…,as)=r(ai,a2,…,as,B)(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验) 6、线性表示的充分条件: (了解即可) 若ai,a2,…,as线性无关,a1,a2,…,as,B线性相关,则B可由a1,a2,…,as线性表示。 7、线性表示的求法: (大题第二步) 设a1,a2,…,as线性无关,B可由其线性表示。 (a1,a2,…,as|B)f初等行变换(行最简形|系数)行最简形: 每行第一个非0的数为1,其余元素均为0 (3)线性相关和线性无关 8、线性相关注意事项: (1)a线性相关一a=0 (2)a1,a2线性相关一a1,a2成比例 9、线性相关的充要条件: 向量组a1,a2,…,as线性相关 (1)—有个向量可由其余向量线性表示; (2)<—次方程(a1,a2,…,as)(X1,X2,…,Xs)T=0有非零解; ★(3) Jfr(a1,a2, …,as)Vs即秩小于个数 特别地, n个n维列向量 a1,a2,…,an线性相关 (1)J fr(a1,a2, …,an)vn (2)J fa1,a2,…, an|=0 (3)J f(a1,a2,… an)不可逆 10、线性相关的充分条件: (1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关 (2)部分相关,则整体相关 (3)高维相关,则低维相关 (4)以少表多,多必相关 ★推论: n+1个n维向量一定线性相关 11、线性无关的充要条件 向量组a1,a2,…,as线性无关 (1)―任意向量均不能由其余向量线性表示; (2)<—次方程(ai,a2,…,as)(Xi,X2,…,Xs)T=0只有零解 (3)v—>r(a1,a2,…,as)=s 特别地,n个n维向量a1,a2,…,an线性无关 v—T(a1,a2,…,an)=n<—>|a1,a2,…,an|工0v--1阵可逆 12、线性无关的充分条件: (1)整体无关,部分无关 (2)低维无关,高维无关 (3)正交的非零向量组线性无关 (4)不同特征值的特征向量无关 13、线性相关、线性无关判定 (1)定义法 ★ (2)秩: 若小于阶数,线性相关;若等于阶数,线性无关 【专业知识补充】 (1)在1阵左边乘列满秩1阵(秩=列数),1阵的秩不变;在1阵右边乘行满秩1阵,1阵的秩不变。 (2)若n维列向量a1,a2,a3线性无关,B1,B2,B3可以由其线性表示,即(B1,B2,B3)=(a1,a2,a3)C,则r(B1,B2,B3)=r(C),从而线性无关。 (4)极大线性无关组与向量组的秩 14、极大线性无关组不唯一 15、向量组的秩: 极大无关组中向量的个数成为向量组的秩 对比: 矩阵的秩: 非零子式的最高阶数 ★注: 向量组a1,a2,…,as的秩与矩阵A=(a1,a2,…,as)的秩相等 ★16、极大线性无关组的求法 (1)a1,a2,…,as为抽象的: 定义法 (2)a1,a2,…,as为数字的: (a1,a2,…,as)—初等行变换—阶梯型矩阵 则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组 (5)向量空间 17、基(就是极大线性无关组)变换公式: 若a1,a2,…,an与B1,B2,…,Bn是n维向量空间V的两组基,则基变换公式为(B1,B2,…,Bn)=(a1,a2,…,an)Cnxn 其中,C是从基a1,a2,…,an到B1,B2,…,Bn的过渡矩阵。 C=(a1,a2,…,an)-1(B1,B2,…,Bn) 18、坐标变换公式: 向量丫在基a1,a2,…,an与基B1,B2,…,Bn的坐标分别为x=(X1,X2,…,Xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T,,即丫=X1a1+垃a2+…+xnan=y1B1+y2B2+…+ynBn,则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x0其中,C是从基a1,a2,…,an到B1,B2,…,Bn的过渡矩阵。 C=(a1,a2,…,an)-1(B1,B2,…,Bn) (6)Schmidt正交化 19、Schmidt正交化设a1,a2,a3线性无关 (1)正交化 令B1=a1 (角虫) (2)单位化 4线性方程组 (1)方程组的表达形与解向量 1、解的形式: (1)一般形式 (2)矩阵形式: Ax=b; ⑶向量形式: A=(a1,a2,…,an) 2、解的定义: 若n=(ci,C2,…,cn)T满足方程组Ax=b,即An=b,称n是Ax=b的一个解 (向量) (2)解的判定与性质 3、齐次方程组: (1)只有零解--r(A)=n(n为A的列数或是未知数x的个数) (2)有非零解—r(A)vn 4、非齐次方程组: (1)无解-->r(A)vr(A|b)<-->r(A)=r(A)-1 (2)唯一解--r(A)=r(A|b)=n (3)无穷多解—r(A)=r(A|b)vn 5、解的性质: (1)若E1,E2是Ax=0的解,贝Uk1E1+k2E2是Ax=0的解 (2)若E是Ax=0的解,n是Ax=b的解,则E+n是Ax=b的解 (3)若n1,n2是Ax=b的解,则n1-n2是Ax=0的解 【推广】 (1)设ni,n2,…,ns是Ax=b的解,贝Ukini+k2n2+…+ksns为 一Ax=b的解(当工ki=1) ■R -Ax=0的解(当艺ki=0) (2)设n1,n2,…,ns是Ax=b的s个线性无关的解,贝打2-n1,n3-n1,…,ns-n1为Ax=0的s-1个线性无关的解。 变式: ①n1-n2,n3-n2,…,ns-n2 ②n2-n1,n3-n2,…,ns-ns-1 (3)基础解系 6基础解系定义: (1)E1,E2,…,Es是Ax=0的解 (2)E1,E2,…,Es线性相关 (3)Ax=0的所有解均可由其线性表示 -基础解系即所有解的极大无关组 注: 基础解系不唯一。 任意n-r(A)个线性无关的解均可作为基础解系。 ★7、重要结论: (证明也很重要) 设A施mxn阶矩阵,B是nxs阶矩阵,AB=O (1)B的列向量均为方程Ax=0的解 (2)r(A)+r(B) 8、总结: 基础解系的求法 (1)A为抽象的: 由定义或性质凑n-r(A)个线性无关的解 (2)A为数字的: A-初等行变换一阶梯型 自由未知量分别取1,0,0;0,1,0;0,0,1;代入解得非自由未知量得到基础解系 (4)解的结构(通解) 9、齐次线性方程组的通解(所有解) 设r(A)=r,E1,E2,…,En-r为Ax=0的基础解系, 则Ax=0的通解为kn1+k2n2kn-rnn-r(其中k1,k2,…,kn-r为任意常数) 10、非齐次线性方程组的通解 设r(A)=r,Ei,E2,…,En-r为Ax=0的基础解系,n为Ax=b的特解, 则Ax=b的通解为n+kinl+k2n2+…+kn-rnn-r(其中kl,k2,…,kn-r为任意常数) (5)公共解与同解 11、公共解定义: 如果a既是方程组Ax=0的解,又是方程组Bx=0的解,则称a为其公共解 12、非零公共解的充要条件: 方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解 x~0 有非零解《 13、重要结论(需要掌握证明) (1)设A是mxn阶矩阵,则齐次方程ATAx=0与Ax=0同解,r(ATA=r(A) (2)设A是mxn阶矩阵,r(A)=n,B是nxs阶矩阵,则齐次方程ABx=0与 Bx=0同解,r(AB)=r(B) 5特征值与特征向量 (1)矩阵的特征值与特征向量 1、特征值、特征向量的定义: 设A为n阶矩阵,如果存在数入及非零列向量a,使得Aa=Xa,称a是矩阵 A属于特征值入的特征向量。 2、特征多项式、特征方程的定义: |入E-A|称为矩阵A的特征多项式(入的n次多项式)。 |入E-A|=0称为矩阵A的特征方程(入的n次方程)。 注: 特征方程可以写为|A-入E|=0 3、重要结论: (1)若a为齐次方程Ax=0的非零解,贝UAa=0・a,即a为矩阵A特征值入=0的特征向量 (2)A的各行元素和为k,则(1,1,…,1)T为特征值为k的特征向量。 (3)上(下)三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。 △4、总结: 特征值与特征向量的求法 (1)A为抽象的: 由定义或性质凑 (2)A为数字的: 由特征方程法求解 5、特征方程法: (1)解特征方程|入E-A|=O,得矩阵A的n个特征值入1,入2,…,入n 注: n次方程必须有n个根(可有多重根,写作入1=X2=・・=入s=实数,不能省略) (2)解齐次方程(XiE-A=O,得属于特征值入i的线性无关的特征向量,即其基础解系(共n-r(XiE-A个解) 6性质: (1)不同特征值的特征向量线性无关 (2)k重特征值最多k个线性无关的特征向量 1 (3)设A的特征值为X1,X2,…,Xn,则|A|=nxi,2Xi=2aii (4)当r(A)=1,即A=aBT,其中a,B均为n维非零列向量,则A的特征值为X1=2ai=aTB=BTa,X2=^=Xn=0 (5)设a是矩阵A属于特征值X的特征向量,则 A f (A) at A- 1 A* P-1AP(相 似) X f (X X X 1 |A|X1 X a a / a a P1a (2)相似矩阵 7、相似矩阵的定义: 设A、B均为n阶矩阵,如果存在可逆矩阵P使得B=F-1AP,称A与B相似,记 作A~B 8、相似矩阵的性质 (1)若A与B相似,贝Uf(A)与f(B)相似 (2)若A与B相似,B与C相似,则A与C相似 (3)相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹(即主对角线元素之和) 【推广】 (4)若A与B相似,则AB与BA相似,A与BT相似,A-1与B1相似,A*与B也相似 (3)矩阵的相似对角化 9、相似对角化定义: ....r如果A与对角矩阵相似,即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=A=称A可相似对角化。 注: Aai=Xiai(aK0,由于P可逆),故P的每一列均为矩阵A的特征值入i的特征向量 10、相似对角化的充要条件 (1)A有n个线性无关的特征向量 (2)A的k重特征值有k个线性无关的特征向量 11、相似对角化的充分条件: (1)A有n个不同的特征值(不同特征值的特征向量线性无关) (2)A为实对称矩阵 12、重要结论: (1)若A可相似对角化,则r(A)为非零特征值的个数,n-r(A)为零特征值的个数 (2)若A不可相似对角化,r(A)不一定为非零特征值的个数 (4)实对称矩阵 13、性质 (1)特征值全为实数 (2)不同特征值的特征向量正交 (3)A可相似对角化,即存在可逆矩阵P使得P-1APS (4)A可正交相似对角化,即存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=QTAQ点 6二次型 (一)二次型及其标准形 1、二次型: (1)一般形式 (2)矩阵形式(常用) 2、标准形: 如果二次型只含平方项,即f(X1,X2,…,Xn)=dlXl2+d2X22+…+dnXn2这样的二次型称为标准形(对角线) 3、二次型化为标准形的方法: (1)配方法: 通过可逆线性变换X=Cy(C可逆),将二次型化为标准形。 其中,可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。 ★ (2)正交变换法: 通过正交变换x=Qy,将二次型化为标准形入iyi2+入2y22+…+入nyn2其中,入1,入2,…,入n是A的n个特征值,Q为A的正交矩阵注: 正交矩阵Q不唯一,丫i与入i对应即可。 (二)惯性定理及规范形 4、定义: 正惯性指数: 标准形中正平方项的个数称为正惯性指数,记为p; 负惯性指数: 标准形中负平方项的个数称为负惯性指数,记为q; 规范形: f=Z12+…Zp2-Zp+12-…-zp+q2称为二次型的规范形。 5、惯性定理: 二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形,其正负惯性指数不变。 注: (1)由于正负惯性指数不变,所以规范形唯一。 (2)p=正特征值的个数,q=负特征值的个数,p+q=非零特征值的个数=r(A) (三)合同矩阵 6、定义: A、B均为n阶实对称矩阵,若存在可逆矩阵C,使得B=CAC,称A与B合同 △7、总结: n阶实对称矩阵A、B的关系 (1)A、B相似(B=P1AP)―相同的特征值 (2)A、B合同(B=CAC)—相同的正负惯性指数-T相同的正负特征值的个数 (3)AB等价(B=PAQ<-->r(A)=r(B)注: 实对称矩阵相似必合同,合同必等价 (4)正定二次型与正定矩阵 8、正定的定义 二次型xTAx,如果任意xm0,恒有xTAx>0,则称二次型正定,并称实对称矩阵A是正定矩阵。 9、n元二次型xTAx正定充要条件: (1)A的正惯性指数为n (2)A与E合同,即存在可逆矩阵C,使得A=CC或CtAC=E (3)A的特征值均大于0 (4)A的顺序主子式均大于0(k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式) 10、n元二次型xTAx正定必要条件: (1)aii>0 (2)|A|>0 11、总结: 二次型xTAx正定判定(大题) (1)A为数字: 顺序主子式均大于0 (2)A为抽象: ①证A为实对称矩阵: At=A;②再由定义或特征值判定 12、重要结论: (1)若A是正定矩阵,则kA(k>0),Ak,At,A-1,A*正定 (2)若A、B均为正定矩阵,则A+B正定
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