植树问题.docx
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植树问题
植树问题为使其更直观,用图示法来说明。
树用点来表示,植树的沿线用线来表示,这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。
一、植树问题公式
单边植树(两端都植):
距离÷间隔数+1=棵数
单边植树(只植一端):
距离÷间隔数=棵数
单边植树(两端都不植):
距离÷间隔数-1=棵数
双边植树(两端都植):
(距离÷间隔数+1)×2=棵数
双边植树(只植一端):
(距离÷间隔数)×2=棵数
双边植树(两端都不植):
(距离÷间隔数-1)×2=棵数
循环植树:
距离÷间隔数=棵数
解释:
1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数=段数+1=全长÷株距+1
全长=株距×(株数-1)
株距=全长÷(株数-1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数-1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数+1)
株距=全长÷(株数+1)
2封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
二、植树问题练习题
例1长方形场地:
一个长84米,宽54米的长方形苹果园中,苹果树的株距是2米,行距是3米.这个苹果园共种苹果树多少棵?
解法一:
①一行能种多少棵?
84÷2=42(棵).|
②这块地能种苹果树多少行?
54÷3=18(行).
③这块地共种苹果树多少棵?
42×18=756(棵).
如果株距、行距的方向互换,结果相同:
(84÷3)×(54÷2)=28×27=756(棵).
解法二:
①这块地的面积是多少平方米呢?
84×54=4536(平方米).
②一棵苹果树占地多少平方米呢?
2×3=6(平方米).
③这块地能种苹果树多少棵呢?
4536÷6=756(棵).
当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时,可用上述两种方法中的任意一种来解;当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时,就只能用第二种解法来解.
但有些问题从表面上看,并没有出现“植树”二字,但题目实质上是反映封闭线段或不封闭线段长度、分隔点、每段长度三者之间的关系。
锯木头问题就是典型的不封闭线段上,两头不植树问题。
所锯的段数总比锯的次数多一。
上楼梯问题,就是把每上一层楼梯所需的时间看成一个时间间隔,那么:
上楼所需总时间=(终点层—起始层)×每层所需时间。
而方阵队列问题,看似与植树问题毫不相干,实质上都是植树问题。
例2直线场地:
在一条公路的两旁植树,每隔3米植一棵,植到头还剩3棵;每隔2.5米植一棵,植到头还缺少37棵,求这条公路的长度。
解法一:
(代数解法)
设一共有x棵树【(x-3)/2-1】X3=【(x+37)/2-1】X2.5
x=205
公路长:
【(205-3)/2-1】X3=300
得:
公路长度为300米
解法二:
(算术解法)
这道题可以用解盈亏问题的思路来考虑:
首先,我们在两边起点处各栽下一棵树,这两棵树与路长没有关系,以后每栽下一棵树,不论栽在哪一侧,植树的路线(不是路)就增加一个间距,为了简单起见,我们按单侧植树来考虑。
当按3米的间距植树时,最后剩下3棵,也就是说植树的路线要比路长出3个间距,3×3=9米,当按2.5米的间距植树时,最后还缺37棵树,也就是说植树的路线比路短了37个间距,2.5×37=92.5米,两次相差9+92.5=101.5米,两次植树的间距相差是3-2.5=0.5米,据此可以求出树的棵数:
(不包括起点的2棵)
101.5÷0.5=203(个)
知道了树的棵数,就可以求出植树路线的长度了:
3×(203-3)=600(米)
或2.5×(203+37)=600(米)
因为是双侧植树,所以路长为:
600÷2=300(米)
综合算式为:
3×〔(3×3+2.5×37)÷(3-2.5)-3〕÷2=300(米)
或2.5×〔(3×3+2.5×37)÷(3-2.5)+37〕÷2=300(米)
答:
(略)
例3圆形场地(难题):
有一个圆形花坛,绕它走一圈是120米。
如果在花坛周围每隔6米栽一株丁香花,再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花。
可栽丁香花多少株?
可栽月季花多少株?
每2株紧相邻的月季花相距多少米
解:
根据棵数=全长÷间隔可求出栽丁香花的株数:
120÷6=20(株)
由于是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花,丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等,因此,可栽月季花:
2×20=40(株)
由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的,而2株丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份,因此紧相邻2株月季花之间距离为:
6÷3=2(米)
答:
可栽丁香花20株,可栽月季花40株,2株紧相邻月季花之间相距2米。
例4在圆形水池边植树,把树植在距离岸边均为3米的圆周上,按弧长计算,每隔2米植一棵树,共植了314棵。
水池的周长是多少米?
(适于六年级程度)
解:
先求出植树线路的长。
植树线路是一个圆的周长,这个圆的周长是:
2×314=628(米)
这个圆的直径是:
628÷3.14=200(米)
由于树是植在距离岸边均为3米的圆周上,所以圆形水池的直径是:
200-3×2=194(米)
圆形水池的周长是:
194×3.14=609.16(米)
综合算式:
(2×314÷3.14-3×2)×3.14
=(200-6)×3.14
=194×3.14
=609.16(米)
植树问题为使其更直观,用图示法来说明。
树用点来表示,植树的沿线用线来表示,这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。
一、植树问题公式
单边植树(两端都植):
距离÷间隔数+1=棵数
单边植树(只植一端):
距离÷间隔数=棵数
单边植树(两端都不植):
距离÷间隔数-1=棵数
双边植树(两端都植):
(距离÷间隔数+1)×2=棵数
双边植树(只植一端):
(距离÷间隔数)×2=棵数
双边植树(两端都不植):
(距离÷间隔数-1)×2=棵数
循环植树:
距离÷间隔数=棵数
解释:
1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数=段数+1=全长÷株距+1
全长=株距×(株数-1)
株距=全长÷(株数-1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数-1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数+1)
株距=全长÷(株数+1)
2封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
二、植树问题练习题
例1长方形场地:
一个长84米,宽54米的长方形苹果园中,苹果树的株距是2米,行距是3米.这个苹果园共种苹果树多少棵?
解法一:
①一行能种多少棵?
84÷2=42(棵).|
②这块地能种苹果树多少行?
54÷3=18(行).
③这块地共种苹果树多少棵?
42×18=756(棵).
如果株距、行距的方向互换,结果相同:
(84÷3)×(54÷2)=28×27=756(棵).
解法二:
①这块地的面积是多少平方米呢?
84×54=4536(平方米).
②一棵苹果树占地多少平方米呢?
2×3=6(平方米).
③这块地能种苹果树多少棵呢?
4536÷6=756(棵).
当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时,可用上述两种方法中的任意一种来解;当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时,就只能用第二种解法来解.
但有些问题从表面上看,并没有出现“植树”二字,但题目实质上是反映封闭线段或不封闭线段长度、分隔点、每段长度三者之间的关系。
锯木头问题就是典型的不封闭线段上,两头不植树问题。
所锯的段数总比锯的次数多一。
上楼梯问题,就是把每上一层楼梯所需的时间看成一个时间间隔,那么:
上楼所需总时间=(终点层—起始层)×每层所需时间。
而方阵队列问题,看似与植树问题毫不相干,实质上都是植树问题。
例2直线场地:
在一条公路的两旁植树,每隔3米植一棵,植到头还剩3棵;每隔2.5米植一棵,植到头还缺少37棵,求这条公路的长度。
解法一:
(代数解法)
设一共有x棵树【(x-3)/2-1】X3=【(x+37)/2-1】X2.5
x=205
公路长:
【(205-3)/2-1】X3=300
得:
公路长度为300米
解法二:
(算术解法)
这道题可以用解盈亏问题的思路来考虑:
首先,我们在两边起点处各栽下一棵树,这两棵树与路长没有关系,以后每栽下一棵树,不论栽在哪一侧,植树的路线(不是路)就增加一个间距,为了简单起见,我们按单侧植树来考虑。
当按3米的间距植树时,最后剩下3棵,也就是说植树的路线要比路长出3个间距,3×3=9米,当按2.5米的间距植树时,最后还缺37棵树,也就是说植树的路线比路短了37个间距,2.5×37=92.5米,两次相差9+92.5=101.5米,两次植树的间距相差是3-2.5=0.5米,据此可以求出树的棵数:
(不包括起点的2棵)
101.5÷0.5=203(个)
知道了树的棵数,就可以求出植树路线的长度了:
3×(203-3)=600(米)
或2.5×(203+37)=600(米)
因为是双侧植树,所以路长为:
600÷2=300(米)
综合算式为:
3×〔(3×3+2.5×37)÷(3-2.5)-3〕÷2=300(米)
或2.5×〔(3×3+2.5×37)÷(3-2.5)+37〕÷2=300(米)
答:
(略)
例3圆形场地(难题):
有一个圆形花坛,绕它走一圈是120米。
如果在花坛周围每隔6米栽一株丁香花,再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花。
可栽丁香花多少株?
可栽月季花多少株?
每2株紧相邻的月季花相距多少米
解:
根据棵数=全长÷间隔可求出栽丁香花的株数:
120÷6=20(株)
由于是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花,丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等,因此,可栽月季花:
2×20=40(株)
由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的,而2株丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份,因此紧相邻2株月季花之间距离为:
6÷3=2(米)
答:
可栽丁香花20株,可栽月季花40株,2株紧相邻月季花之间相距2米。
例4在圆形水池边植树,把树植在距离岸边均为3米的圆周上,按弧长计算,每隔2米植一棵树,共植了314棵。
水池的周长是多少米?
(适于六年级程度)
解:
先求出植树线路的长。
植树线路是一个圆的周长,这个圆的周长是:
2×314=628(米)
这个圆的直径是:
628÷3.14=200(米)
由于树是植在距离岸边均为3米的圆周上,所以圆形水池的直径是:
200-3×2=194(米)
圆形水池的周长是:
194×3.14=609.16(米)
综合算式:
(2×314÷3.14-3×2)×3.14
=(200-6)×3.14
=194×3.14
=609.16(米)
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