12一元二次方程的解法.docx

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12一元二次方程的解法

12.1用公式解一元二次方程

（二）

二、教学重点、难点

1．教学重点：

用直接开平方法解一元二次方程．

2．教学难点：

（1）认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．

（2）一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：

（ax＋b）2=c（a≠0）当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解．

三、教学步骤

（二）整体感知：

新知识是建立在旧知识的基础上，化未知为已知是研究数学问题的一种方法，本节课引进的直接开平方法是建立在初二代数中平方根及开平方运算的基础上，可以说平方根的概念对初二代数和初三代数起到了承上启下的作用．而直接开平方法又为一元二次方程的其他解法打下坚实的基础，此法可以说起到一个抛砖引玉的作用．学生通过本节课的学习应深刻领会数学以旧引新的思维方法，在已学知识的基础上开发学生的创新意识．

1．复习提问

（1）什么叫整式方程？

举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同？

（2）平方根的概念及开平方运算？

2．引例：

解方程x2-4=0．

分析 一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的平方根；据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数x为±2．求一个数平方根的运算叫做开平方．由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．使学生体会到直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算．

3．例1 解方程9x2-16＝0．解：

移项，得：

9x2=16，

负根．

例2 解方程（x＋3）2＝2．分析：

把x＋3看成一个整体y．

例2把引例中的x变为x+3，反之就应把例2中的x+3看成一个整体，

两边同时开平方，将二次方程转化为两个一次方程，便求得方程的两个解．可以说：

利用平方根的概念，通过两边开平方，达到降次的目的，化未知为已知，体现一种转化的思想．

练习：

教材练习更重要的是体会方程的左边不是未知数的平方，而是含有未知数的代数式的平方，而右边是个非负实数，采用直接开平方法便可以求解．

例3 解方程（2-x）2-81＝0．

解法

（一）移项，得：

（2-x）2＝81．两边开平方，得：

2-x=±9

∴ 2-x＝9或2-x＝-9．∴ x1=-7，x2＝11．

解法

（二）∴ （2-x）2＝（x-2）2，∴ 原方程可变形，得（x-2）2=81．

两边开平方，得x-2＝±9．∴ x-2＝9或x-2＝-9．∴ x1＝11，x2＝-7．

比较两种方法，方法

（二）较简单，不易出错．在解方程的过程中，要注意方程的结构特点，进行灵活适当的变换，择其简捷的方法，达到又快又准地求出方程解的目的．

练习：

解下列方程：

（1）（1-x）2-18＝0；

（2）（2-x）2＝4；

在实数范围内解一元二次方程，要求出满足这个方程的所有实数根，提醒学生注意不要丢掉负根，例x2＋36＝0，由于适合这个方程的实数x不存在，因为负数没有平方根，所以原方程无实数根．-x2＝0，适合这个方程的根有两个，都是零．由此渗透方程根的存在情况．以上在教师恰当语言的引导下，培养学生善于思考的习惯和探索问题的精神．那么具有怎样结构特点的一元二次方程用直接开平方法来解比较简单呢？

抽象概括出方程的结构：

（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0），即方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是非负实数．

（四）总结、扩展

1．如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）．

2．平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为其它一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用．两边开平方实际上是实现方程由2次转化为一次，实现了由未知向已知的转化．由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径．

3．一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解．

12、1用公式解一元二次方程（三）

二、教学重点、难点和疑点

2．教学难点：

正确理解把x2＋ax型的代数式配成完全平方式——将代数式x2＋ax加上一次项系数一半的平方转化成完全平方式．

3．教学疑点：

配方法可以解决许多代数问题，例如：

因式分解，将一个代数式配成完全平方式等等，本节课传授的是用配方法解一元二次方程．

三、教学步骤

（二）整体感知：

本节课在直接开平方法的基础上引进了配方法，实现由未知向已知的转化．直接开平方法在本节课中起到了一个承上启下的作用．它为配方法的引入做了很好的铺垫．如果说平方根的概念为一元二次方程解法的引进立下了汗马功劳，那么可以说直接开平方法为其他方法的引进作了坚实的铺垫．配方法是初中代数中解决某些代数问题的一个常用方法，方法的实质是将代数式x2＋ax配成一个完全平方式，它的理论依据是完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1．复习提问

（1）完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2．

（2）填空：

1）x2-2x+（   ）＝[x＋（   ）]22）x2＋6x＋（   ）＝[x-（   ）]2

2．引例：

将方程x2-2x-3=0化为（x-m）2=n的形式，指出m，n分别是多少？

解：

移项，得x2－2x＝3．配方，得x2-2x＋12＝3＋12．∴ （x-1）2＝4．∴ m＝-1，n＝4．

对于x2+ax型的代数式，只需再加上一次项系数一半的平方即可完成上述转化工作．

练习：

把下列方程化为（x＋m）2＝n的形式

上述练习，深化配方的过程，为配方法的引入作铺垫．

3．例1 解方程x2－4x－2＝0．

解：

移项，得x2－4x＝2配方，得x2－4x＋（-2）2＝2＋（-2）2

∴ （x－2）2＝6．

方程的两边同时加上二次项系数一半的平方，进行这一步的理论依据是等式的基本性质和完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2，第三步是用直接开平方法求解．此时，向学生点明：

这种解一元二次方程的方法称为配方法．体会配方法的步骤，通过配方，方程进行了形式上的转化，并且体会为什么先学直接开平方法，它是配方法的基础，要注意体会推理的严谨性、步骤的完整性，刚开始配方的过程要细，不要跳步，避免出错．

例2 解方程：

2x2＋3＝5x．解：

移项，得：

2x2-5x＋3＝0，

例2中方程的特点和例1不同的是，例2的二次项系数不是1．因此要想配方，必须化二次项系数为1．对一元二次方程ax2＋bx＋c＝0用配方法求解的步骤是：

第一步：

化二次项系数为1；第二步：

移项；第三步：

配方；第四步：

用直接开平方法求解．

2．解方程

（1）6x－x2＝63

（2）9x2－6x＋1＝0．

解法

（二）原方程可整理为（3x－1）2＝0．∴ 3x－1＝0．

比较上面两种方法，让学生体会方法

（一）是通法，有时用起来麻烦．方法

（二）是据方程的特点所采用的特殊的方法，较方法

（一）简捷，明快．不要机械死板，在熟练掌握通法的基础上，据方程的结构特点灵活地选择简单的方法，培养灵活运用的能力．通过以上练习，能悟出配方法可以解任意结构特点的一元二次方程，是解一元二次方程的通法．

12．1用公式解一元二次方程的解法（四）

二、教学重点、难点

1．重点：

求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．

2．难点：

对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．

3．关键：

1．推导方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式与用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的异同．2．在求根

的简单延续．

三、教学步骤

（二）整体感知：

由配方法推导出一元二次方程的求根公式，利用求根公式求一元二次方程的解，即公式法，大大简化了书写步骤和减小了计算量，能快速、准确求出方程的解．公式法是解一元二次方程的通法，尽管配方法和公式法是解一元二次方程两个截然不同的方法，但是这两种方法有密切的联系，可以说没有配方法，就不可能有求根公式，因此就不可能有公式法的产生，配方法是公式法的基础，而公式法又是配方法的简化．求根公式的推导过程，蕴含着基本理论的应用，例如：

等式的基本性质，配方的含义．完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性质，同时也蕴含着一种分类的思想．通过公式的推导，深刻理解基本理论和方法，培养进行数学推理的严密性和严谨性．

（三）重点、难点的学习和目标完成过程

1．复习提问：

用配方法解下列方程．

（1）x2－7x＋11＝0，

（2）9x2＝12x＋14．

通过两题练习，使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤，为本节课求根公式的推导做第一次铺垫．

2．用配方法解关于x的方程，x2＋2px＋q＝0．

解：

移项，得x2＋2px＝-q配方，得x2＋2px＋p2＝-q＋p2即（x+p）2＝p2-q．

3．用配方法推导出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根．

解：

因为a≠0，所以方程的两边同除以a，

∵ a≠0， ∴4a2＞0 当b2－4ac≥0时．

①②两步是易忽略的步骤，这两步实质上是为运用等式的基本性质和开方运算准备前提条件．①②步可培养学生有理有据的严谨的数学推理习惯，使学生逐步养成有条件，有根据才能有结论的推理习惯．从上面的结论可以发现：

（1）一元二次方程a2+bx+c＝0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．

（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x＝（b2－4ac≥0）中，可求得方程的两个根．

的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

4．例1 解方程x2－3x＋2＝0

解：

∵ a＝1，b＝-3，c＝2．又∵ b2－4ac＝（-3）2－4×1×2＝1＞0，

∴ x1=2，x2=1．

一定要先“代”后“算”．不要边代边算，易出错．并引导学生总结步骤1．确定a、b、c的值．2．算出b2-4ac的值．3．代入求根公式求出方程的根．

练习：

P．16中2

（1）—（7），通过练习，熟悉公式法的步骤，训练快速准确的计算能力．

例2不是一般形式，所以在利用公式法之前应先化成一般形式，另外注意例2中的b2－4ac＝0，方程有两个相同的实数根，应写成x1＝

由此例可以总结出一般一元二次方程求解利用公式法的步骤：

1．化方程为一般形式．2．确定a、b、c的值．3．算出b2－4ac的值．4．代入求根公式求解．

（四）总结、扩展

≥0）．

（2）利用公式法求一元二次方程的解的步骤：

①化方程为一般式．②确定a、b、c的值．③算出b2－4ac的值．④代入求根公式求根．公式法与配方法都是通法，前者较之后者简单．

2．

（1）在推导求根公式时，注意推导过程的严密性．诸如

∵ a≠0，∴ 4a2＞0．当 b2－4ac≥0时，……

（2）在推导求根公式时，注意弄清楚推导过程所运用的基本理论，如：

等式的基本性质，配方的意义，完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性质．

（3）求根公式是指在b2－4ac≥0对方程的解，如果b2-4ac＜0时，则在实数范围内无实数解．渗透一种分类的思想．

（4）推导ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式与解ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法）的异同．前者只求在b2－4ac≠0的情况下的解即可．后者还要研究在b2-4ac＜0的情况．

参考题：

用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（学有余力的学生做）．

12．1用公式解一元二次方程（五）

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．重点：

用公式法解一元二次方程．

2．难点：

在解关于字母系数的一元二次方程中注意判断b2－4ac的正负．

3．疑点：

对于首项系数含有字母的方程的解要注意分类讨论．

三、教学步骤

（二）整体感知：

这节内容是上节内容的继续，继续利用一元二次方程的求根公式求一元二次方程的解．但在原来的基础上有所深化，会进行近似值的计算，对字母系数的一元二次方程如何用公式法求解．由此向学生渗透由一般到特殊，再由特殊到一般的认识问题和解决问题的方法，通过字母系数一元二次方程的求解，渗透分类的思想，为方程根的存在情况的讨论等打下坚实的基础．

（三）重点，难点的学习与目标完成过程

1．复习提问

（1）写出一元二次方程的一般形式及求根公式．

一般式：

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

（2）说出下列方程中的a、b、c的值．

①x2-6＝9x；②3x2＋4x＝7；③x2＝10x-24；

通过以上练习，为本节课顺利完成任务奠定基础．

2．例1 解方程x2＋x-1＝0（精确到0.01）．解：

∵ a＝1，b＝1，c＝-1，

对于近似值的求法，一是注意要求，要求中有精确0.01，有保留三位有效数字，有精确到小数点第三位．二是在运算过程中精确的位数要比要求的多一位．三是注意有近似值要求就按要求求近似值，无近似值要求求准确值．练习：

用公式法解方程x2＋3x-5＝0（精确到0.01）．体会求近拟值的方法和步骤．例2解关于x的方程x2-m（3x-2m＋n）-n2＝0．

分析：

解关于字母系数的方程时，一定要把字母看成已知数．解：

展开，整理，得

x2-3mx＋2m2-nm-n2＝0．∵ a＝1，b＝-3m，c＝2m2-mn-n2，

又∵ b2-4ac＝（-3m）2-4×1×（2m2-mn-n2），＝（m＋2n）2≥0

∴ x1＝2m+n，x2＝m-n．

分析过程，b2-4ac＝（m＋2n）2≥0，此式中的m，n取任何实

详细变化过程是：

练习：

1．解关于x的方程2x2-mx-n2＝0．

解：

∵ a=2，b=-m，c=-n2∵ b2-4ac＝（-m）2-4×2（-n2）＝m2+8n2≥0，

学生板书、练习、评价，体会过程及步骤的安排．

练习：

2．解：

于x的方程abx2-（a4＋b4）x＋a3b3＝0（ab≠0）．

解：

∵ A＝ab，B＝-a4-b4，C＝a3b3∴ B2-4AC＝（-a4-b4）2-4ab·a3b3

＝（a4＋b4）2-4a4b4＝（a4-b4）2≥0

注意（a4＋b4）2-4a4b4＝（a4-b4）2的变化过程．注意ab≠0的条件．

练习3 解关于x的方程（m＋n）x2＋（4m-2n）x＋n-5m＝0．

分析：

此方程的字母没有任何限制，则m，n为任何实数．所以此方程不一定是一元二次方程，因此需分m＋n＝0和m＋n≠0两种情况进行讨论．

解：

（1）当m＋n＝0且m≠0，n≠0时，原方程可变为（4m＋2m）x-m-5m＝0．

∵ m≠0解得x＝1，

（2）当m＋n≠0时，∵ a＝m＋n，b＝4m-2n，c＝n-5m，

∴ b2-4ac=（4m-2n）2-4（m＋n）（n-5m）＝36m2≥0．

12．2用因式分解法解一元二次方程

（一）

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：

用因式分解法解一元二次方程．

式）

3．教学疑点：

理解“充要条件”、“或”、“且”的含义．

三、教学步骤

（二）整体感知：

所谓因式分解，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式．如果一元二次方程的左边是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零．用因式分解法更为简单．例如：

x2＋5x＋6＝0，因式分解后（x＋2）（x＋3）＝0，得x＋2＝0或x＋3＝0，这样就将原来的一元二次方程转化为一元一次方程，方程便易于求解．可以说二次三项式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的关键．“如果两个因式的积等于零，那么两个因式至少有一个等于零”是因式分解法解方程的理论依据．方程的左边易于分解，而方程的右边等于零是因式分解法解方程的条件．满足这样条件的一元二次方程用因式分解法最简单．

1．复习提问

零，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．“或”有下列三层含义

①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0

2．例1 解方程x2＋2x＝0．

解：

原方程可变形x（x＋2）＝0……第一步

∴ x＝0或x＋2＝0……第二步∴ x1=0，x2=-2．

分析步骤

（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤

（二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．

例2 用因式分解法解方程x2＋2x－15＝0．

解：

原方程可变形为（x＋5）（x-3）＝0．，x＋5＝0或x-3＝0．∴ x1＝-5，x2＝3．

总结因式分解的步骤：

（一）方程化为一般形式；

（二）方程左边因式分解；（三）至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；（四）两个一元一次方程的解就是原方程的解．

例3解方程3（x-2）-x（x-2）＝0．解：

原方程可变形为（x-2）（3-x）＝0．

∴ x-2＝0或3-x＝0．∴ x1＝2，x2＝3．

此方程不需去括号将方程变成一般形式．对于总结的步骤要具体情况具体分析．

（2）（3x＋2）2=4（x-3）2.解：

原式可变形为（3x＋2）2-4（x-3）2＝0．

[（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0

即：

（5x-4）（x＋8）=0．∴ 5x-4＝0或x＋8＝0．

练习：

解下列关于x的方程

6．（4x＋2）2＝x（2x＋1）．

（四）总结、扩展：

因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”

2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：

（1）化方程为一般形式；

（2）将方程左边因式分解；

（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；

（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．

3．因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．

12．2用因式分解法解一元二次方程

（二）

二、教学重点、难点和疑点

1．重点：

熟练掌握用公式法解一元二次方程．

2．难点：

用配方法解一元二次方程．

3．疑点：

对“选择恰当的方法解一元二次方程”中“恰当”二字的理解．

三、教学步骤

（二）整体感知：

一元二次方程是通过直接开平方法及因式分解法将方程进行转化，达到降次的目的．这种转化的思想方法是将高次方程低次化经常采取的．是解高次方程中的重要的思想方法．在一元二次方程的解法中，平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，符合形如（ax＋b）2＝c（a，b，c常数，a≠0，c≥0）结构特点的方程均适合用直接开平方法．直接开平方法为配方法奠定了基础，利用配方法可推导出一元二次方程的求根公式．配方法和公式法都是解一元二次方程的通法．后者较前者简单．但没有配方法就没有公式法．公式法是解一元二次方程最常用的方法．因式分解的方法是独立的一种方法．它和前三种方法没有任何联系，但蕴含的基本思想和直接开平方法一样，即由高次向低次转化的一种基本思想方法．方程的左边易分解，而右边为零的题目，均用因式分解法较简单．

1．复习提问

（1）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．

（1）3x2＝x＋4；

（2）（2x＋1）（4x-2）＝（2x-1）2＋2；

（3）（x＋3）（x-4）＝-6；（4）（x＋1）2-2（x-1）＝6x-5．

（2）解一元二次方程都学过哪些方法？

说明这几种方法的联系及其特点．

直接开平方法：

适合于解形如（ax＋b）2＝c（a、b、c为常数，a≠0c≥0）的方程，是配方法的基础．

配方法：

是解一元二次方程的通法，是公式法的基础，没有配方法就没有公式法．

公式法：

是解一元二次方程的通法，较配方法简单，是解一元二次方程最常用的方法．

因式分解法：

是最简单的解一元二次方程的方法，但只适用于左边易分解而右边是零的一元二次方程．

直接开平方法与因式分解法都蕴含着由高次向低次转化的思想方法．

2．练习1．用直接开平方法解方程．

（1）（x-5）2＝36；

（2）（x-a）2＝（a＋b）2；

①不是x-a=a+b而是x-a=±（a+b）；

练习2．用配方法解方程．

（1）x2-10x-11=0；

（2）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）

配方法是解决代数问题的一大方法，用此法解方程尽管有点麻烦，但由此法推导出的求根公式，则是解一元二次方程最通用也是最常用的方法．

此练习的第2题注意以下两点：

（1）求解过程的严密性和严谨性．

（2）需分b2-4ac≥0及b2-4ac＜0的两种情况的讨论．

练习3．用公式法解一元二次方程

练习4．用因式分解法解一元二次方程

（1）x2-3x＋2＝0

（2）3x（x-1）＋2x＝2；

解

（2）原方程可变形为3x（x-1）+2（x-1）=0，

∵ （x-1）（3x＋2）＝0，∴ x-1=0或3x+2=0．

如果将括号展开，重新整理，再用因式分解法则比较麻烦．

练习5．x取什么数时，3x2+6x-8的值和2x2-1的值相等．

解：

由题意得3x2＋6x-8＝2x2-1．变形为x2＋6x-7=0．∴ （x＋7）（x-1）＝0．

∴ x＋7＝0或x-1＝0．即 x1＝-7，x2＝1．

∴ 当x＝-7，x＝1时，3x2＋6x-8的值和2x2-1的值相等．

练习6．选择恰当的方法解下列方程

（1）选择直接开平方法比较简单，但也可以选用因式分解法．

（2）选择因式分解法较简单．

（四）总结、扩展

（1）在一元二次方程的解法中，公式法是最主要的，最通用的方法．因式分解法对解某些一元二次方程是最简单的方法．在解一元二次方程时，应据方程的结构特点，选择恰当的方法去解．

（2）直接开平方法与因式分解法中都蕴含着由二次方程向一次方程转化的思想方法．由高次方程向低次方程的转化是解高次方程的思想方法．

四、布置作业

（1）x2-2ax＋a2-b2＝0，

（2）x2＋2（p-q）x-4pq＝0．

4．

（1）解方程①（3x＋2）2＝3（x＋2）；

（2）方程（m2-3m＋2）x2＋（m-2）x＋7＝0，m为何值时①是一元二次方程；②是一元一次方程．