中考综合型问题集四.docx
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中考综合型问题集四.docx
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中考综合型问题集四
91.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=-
x2+16与x轴正半轴交于点F、与y轴正半轴交于点E,边长为8的正方形ABCD的边CD在x轴上,且顶点C与点F重合,抛物线与边AB交于点P.
(1)求点F、点P的坐标;
(2)如图2,若正方形ABCD在平面内运动,并且边BC所在的直线始终与x轴垂直,抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q.当P、Q分别经过AB、CD的三等分点时,设点A的坐标为(m,n)(m>0),求m的值;
(3)当正方形ABCD左右平移时,抛物线始终与边AB交于点P,且同时与边CD交于点Q,设点A的坐标为(m,n)(m>0),求m的取值范围.
92.已知抛物线y=-
(x-2)2+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴正半轴交于点C,顶点为D,DE⊥x轴于点E,DA交y轴于点F,sin∠DOE=
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过E点的直线与y轴相交于点P,过O、D两点作直线PE的垂线,垂足分别为G、H,若
=
,求点P的坐标;
(3)点A关于y轴的对称点为A′,Q为抛物线上一动点,直线FQ交x轴于点K.是否存在这样的点Q,使△AFK与△AA′D相似?
若存在,求出所有符合条件的直线QK的解析式;若不存在,请说明理由.
93.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(-3,0),B(1,0),与y轴负半轴交于点C,sin∠OBC=
,点D的坐标为(0,-9).
(1)求二次函数的解析式;
(2)点E在二次函数y=ax2+bx+c的图象上,四边形ABCE是以AB为一底边的梯形,求点E的坐标;
(3)在
(2)的条件下,过点E作直线EF⊥x轴于F,直线EF与线段AD相交于点G.问:
在二次函数的图象上是否存在点P,使直线PG与y轴相交所成的锐角等于梯形ABCE的底角?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
94.如图,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,AO=AB,点B坐标为(10,0),过原点O的抛物线,又过点A和G,点G坐标为(7,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)边OB上有一动点T(t,0)(T不与点O、B重合),过点T作OA、AB的垂线,垂足分别为C、D.设△TCD的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并求S的最大值;
(3)已知M(2,0),过点M作MK⊥OA,垂足为K,作MN⊥OB,交OA于点N.在线段OA上是否存在一点Q,使得Rt△KMN绕点Q旋转180°后,点M、K恰好落在
(1)中所求抛物线上,若存在,请求出点Q和抛物线上与M、K对应的点的坐标;若不存在,请说明理由.
95.如图,点M坐标为(-4,0),以点M为圆心,2为半径的圆与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点,与y轴交于点C(0,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D(m,
)(m<0)是抛物线y=
x2+bx+c上一点,点P是抛物线对称轴上的一个动点,求PB+PD的最小值;
(4)CE切⊙M于点E,且点E在第三象限.在抛物线上是否存在一点Q,使△QOC的面积等于△EOC的面积?
若存在,求点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
96.抛物线y=ax2+2x+3(a<0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,顶点为D,连接BD并以BD为直径作⊙M.
(1)写出抛物线的对称轴及C、D两点的坐标(用含a的代数式表示);
(2)当a=-1时,判断⊙M是否经过点C,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,点P是抛物线上任意一点,过P作对称轴的垂线,垂足为Q.那么是否存在这样的点P,使△PQD与以B、C、D为顶点的三角形相似?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
97.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)设点P为抛物线(x>5)上的一点,若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数,请直接写出点P的坐标;
(3)连接AC.探索:
在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大?
若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
98.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-3),顶点为D(-1,-4),连接AC、CD.
(1)求抛物线的解析式;
(2)试在x轴上找一点E,使∠CED最大,求点E的坐标;
(3)点Q是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点P,使以A、C、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
99.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经过A(3,0)、B(0,-3)两点,点P是直线AB上一动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M.
(1)若点P在第四象限,连接AM、BM,当△ABM的面积最大时,求△ABM的AB边上的高;
(2)若四边形PMBO为等腰梯形,求点P的坐标
(3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
100.如图,一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=
x2+bx+c的图象经过A、C两点,且与x轴交于点B.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC的面积;
(3)作直线MN平行于x轴,分别交线段AC、BC于点M、N.
问在x轴上是否存在点P,使得△PMN是等腰直角三角形?
如果存在,求出所有满足条件的P点的坐标;如果不存在,请说明理由.
101.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,4),顶点为(1,
).
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点P,使△CDP为等腰三角形,请直接写出满足条件的所有点P的坐标;
(3)若点E是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合),分别连结AC、BC,过点E作EF∥AC交线段BC于点F,连接CE,记△CEF的面积为S,S是否存在最大值?
若存在,求出S的最大值及此时E点的坐标;若不存在,请说明理由.
102.如图,已知直线y=-
x+2与抛物线y=a(x+2)2相交于A、B两点,与x轴相交于C点,点B在y轴上,D为抛物线的顶点.P为线段AB上一个动点(点P不与A、B重合),过P点作x轴的垂线与抛物线交于Q点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设直线与抛物线的对称轴交于点E,如果以P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似,求点P的坐标;
(3)连接QD,探究四边形PQDE的形状:
①能否成为菱形;②能否成为等腰梯形?
如果能,求点P的坐标;如果不能,请说明理由.
103.已知抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求A、B的坐标;
(2)过点D作DH⊥y轴于点H,若DH=HC,求a的值和直线CD的解析式;
(3)在
(2)的条件下,直线CD与x轴交于点E,过线段OB的中点N作NF丄x轴,交直线CD于点F,则直线NF上是否存在点M,使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
104.如图,半径为1的⊙M经过直线坐标系的原点O,且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B,∠OMA=60°,过点B的切线交x轴负半轴于点C,抛物线经过点A、B、C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)求抛
物线的函数关系式;
(3)若点D为抛物线对称轴上的一个动点,问是否存在这样的点D,使得△BCD是等腰三角形?
若存在,求出符合条件的点D的坐标;若不存在,请说明理由.
105.已知抛物线y=
(x-2)(x-2t-3)(t>0)与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且△ABC的面积为
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设l为过点B且经过第一、二、四象限的一条直线,过原点O的直线与l交于点E,与以AC为直径的圆交于点D,若△OAD∽△OEB,求直线l的解析式;
(3)在
(2)的条件下,若点Q为直线l上的动点,在坐标平面内是否存在点P,使得以P、Q、A、C四点为顶点的四边形为菱形?
若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
106.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0)、B(5,0),与y轴交于点C,顶点的纵坐标为4.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一交点为D,⊙M的弦DE∥x轴,求直线CE的解析式;
(3)在x轴上是否存在点F,使以O、C、F为顶点的三角形与△CDE相似?
若存在,求出所有符合条件的点F的坐标,并判定直线CF与⊙M的位置关系(要求写出判断根据);若不存在,请说明理由.
107.如图,抛物线y=ax2+bx经过点A(-4,0)、B(-2,2),连接OB、AB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求证:
△OAB是等腰直角三角形;
(3)将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°,得到△OA′B′,写出A′B′中点P的坐标,试判断点P是否在此抛物线上.
(4)在抛物线上是否存在这样的点M,使得四边形ABOM成直角梯形,若存在,请求出点M坐标及该直角梯形的面积;若不存在,请说明理由.
108.九
(1)班数学课题学习小组为了研究学习二次函数问题,他们经历了实践——应用——探究的过程:
(1)实践:
他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道(如图①)进行测量,测得一隧道的路面宽为10m,隧道顶部最高处距地面6.25m,并画出了隧道截面图,建立了如
图②所示的直角坐标系,请你求出抛物线的解析式.
(2)应用:
按规定机动车辆通过隧道时,车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m.为了确保安全,问该隧道能否让最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车间的空隙)?
(3)探究:
该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识,他们借助上述抛物线模型,提出了以下两个问题,请予解答:
Ⅰ.如图③,在抛物线内作矩形ABCD,使顶点C、D落在抛物线上.顶点A、B落在x轴上.设矩形A
BCD的周长为l,求l的最大值.
Ⅱ.如图④,过原点作一条y=x的直线OM,交抛物线于点M,交抛物线对称轴于点N,P为直线OM上一动点,过P点作x轴的垂
线交抛物线于点Q.问在直线OM上是否存在点P,使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形?
若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
109.已知抛物线y=
x2-mx+2m-
.
(1)试说明:
无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点;
(2)如图,当该抛物线的对称轴为直线x=3时,抛物线的顶点为点C,直线y=x-1与抛物线交于A、B两点,并与它的对称轴交于点D.
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
②平移直线CD,交直线AB于点M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
110.如图,在直角坐标
系中
,点P的坐标为(n,0)(n>0),抛物线y=-x2+bx+c经过原点O和点P,正方形ABCD的三个顶点为A(2,2),B(3,2),D(2,3).
(1)求c、b的值并写出抛物线对称轴及y的最大值(用含有n的代数式表示);
(2)求证:
抛物线的顶点在函数y=x2的图象上;
(3)若抛物线与直线AD交于点N,求n为何值时,△NPO的面积为1;
(4)若抛物线经过正方形区域ABCD(含边界),请直接写出n的取值范围.
111.如图,已知抛物线经过原点O和点A,点B(2,3)是该抛物线对称轴上一点,过点B作BC∥x轴交抛物线于点C,连接BO、CA,若四边形OACB是平行四边形.
(1)求这条抛物线的函数关系式;
(2)设抛物线的顶点为D,试在线段AC上找出这样的点P,使△PBD是等腰三角形,求点P的坐标;
(3)经过点D的直线把平行四边形OACB的面积分为1:
3两部分,求该直线的函数关系式.
112.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD
的边长为
,点A在y轴正半轴上,点B在x轴负半轴上,B(-1,0),C、D两点在抛物线y=
x2+bx+c上.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)正方形ABCD沿射线CB以每秒
个单位长度平移,1秒后停止,此时B点运动到B1点,试判断B1点是否在抛物线上,并说明理由;
(3)正方形ABCD沿射线BC平移,得到正方形A2B2C2D2,A2点在x轴正半轴上,求正方形ABCD的平移距离.
113.如图1,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形?
若存在,请直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连结AC,在x轴上是否存在点Q,使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)当0<x<3时,在抛物线上求一点E,使△CBE的面积有最大值.
(图2、图3供画图探究)
114.如图,直线y=x-3与x轴、y轴分别相交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A,顶点为D,且对称轴是直线x=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若平行于x轴的直线y=m与△BCD的外接圆有公共点,求m的取值范围;
(3)点P是线段BC上的动点,过点P作x轴的垂线,交折线C-D-B于点E,将△BCD沿直线PE向右翻折.设点P的横坐标为x,翻折后的图形与△BCD重叠部分的面积为S,求S关于x的函数关系式,并求S的最大值;
(4)在抛物线上是否存在点M,使∠AMB=∠CBD?
若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
115.如图,已知抛物线经过点A(4,0)、B(3,2)、C(0,4),BD⊥y轴,垂足为D.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)点P从点B出发,沿折线B→D→C以每秒1个单位的速度运动,过点P作PE⊥DB,交抛物线于E,点F是x轴上一点,且始终保持∠PFA=45°.设点P的运动时间为t(秒),△PEF的面积为S(平方单位).
①求S关于t的函数关系式;
②当t为何值时,S有最大值,并求这个最大值;
③在S取得最大值时,判断以EF为对角线的平行四边形QEPF的顶点Q是否在
(1)中的抛物线上,并说明理由.
116.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限,且AB=3
,cos∠OAB=
,点B关于x轴的对称点为点C,一条抛物线经过O、C、A三点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在第一象限的抛物线上是否存在点P,使以点P、O、C、A为顶点的四边形是梯形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若将点O、A分别变换为点E(-4m,0)、F(6m,0)(m为常数且m>0),设过E、F两点且以EF的垂直平分线为对称轴的抛物线(开口向上)与y轴的交点为G,其顶点为D,求S△EGD:
S△EGF的值.
117.如图,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别是(0,1)和(1,0),P是线段AB上的一动点(不与A、B重合),坐标为(m,1-m)(m为常数).
(1)求经过O、P、B三点的抛物线的解析式;
(2)当P点在线段AB上移动时,过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变?
请说明理由;
(3)当P点移动到(
,
)时,请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点,使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形,并求出这两点的坐标.
118.孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a<0)的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点,请解答以下问题:
(1)若测得OA=OB=2
(如图1),求a的值;
(2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时,过BF作BF⊥x轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标,并求点A的横坐标;
(3)对该抛物线,孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现,交点A、B的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标.
119.如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0),顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点E的坐标为(1,-2),点M是抛物线上一点(D点除外),且△MOE的面积与△DOE的面积相等,求M点坐标;
(3)若点P是抛物线的对称轴上的动点,在坐标平面内是否存在点Q,使以点P、Q、A、B为顶点的四边形是菱形?
若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.
120.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A坐标为(1,0),以OA为边在第一象限内作等边△OAB,C为x轴正半轴上的一个动点(OC>1),连接BC,以BC为边在第一象限内作等边△BCD,直线DA交y轴于E点.
(1)如图,当C点在x轴上运动时,设AC=x,请用x表示线段AD的长;
(2)随着C点的变化,直线AE的位置变化吗?
若变化,请说明理由;若不变,请求出直线AE的解析式.
(3)以线段BC为直径作圆,圆心为点F,当C点运动到何处时直线EF∥直线BO?
此时⊙F和直线BO的位置关系如何?
请说明理由.
(4)G为CD与⊙F的交点,H为直线DF上的一个动点,连结HG、HC,求HG+HC的最小值,并将此最小值用x表示.
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