2实际问题与反比例函数汇总.docx
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2实际问题与反比例函数汇总
反比例函数实际应用
一、知识点详解
在中考试题中对反比例函数应用的考查主要有两种形式,一是确定实际问题中的反比例函数解析式,这类问题一般属于跨学科问题,除了要了解一些基本生活常识外还要掌握常见的物理学公式;二是判断实际问题中的函数图象,这类问题一般会综合考查一次函数和二次函数,正确解答这类问题的关键是确定函数关系式,同时注意自变量的取值范围。
二、知识点拨
1、实际问题中常见的反比例关系
现实世界中有许多含有反比例函数关系和性质的现象,常见的主要有以下几种:
S
(1)面积S一定,长方形的长a与宽b之间的反比例函数关系:
a=。
bV
(2)体积V一定,圆柱体的底面积S与高d之间的反比例函数关系:
S=;
dN(3)压力N一定,压强P与接触面积S之间的反比例函数关系:
P=;
Smp=;之间的反比例函数关系:
一定,气体压强p与气体体积V(4)质量m
VP(5)功率P一定,速度v与所受阻力F之间的反比例函数关系:
v=;
FS(6)路程S一定,匀速行驶速度v与时间t之间的反比例函数关系:
v=;
tU(7)电压U一定,电路中电流I与电阻R之间的反比例函数关系:
I=;
R
2、反比例函数模型的建立
1.条件:
实际问题中的两个变量在变化过程中,它们的积为定值;
2.过程:
(1)用两个不同字母表示变量;
(2)确定k的值;
(3)建立函数关系式;
(4)利用图象及其性质解决问题。
3、实际问题中反比例函数的特点
1.实际问题中反比例函数自变量的取值是有一定范围的,一般情况取正数,有时取正整数,所以在实际问题中,具体问题需要具体分析其自变量、函数的取值。
2.实际问题中反比例函数的图象往往是在第一象限中的部分或其中的某一段,这与自变量的取值范围有关。
三、经典例题
能力提升类
例1填空题
(1)在对物体做功一定的情况下,力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系,其图象如图所示,P(5,1)在图象上,则当力达到10牛时,物体在力的方向上移动的距离是__________米。
页1第
(牛)F
(5,1sO
地,假设在途中300km,一辆小汽车从A地去B、
(2)AB两地之间的高速公路长为函数,的__________t是v,到达时所用的时间是是匀速直线运动,速度为vkm/hth,那么__________。
可以写成关于v的函数关系式是t
)的函数关系Ω)和电阻R(例2某蓄电池的电压为定值,使用此电源时,电流I(A如图所示。
I(A)
12O3)ΩR(
)请写出这个函数的表达式;
(1)该蓄电池的电压是多少?
(2)(结果精确到0.01(3)完成下表:
Ω)(R97834562
A)I(12
那么用电器的可变电阻应控,9A4)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不超过(制在什么范围内?
综合运用类O如图所示,小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:
在一根匀质的木杆中点例3
的O,在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉,改变弹簧秤与点左侧固定位置B处悬挂重物A)的变化情况。
实验数据记录如下:
(N(cm),观察弹簧秤的示数y距离x
…cm)…(x3015202510
……y(N)10
20
12
15
30
的各组对应值作为点的坐标,在坐标系中描出相应的点,用平滑曲yx,
(1)把上表中)之间的函数关系,并求出函数关cm(N)与x(线连接这些点并观察所得的图象,猜测y系式;点Ocm时,弹簧秤与O点的距离是多少?
随着弹簧秤与24N2()当弹簧秤的示数为的距离不断减小,弹簧秤上的示数将发生怎样的变化?
页2第
y(N)
35xB32211Oc3112230
从杭州到余姚段铁路线上的火车行驶如图是浙江省境内杭甬铁路的里程示意图。
例4
千米/时。
时,且平均速度限定为不超过t时,平均速度为v千米/160的时间记为的函数解析式和自变量t的取值范围;
(1)求v关于t
(2)画出所求函数的图象;v)千米/时(
175150125余姚杭州100
2921754850上虞萧山39宁波3125绍兴t4312)(时O
分钟内分钟)到达余姚可能吗?
50)从杭州开出一列火车,在40分钟内(包括40(3分钟)呢?
如有可能,那么此时对火车的行驶速度有什么要求?
(包括50
思维拓展类元与x某商场出售一批进价为2元的贺卡,在市场营销中发现商品的日销售单价例5
个之间有如下关系:
日销售量y
(元)x6534
y(个)10
15
20
12
,y)的对应点;
(1)根据表中数据,在直角坐标系中描出实数对(xx之间的函数关系式,并画出图象;与
(2)猜测并确定y之间的函数关系式,若物价局与x3)设经营此贺卡的销售利润为W元,试求出W(定为多少元时,才能获x/规定此贺卡的售价最高不能超过10元个,请你求出当日销售单价得最大日销售利润?
,y再进行操作。
设该材料温度为(℃)6例制作一种产品,需先将材料加热到60℃后,完成一次y与时间x从加热开始计算的时间为x(分钟)。
据了解,设该材料加热时,温度。
已知该材料?
成反比例关系(如图所示)函数关系;停止加热进行操作时,温度y与时间x60?
分钟后温度达到℃。
℃,加热在操作加工前的温度为155的函数关系式;x1()分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y与)根据工艺要求,当材料的温度低于15℃时,须停止操作,那么操作时间有多长?
2(
页3第
y(℃)
65432114331122x分钟
高频考点怎样用反比例函数解决实际问题建立函数模型有两种思一般地,利用反比例函数解决实际问题,首先是建立数学模型。
知道变量之间有什么函数关系,在这种情况下,可先设出函路:
一是通过问题提供的信息,二是问题本身的条件中不知道变量间值即可;数的表达式,再由已知条件确定表达式中的k其次是画出函找出变量之间的关系并确定函数表达式。
是什么函数关系,此时要通过分析,数图象,根据函数的图象和性质解决相关问题。
在求实际问题中的函数关系时,不注意自变量的取值范围,致使画出的图象出错。
0≠0、x是常数,在利用反比例函数解决实际问题时,除了注意函数定义中规定的kk≠外,在遇到实际问题时,如果自变量是长度、速度、年龄等量,自变量的取值应为正值,有否则就会画出的时候还可能是正整数或某些特定的值,特别是在画图象时选点一定要恰当,一定这就要求我们在确定反比例函数关系式以及画反比例函数图象时,不符合实际的图象,要注意自变量的取值范围这个条件。
页4第
课堂练习2
一、选择题
1.下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是()
A.小宇参加200m赛跑时,时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系
2,它的两条邻边的长ycm与xcm之间的关系B.长方形的面积为30cm2)之间的关系S(m时,压强p(Pa)与受力面积500NC.压力为D.一个容积为30L的容器中,所盛水的体积V(L)与水深h之间的关系
2.小明乘车从南充到成都,行车的平均速度y(km/h)和行车时间x(h)之间的函数图象是()
yyyy
xxxxOOOOABCD
与水深的函数关系图象是(注:
*3.p向高层建筑屋顶的水箱注水,水对水箱底部的压强
)水箱能容纳的水的最大高度为H,且知压强与水深成正比)(
PPPP
HHHHhhOOhhOODCAB
*4.若r为圆柱底面的半径,h为圆柱的高。
当圆柱的侧面积一定时,则h与r之间的函数关系的图象大致是()
OOOODCBA
在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,*5.
33ρ)的反比例函数,kg/mm)是体积V(单位:
气体的密度也会随之改变,密度(单位:
3时,气体的密度是()V它的图象如图所示,当=10m3333mkgmkgmkgmkgA.5/B.2/C.100/D.1/
页5第
р(kg/m)3
61V(m4
”图案,如图所示,设小E**6.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小长方形得到一个“
的函数图象是xy与x≤10,则20长方形的长和宽分别为x、y,剪去部分的面积为,若2≤)(
yyyy
1010y55x121122xxxxO210O210O210O210ACBD
二、填空题/n(元元钱去买钢笔,所购买的钢笔的数量m(个)与钢笔的单价7.某班班长带了50。
个)之间的函数关系式为__________度近视眼镜镜片的焦250(m)成反比例,已知8.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x
。
x的函数关系式为__________距为0.4,则y与才能输min30个字,那么需要30*9.小丽要在电脑上输入一篇文章,如果她每分钟输入就可以输完;若设小丽每分钟输入的字min个字,那么需要____完;如果她每分钟输入45。
之间的函数关系式是_______ymin,那么y与x数为x个,而整篇文章输完所用的时间为时)(千米/
(1)火车的速度vB、B两城市相距720千米,一列火车从A城去城。
**10.A
按原路匀速返回,)若到达目的地后,_________;(2和行驶的时间t(时)之间的函数关系是_________。
小时内回到A城,则返回的速度不能低于并要求在3
三、综合运用行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态人的视觉机能受运动速度的影响很大,11.
v(度)是车速80度。
如果视野f的,车速增加,视野变窄。
当车速为50km/h时,视野为时视野的度数。
/h,v之间的关系式,并计算当车速为100km(km/h)的反比例函数,求f某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地。
为了安全、迅速*12.
从而顺利完成了他们沿着前进路线铺垫若干块木板,构筑成一条临时通道,通过这片湿地,S任务。
你能解释他们这样做的道理吗?
当人和木板对湿地的压力一定时,随着木板面积2)将如何变化?
如果人和木板对湿地的压力合Pa)的变化,人和木板对地面的压强p(m(,那么计为600N的反比例函数吗?
为什么?
是SS的代数式表示p,p)用含(12时,压强是多少?
2)当木板面积为0.2m(,木板面积至少要多大?
6000Pa)如果要求压强不超过(34)在直角坐标系中,作出相应的函数图象。
(小明在某一次实验中,测得两个变量之间的关系如下表所示:
*13.
页6第
x自变量123412
y因变量1.00
1.99
12.03
3.04
5.98
请你根据表格回答下列问题:
)这两个变量之间可能是怎样的函数关系?
你是怎样作出判断的?
请你简要说明理(1由。
2)请你写出这个函数的解析式。
(3)表格中空缺的数值可能是多少?
请你给出合理的数值。
(原因在于一些不法商贩在卖货时将秤**14.对于取消市场上使用的杆秤的呼声越来越高,
砣挖空,或更换较小秤砣,使秤砣变轻,从而欺骗顾客。
1)如图,对于同一物体,哪个图用的是标准秤砣,哪个用的是较轻的秤砣?
(
(千克)之间满x)在称同一物体时,所称得的物体质量y(千克)与所用秤砣质量(2关系。
足__________)当秤砣较轻时,称得的物体变重,这正好符合哪个函数的哪些性质?
(3
四、拓广探索某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒。
已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的**15.
,成反比例(如图所示)与xy(毫克)与时间x(分钟)成正比例,药物燃烧后,y含药量,请你根据题中所提供的6mg现测得药物8min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为信息,解答下列问题。
,药______,自变量x的取值范围是的函数关系式为
(1)药物燃烧时y关于x______。
的函数关系式为________y物燃烧后与x时学生方可进教室,那么从消1.6mg2()研究表明,当空气中每立方米的含药量低于毒开始,至少多少分钟后学生才能回到教室?
时,minmg且持续时间不低于103()研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?
为什么?
y/mg
6x/minO8
页7第
一、选择题SV=底面积1.D解析:
这个容器如果是规则立体形状,如圆柱体,那么所盛水的体积
的最大值,即使这个是V是h的正比例函数,容积为30L×水深h,底面积S是定值,Vh的反比例函数。
容器是不规则形状,V也不是S,其图象为双曲线在第一象限的y=解析:
从南充到成都路程是定值,设为S,则2.B
x0。
分支,注意x>,所以其图象是≤H0≤h3.A解析:
因为压强与水深成正比,且水的最大高度为H,即A。
一条经过原点的线段,故选S
π2SS则是定值,,其中Shπrh,即==4.B解析:
设圆柱的侧面积为S,则S=2
rπr22π。
r>0是常数,所以h是r的反比例函数,且解析:
根据条件可知,当气体质量一定时,它的密度与体积成反比例,设关系式为5.D
kρρρ=,所以其关系式是k=时,10=2,将其代入关系式得,从图中可以看出当V=5
V10ρ。
1。
故选=10代入,得D==。
把V
V10y≤,所以12≤x≤10A解析:
根据题意xy=10,则y=,其图象是双曲线,因为6.
x。
,故选A≤5
二、填空题50)>0m=(n7.
nk100x250时,=,当y=成反比例,设其关系式为)解析:
由于y与xy8.y=(x>0
xx100)。
(x>0×0.4=100,又焦距不能为负值,故y=k=0.4,所以=250
x3030×k900、=30=,把xmin),设整篇文章字数总和为k,则y解析:
9.20;y==20(
x45x900。
,即y==30代入可得k=900y
x720720/(千米≥240t≤3,所以v解析:
返回时仍然有,240千米/时v=,因为=10.v
tt。
时)
三、综合运用4000k。
f=k=4000,所以v=50时,f=80,所以之间的关系式为11.解:
设f、vf=,当
vv(度)。
f=40当v=100时,的增大,人和木板对地面的S12.解:
当人和木板对湿地的压力一定时,随着木板的面积
600的反比例函数。
Sp是S>0),根据反比例函数的定义,可得(压强p将减小。
(1)p=
S6006006002==)时,S6000p=(Pa3a==2)当S0.2(m)时,p=3000(P)。
()当(
60000.2
p22(如所以只需在第一象限作函数的图象>0,S)(0.1。
(=0.1m)木板面积至少要m。
4因为
页8第
图所示)。
P
100612的反比是xy=,y4对x与y的值的乘积都约等于12,所以13.解:
(1)因为表格中
x124即可。
,y近似于;(3)表中空缺的x近似于6例函数;
(2)y=
x是所称)注意:
y)图②用的是与秤配套的秤砣,图①用的是较轻的秤砣。
(214.解:
(1。
设物体的真实质L得的物体质量,是杆秤上的读数,可用长度表示,不妨设这个读数为y都是定值,L是常数,m、xgL,其中g=量为m,物体悬挂点到支点的长度为L,则mgLmmymLmm)3的反比例函数。
(y(在杆秤上的读数为L)是x所以L=,所以所称得的物体质量
yyxk增大的这些性质。
变小时,y0),当x符合反比例函数y=(k>
x
四、拓广探索k2),6=,将(8=1)设正比例函数的解析式为ykx,反比例函数的解析式为y15.解:
(
1x33x≤x(0k=48。
所以正比例函数的解析式为y=分别代入这两个解析式中可求出k=,
214448。
8>)y=(x)≤8(即药物燃烧时的关系式);反比例函数(即药物燃烧后)的解析式为
x48y)将分钟后学生才能回到教室。
(3x=中可求得=30,即至少30代入)将(2y=1.6y
x483,所以此次消毒有效。
>16-410。
因为=和=中,得yxy3=分别代入=和=x4x16
x4
页9第
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