高考数学大一轮复习 第7章 第4节 直线平面平行的判定及其性质课时提升练 文 新人教版.docx

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高考数学大一轮复习第7章第4节直线平面平行的判定及其性质课时提升练文新人教版

2019-2020年高考数学大一轮复习第7章第4节直线、平面平行的判定及其性质课时提升练文新人教版

一、选择题

1．（xx·成都模拟）已知α，β是两个不同的平面，则“平面α∥平面β”成立的一个充分条件是（　　）

A．存在一条直线l，l⊂α，l∥β

B．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β

C．存在一条直线l，l⊥α，l⊥β

D．存在一个平面γ，γ∥α，γ⊥β

【解析】　满足A，B，D项的条件，α与β可能相交．若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故选C.

【答案】　C

2．（xx·贵州六校联考）已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

A．若m∥n，m⊂α，则n∥α

B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β

C．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ

D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β

【解析】　对于A项，若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α，故A错误；对于B项，两平面还可以相交，此时直线m，n均与交线平行即可；对于C项，两平面可以相交，故C错；对于D项，因为m∥n，m⊥α，所以n⊥α，又因为n⊥β，所以α∥β，故D正确，因此选D.

【答案】　D

3．（xx·长春模拟）设l表示直线，α，β表示平面．给出四个结论：

①如果l∥α，则α内有无数条直线与l平行；

②如果l∥α，则α内任意的直线与l平行；

③如果α∥β，则α内任意的直线与β平行；

④如果α∥β，对于α内的一条确定的直线a，在β内仅有唯一的直线与a平行．

以上四个结论中，正确结论的个数为（　　）

A．0B.1　　　　C．2　　　　D．3

【解析】　若l∥α，则在α内的直线与l平行或异面，故①正确，②错误．由面面平行的性质知③正确．对于④，在β内有无数条直线与a平行，故④错误．故选C.

【答案】　C

4．（xx·临沂模拟）下列命题正确的是（　　）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

【解析】　对于A，两条直线与同一个平面所成角相等，根据线面角定义，可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，故A错；对于B，若三点在同一条直线上，则两平面可能相交，故B错；对于C，设α∩β＝l，m∥α，m∥β，利用线面平行的性质定理可以证明m∥l，故C正确；对于D，两平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可能相交，也可能平行，故D错，所以选C.

【答案】　C

5．在三棱锥PABC中，点D在PA上，且PD＝

DA，过点D作平行于底面ABC的平面，交PB，PC于点E，F，若△ABC的面积为9，则△DEF的面积是（　　）

A．1B．2

C．4D.

【解析】　由于平面DEF∥底面ABC，因此DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，所以

＝

＝

，所以△DEF∽△ABC，所以

＝

2，而S△ABC＝9，所以S△DEF＝1，故选A.

【答案】　A

6．m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：

①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，n⊂α，则m∥α.

其中真命题的序号是（　　）

A．①③B．①④

C．②③D．②④

【解析】　确定命题正确常常需要严格的证明，判断命题错误只需一个反例就可以了．如图，在正方体A′C中，平面B′C垂直平面A′C′，直线AD平行平面B′C，但直线AD并不垂直平面A′C′，故②错误，排除C，D；由线面平行的判定定理知，④缺少条件“m⊄α”，故④错误．故选A.

【答案】　A

二、填空题

7．（xx·承德一模）如图7411所示，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.（注：

请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）

图7411

【解析】　连结HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.（答案不惟一）

【答案】　M在线段FH上

8．如图7412所示，四棱锥PABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．

图7412

【解析】　取PD的中点F，连结EF，AF，

在△PCD中，EF綊

CD.

又∵AB∥CD且CD＝2AB，

∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.

又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.

【答案】　平行

9．（xx·三明模拟）已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交α于A，B，交β于C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为________．

【解析】　若P在α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB∥CD，则

＝

，可求得CD＝20；若P在α，β之间，则同理可求得CD＝4.

【答案】　4或20

三、解答题

10．如图7413所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：

图7413

（1）直线EG∥平面BDD1B1；

（2）平面EFG∥平面BDD1B1.

【证明】　

（1）如图所示，连接SB，

∵E，G分别是BC，SC的中点，

∴EG∥SB.

又∵SB⊂平面BDD1B1，

EG⊄平面BDD1B1，

∴直线EG∥平面BDD1B1.

（2）连接SD，

∵F，G分别是DC，SC的中点，

∴FG∥SD.

又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，

∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，

FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1.

11．如图7414，在四棱锥PABCD中，底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？

若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

图7414

【解】　在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.

证明如下：

如图，取PD的中点E，连接NE，EC，AE，

因为N，E分别为PA，PD的中点，

所以NE綊

AD.

又在平行四边形ABCD中，CM綊

AD，所以NE綊MC，即四边形MCEN是平行四边形．所以NM綊EC.

又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE，

所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.

12．如图7415所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．

图7415

（1）求证：

AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；

（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．

【解】　

（1）∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.

∵HG⊂平面ABD，∴EF∥平面ABD.

∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，

∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH.

同理可证，CD∥平面EFGH.

（2）设EF＝x（0＜x＜4），

∵四边形EFGH为平行四边形，

∴

＝

，则

＝

＝

＝1－

.

∴FG＝6－

x.

∴四边形EFGH的周长l＝2

＝12－x.

又0＜x＜4，∴8＜l＜12，

∴四边形EFGH周长的取值范围是（8,12）．

2019-2020年高考数学大一轮复习第7章第5节直线、平面垂直的判定及其性质课时提升练文新人教版

一、选择题

1．（xx·天津模拟）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（　　）

A．a⊥α，b∥β，α⊥βB.a⊥α，b⊥β，α∥β

C．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β

【解析】　对于选项A，由a⊥α，α⊥β，b∥β可得a与b可能平行，也可能相交或异面，故A错；对于选项B，由a⊥α，α∥β可得a⊥β，又知b⊥β，故a∥b，因此B错；对于选项C，由b⊥β，α∥β可得b⊥α，又知a⊂α，故a⊥b，因此C正确；对于选项D，α⊥β，b∥β，则直线b与α可能平行，也可能相交，所以直线a与b不一定垂直，故D错．

【答案】　C

2．下列命题中错误的是（　　）

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

【解析】　对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，则l平行于平面β，故命题A正确．

对于命题B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B正确．

对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α，

∴a⊥l，同理有b⊥l.

又a∩b＝P，a⊂γ，b⊂γ，∴l⊥γ.

故命题C正确．

对于命题D，设α∩β＝l，则l⊂α，但l⊂β.

故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误，故选D.

【答案】　D

3．（文）（xx·吉林模拟）已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是

（　　）

A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥α

C．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α

【解析】　对于A，由l∥m，l⊥α，知m⊥α，与已知矛盾；对于B，由l⊥m，l⊥α，可知m∥α或m⊂α，与已知矛盾；对于D，由l∥m，l∥α可知m∥α或m⊂α，与已知矛盾．由此排除A，B，D，故选C.

【答案】　C

4．（xx·山东高考）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为

，底面是边长为

的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（　　）

A.

　　　B.

　　　C.

　　　D.

【解析】　如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：

PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．

在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝

，

则S＝

×（

）2＝

，

VABCA1B1C1＝S×PO＝

，∴PO＝

.

又AO＝

×

＝1，∴tan∠PAO＝

＝

，

∴∠PAO＝

.

【答案】　B

5．（xx·郑州模拟）如图7511所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在（　　）

图7511

A．直线AB上B．直线BC上

C．直线AC上D．△ABC内部

【解析】　∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，

又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，

∴AC⊥平面ABC1，

又AC⊂平面ABC，

∴平面ABC⊥平面ABC1.

∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，

∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.

【答案】　A

6．如图7512所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是（　　）

图7512

A．平面ABD⊥平面ABC

B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC

D．平面ADC⊥平面ABC

【解析】　∵在四边形ABCD中，

AD∥BC，AD＝AB，

∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，

∴BD⊥CD.

又平面ABD⊥平面BCD，

且平面ABD∩平面BCD＝BD，

故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.

又AD⊥AB，AD∩CD＝D，

故AB⊥平面ADC，

又AB⊂平面ABC，

∴平面ABC⊥平面ADC.

故选D.

【答案】　D

二、填空题

7．假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：

①AC⊥α；②AC与α，β所成的角相等；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.

其中能成为增加条件的是________．（把你认为正确的条件序号都填上）

【解析】　如果AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BD⊥EF.故要证BD⊥EF，只需AB，CD在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．

【答案】　①③

8．已知平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为

和

，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′＝________.

【解析】　连接AB′和A′B，设AB＝a，可得AB与平面α所成的角为∠BAB′＝

，在Rt△BAB′中，有AB′＝

a，同理可得AB与平面β所成的角为∠ABA′＝

，所以A′A＝

a，因此在Rt△AA′B′中，A′B′＝

＝

a，所以AB∶A′B′＝a∶

a＝2∶1.

【答案】　2∶1

9．（xx·云南模拟）如图7513，已知六棱锥PABCDEF的底

图7513

面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：

①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.

其中正确的有________（把所有正确结论的序号都填上）．

【解析】　由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；由题意得平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE不成立，③错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．

【答案】　①④

三、解答题

10．（xx·北京高考）

如图7514，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：

图7514

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

【解】　

（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.

（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以四边形ABED为平行四边形．

所以BE∥AD.

又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

（3）因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由

（1）知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.

所以CD⊥平面PAD.

所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点，

所以PD∥EF.所以CD⊥EF.

又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，

所以CD⊥平面BEF.

所以平面BEF⊥平面PCD.

11．（xx·湖南高考）如图7515，已知二面角αMNβ的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.

图7515

（1）证明：

AB⊥平面ODE；

（2）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．

【解】　

（1）证明：

如图，因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB.连接BD，由题设知，△ABD是正三角形．又E是AB的中点，所以DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.

（2）因为BC//AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角．

由

（1）知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角αMNβ的平面角，从而∠DEO＝60°.

不妨设AB＝2，则AD＝2，易知DE＝

.

在Rt△DOE中，DO＝DE·sin60°＝

.

连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝

＝

＝

.

故异面直线BC与OD所成角的余弦值为

.

12．（xx·湖北高考）如图7516，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：

图7516

（1）直线BC1∥平面EFPQ；

（2）直线AC1⊥平面PQMN.

【证明】　

（1）连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，

因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.

从而BC1∥FP.

而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，

故直线BC1∥平面EFPQ.

（2）如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.

由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.

又AC∩CC1＝C，

所以BD⊥平面ACC1.

而AC1⊂平面ACC1，

所以BD⊥AC1.

因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，

所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.

同理可证PN⊥AC1.

又PN∩MN＝N，

所以直线AC1⊥平面PQMN.