有关角分线的典型题型.docx
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有关角分线的典型题型.docx
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有关角分线的典型题型
角平分线的常见辅助线
角平分线具有两条性质:
a、对称性;
b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线(只要看到平分线上的点,要想到向两边作垂线了(点分线,垂两边)
②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。
通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对
称图形。
至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。
口诀:
角分线,分两边,对称全等要记全。
(牢记,角平分线就是一个对称轴,所以可以将其中的一个△翻转180度,构造全等。
基本图形
A
A
A
F
E
F
E
F
E
D
D
D
B
F'
CB
F'
C
B
F'
C
图一
图三
③角
图二
平分线+垂线,角平分线+平行线,等
腰三角形要呈现,线
段和差倍分都实
现。
A
A
A
E
G
D
E
D
E
F
4
1
1
1
2
3
B
D
C
2
2
B
CF
B
C
图1
图2-1
图2-2
典例分析
A
(一)、截取构全等
E
D
C
如图1-1,∠AOC=∠BOC,如取OE=OF,并连接DE、
O
DF,则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角
B
F
相等创造了条件。
例1.如图1-2,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:
BC=AB+CD。
A
E
D
C
B
1
分析:
此题中就涉及到角平分线,可以利
用角平分线来构造全等三角形,即利用解平分
BFC图1-2
线来构造轴对称图形,
同时此题也是
证明线段的和差倍分问题,在证明线段的和
差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明,
延长短的线段或在长的线
段长截取一部分
使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等,
延长要证明延长后的线段与某条线段相等,
截取要证明截取后剩下的线段与
某条线段相等,进而达到所证明的目的。
简证:
在此题中可在长线段
BC上截取BF=AB,再证明
CF=CD,从而达到证明
的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此
题的证明也可以
延长BE与CD的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
例2.
已知:
如图1-3,AB=2AC,∠BAD=∠CAD,DA=DB,求证DC⊥AC
A
C
D
B
分析:
此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已
证明。
例3.已知:
如图1-4,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,求证:
AB-AC=CD
A
B
D
C
分析:
此题的条件中还有角的平分线,在证明
中还要用到构造全等三角形,
此题还是证明线段
的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的,在长的
EA线段上截取短的线段,来证明。
试试
看可否把短的
延长来证明呢?
练习
1.已知在△ABC中,AD平分∠BAC,∠B=2∠C,求证:
AB+BD=AC
2.已知:
在△ABC中,∠CAB=2∠B,AE平分∠CAB交BC于E,AB=2AC,求证:
AE=2CE3.已
知:
在△ABC中,AB>AC,AD为∠BAC的平分线,M为AD上任一点。
求证:
BM-CM>AB-AC
4.已知:
D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点,连接DB、DC。
求证:
BD+CD>AB+AC。
(二)角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1.如图2-1,已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证:
∠ADC+∠B=180°
A
D
B
C
分析:
可由C向∠BAD的两边作垂线。
近而证∠ADC与∠B之和为平角。
2
例2.如图2-2,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∠ABD=∠CBD。
求证:
BC=AB+AD
A
D
BC
分析:
过D作DE⊥BC于E,则AD=DE=CE,则构造出全等三角形,从而得证。
此题是
证明线段的和差倍分问题,从中利用了相当于截取的方法。
例3.已知如图2-3,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。
求证:
∠BAC的平分线也经过
点P。
A
N
M
P
BC
分析:
连接AP,证AP平分∠BAC即可,也就是证P到AB、AC的距离相等。
练习:
如图所示,∠1=∠2,P为BN上的一点,并且PD⊥BC于D,AB+BC=2BD。
求证:
∠BAP+∠BCP=180°。
证明:
经过点P作PE⊥AB于点E。
因为PE⊥AB,PD⊥BC,∠1=∠2,所以
BPBP
PE=PD。
在Rt△PBE和Rt△PBC中,所以Rt△PBE≌Rt△PBC(HL),
PEPD
E
APN
B
DC
所以BE=BD。
因为AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE-AE,所以AE=CD。
因为PE⊥AB,PD⊥BC,所以∠PEB=∠PDB=90°.
PEPD
在△PAE和Rt△PCD中PEBPDC,所以△PAE≌Rt△PCD,所以∠PCB=∠EAP。
因为
AEDC
∠BAP+∠EAP=180°,所以∠BAP+∠BCP=180°
练习:
1.如图2-4∠AOP=∠BOP=15°PC//OA,PD⊥OA,如果PC=4,则PD=()
B
CP
OA
D
3
2.已知在△ABC中,∠C=90,AD平分∠CAB,CD=1.5,DB=2.5.求AC.
3.已知:
如图
AB+AD
.求证:
∠D+∠B=180。
2-5,∠BAC=∠CAD,AB>AD,CE⊥AB,AE=
2
A
E
D
B
C
4.已知:
如图
2-6,在正方形
ABCD中,E为CD的中点,
F为BC上的点,∠FAE=∠
DAE。
求证:
AF=AD+CF。
A
D
E
j
BFC
5.图2-5
已知:
如图
2-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为
D,AE平分∠
CAB交CD于F,过F作FH//AB交BC于H。
求证CF=BH。
C
E
F
H
A
D
B
(三):
作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交,则截得一个等腰三
角形,垂足为底边上的中点,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位
线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
(如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交)
例1.已知:
如图3-1,∠BAD=∠DAC,AB>AC,CD⊥AD于D,H是BC中点。
求
证:
DH=
AB-AC
2
A
DC
BH
4
分析:
延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。
问题可证。
有和角平
分线垂直的线段时,把它延长可得到中点或相等的线段,
从而与三角形中位
线或三角形全等建立起联系.
例2.
已知:
如图3-2,AB=AC,∠BAC=90,BD为∠ABC的平分线,CE⊥BE.求
证:
BD=2CE。
A
E
D
B
C
分析:
给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的
垂线,可延长此垂
线与另外一边相交,近而构造出等腰三角
形。
例3.已知:
如图3-3在△ABC中,AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线,过顶
点B作BN垂直AD,交AD的延长线于
F,连结FC并A延长交AE于M。
求
证:
AM=ME。
A
M
B
D
C
E
F
N
分析:
由
AD、AE是∠BAC内外角平分线,可得
EA⊥AF,从而有
BF//AE
,所以想到利用比例线段证相等。
例3.
已知:
如图
3-4,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD=AB,CM⊥AD交AD延
长线于M。
求证:
AM=
AB+AC
2
分析:
题设中给出了角平分线AD,自然想到以AD为轴作对称变换,作△
EC
ABD关于AD的对称△AED,然后只需证DM=。
另外由求证的结果
2
AB+AC
AM=
2
,即2AM=AB+AC,也可尝试作△ACM关于CM的对称△FCM,然
后只需证DF=CF即可。
5
A
B
D
C
M
练习2、如图,已知:
ABC中AD垂直于∠C的平分线于D,DE∥BC交AB于E.
求证:
EA=EB。
A
分析:
由AD垂直于∠C的平分线于D,可以想到等腰三角形
E
D
中的三线合一,于是延长
AD交BC与点F,得D是AF的
1
B
中点,又因为DE∥BC,由三角形中位线定理得
EA=EB。
2C
F
证明:
延长AD交BC与点F,∵CD平分∠ACF,∴∠1=∠2,又AD⊥CD,∴
ADC≌FDC,∴AD=FD,
又∵DE∥BC,∴EA=EB。
练习:
1.已知:
在△ABC中,AB=5,AC=3,D是BC中点,AE是∠BAC的平分线,且CE⊥AE于
E,连接DE,求DE。
2.已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线,
AF⊥BF于F,AE⊥BE于E,
连接EF分别交
?
?
?
?
AB、AC于M、N,求证MN=
?
?
A
已知:
如图,
ABC(ABAC)中,D、E在BC上,且DE=EC,
过D作DF∥AB,交AE于点F,DF=AC.求证:
AE平分BAC.
F
B
D
E
C
(四)
以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时,
常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰
三角形。
或通过一
边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,
从而也构造等腰三角形。
C
C
D
H
D
E
E
A
B
A
如图4-1
图4-2
所示。
6
例4如图,AB>AC,∠1=∠2,求证:
AB-AC>BD-CD。
C
D
1
A
2
B
例5如图,BC>BA,BD平分∠ABC,且AD=CD,求证:
∠A+∠C=180。
A
D
B
C
例6如图,AB‖CD,AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE,求证:
AD=AB+CD。
DC
E
B
练习:
1.已知,如图,∠C=2∠A,AC=2BC。
求证:
△ABC是直角三角形。
C
A
B
2.已知:
如图,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB,求证:
DC⊥AC
A
12
D
B
C
7
3.已知CE、AD是△ABC的角平分线,∠B=60°,求证:
AC=AE+CD
A
E
BDC
4.已知:
如图在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,求证:
BC=AB+AD
A
D
BC
(五)角平分线且垂直一线段,应想到等腰三角形的中线例
6.如图7,ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。
求证:
BD=2CE。
B
12
A
D
C
E
证明:
延长BA,CE交于点F,在
BEF和
BEC中,∵∠1=∠2,BE=BE,∠
BEF=∠BEC=90°,∴
BEF≌ΔBEC,∴EF=EC,从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°,
故∠1=∠3。
7在
ABD和
ACF中,∵∠1=∠3,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴
ABD≌
ACF,∴BD=CF,∴BD=2CE。
注:
此例中
BE是等腰
BCF的底边CF的
中线。
(六)借助角平分线造全等
1:
如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:
OE=OD
8
A
E
O
BDC
2:
(06郑州市中考题)如图,△ABC中,ABDCD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,
DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BEA的长.
A
E
BGC
F
D
(06北京中考)如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直
线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC平分线,、相交于点
中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的F。
ADCE请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,
B请问,你
在
(1)中所得结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明
M
B
B
E
E
D
P
D
O
F
F
NA
A
C
C
练习:
如图,
ABC中,AB=AC,BD、AM分别是
ABC,BAC的平分线,DN
BC,GFBD.
求证:
MN
1BF.
G
4
A
D
BMNFC
9
3.已知:
如图,
XOY120,OE平分
XOY,直线PRQ分别交OX、OE、OY于点P、R、
1
1
1
Y
E
Q.求证:
OQ
.
OP
OR
Q
R
(七)与角平分线相关的作图题举例
O
X
1、如图
1所示,校园内有两条公路
P
OA、OB,在交叉路口附近有两块宣传牌
C、D,学校准
备在这里安装一盏路灯,要求灯柱的位置距离两块宣传牌一样远,并且到两条公路的距离也一样
远。
请你画出灯柱的位置P。
A
A
D
P
D
C
C
O图1
B
O
图2
B
分析:
线与线相交成点,所以要想作出满足条件的点,就相当于作出相应的两条直线,它们的交点就是所求作的点。
解:
如图2所示,作∠AOB的平分线和线段CD的垂直平分线,相交于点P。
点P就是所求作的点。
2、如图3所示,要在两条公路的中间修建一座加油站,位置选在到两条公路的距离相等,并
且到两条公路交叉点A处的距离为2cm(指的是图上距离)。
请你设计出加油站的位置,并说明
A
公路公路
A
公路公路
P
图3图4
你的理由。
分析:
在实际生活中,会经常用到角平分线的性质定理和逆定理,解决此类问题的关键是从
实际问题中构造出数学模型,然后利用数学知识解决问题。
10
解:
如图4所示,作∠BAC的角平分线AD,在AD上截取AP,使AP=2cm。
点P就是所求作
的点。
3、如图5所示,有一块三角形的空地,其三边长分别为20m、30m、40m,现在要把它分成
面积比为2:
3:
4的三部分,分别种植不同的花。
请你设计出一个方案,并说明你的理由。
分析:
要想以长为20m、30m、40m的边构造三角形,并且使它们的面积之比为2:
3:
4。
A
A
20m
20mE
F
30m
30m
P
B
40m
C
B
C
H40m
图5
图6
如果以长为20m、30m、40m的边为三角形的底,那么它们相应的高应该相等。
要想使它们的高
相等,通过作两个内角的角平分线就可以,角平分线的交点就是三角形的第三个顶点。
解:
方案:
如图6所示,分别作∠C和∠B的角平分线,它们相交于点
P,连结PA。
则△PAB、△
PAC、△PBC的面积之比就是2:
3:
4。
理由:
经过点
P作PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,PH⊥BC于点H。
因为点P是∠C和∠B的角平分线上的点,所以
PE=PF=PH。
所以SABP
1
PE10PE,SBCP
1
20PH
AB
BCPH
,
2
2
SACP
1ACPF
15PF,所以SABP:
SACP:
SBCP
10PE:
15PF:
20PH2:
3:
4。
2
与三角形的角平分线有关的结论的探究
三角形的内角和等于1800,三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和。
应用以上定理和推论可以探究与三角形的角平分线有关的结论。
从结论的探究过程中,希望同学们能从中得到有
益的启示:
在平时的数学学习中,要学会运用所学知识去探索新的结论,学会探究,从而不断地提高自己的数学发现与创新的能力,提高数学学习水平。
探究一:
在
ABC中,∠A,∠B的平分线交于点
P,试探究
∠BPC与∠A的关系?
探究:
因为∠BPC在
BPC中,由三角形的内角和定理,有:
BPC1800
PBCPCB
而由BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
1
1
ACB
知:
∠PBC=
ABC,∠PCB=
2
2
A
P
内心
BC
11
所以
BPC
1800
1
ABC
1
ACB
1800
1
ABC
ACB
2
2
2
而在在
ABC中,
ABC
ACB
1800
A
所以
BPC
1800
1
1800
A
900
1
A
2
2
9001A。
故有结论一:
在
ABC中,∠A,∠B的平分线交于点
P,则有BPC
2
探究二:
在
ABC中,BP是∠ABC的平分线,CP是
ABC的外角∠ACE的平分线,
试探究:
∠BPC与∠A的关系?
探究:
由CP是
ABC的外角∠ACE的平分线,
A
所以有:
∠BPC=∠PCE-∠BPC
又BP是∠ABC的平分线,CP是∠ACE的平线
P
1
1
ACE
所以:
∠PBC=
ABC,∠PCE=
2
2
1
ACE-
1
所以∠BPC=
ABC
2
2
1
ABC
1
ACE
A
2
2
B
CE
故有结论二:
在A
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