最新高一数学必修一函数知识点总结优秀名师资料.docx

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高一数学必修一函数知识点总结

高一数学必修一函数知识点总结高一数学必修一函数知识点总结

篇一:

高一数学必修一函数知识点总结

二、函数的有关概念

1（函数的概念:

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:

A?

B为从集合A到集合B的一个函数（记作:

y=f（x），x?

A（其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x?

A}叫做函数的值域（注意:

1（定义域:

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

（1）分式的分母不等于零;

（2）偶次方根的被开方数不小于零;

（3）对数式的真数必须大于零;

（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于

1.

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零，（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有

意义.?

;

?

定义域一致（两点必须同时具备）（见课本21页相关例2）

2（值域:

先考虑其定义域

（1）观察法

（2）配方法

（3）代换法

3.函数图象知识归纳

（1）定义:

在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x?

A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x?

A）的图象（C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.

（2）画法A、描点法:

B、图象变换法常用变换方法有三种1）平移变换2）伸缩变换3）对称变换

4（区间的概念

（1）区间的分类:

开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示（

5（映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:

A?

B为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f（对应关系）:

A（原象）?

B（象）”对于映射f:

A?

B来说，则应满足:

（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;

（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;

（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值情况（

（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集（补充:

复合函数如果y=f（u）（u?

M）,u=g（x）（x?

‎‎A）,则

y=f[g（x）]=F（x）（x?

A）称为f、g的复合函数。

二（函数的性质

1.函数的单调性（局部性质）

（1）增函数设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数.区间D称为y=f（x）的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）,f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.注意:

函数的单调性是函数的局部性质;

（2）图象的特点如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3）.函数单调区间与单调性的判定方法‎‎（A）定义法:

1任取x，x?

D，且xx;?

2作差f（x）,f（x）;?

3变形（通常是因式分解和配方）;?

4定号（即判断差f（x）,f（x）的正负）;?

5下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）（?

12121212（B）图象法（从图象上看升降）（C）复合函数的单调性复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律:

“同增异减”注意:

函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8（函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（,x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数（

（2）（奇函数一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（,x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数（

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;

奇函数的图象关于原点对称（利用定义判断函数奇偶性的步骤:

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;?

2确定f（,x）与f（x）的关系;?

3作出相应结论:

若f（,x）=f（x）或f（,x）,f（x）=0，则f（x）是偶函数;若f（,x）=,?

f（x）或f（,x），f（x）=0，则f（x）是奇函数（注意:

函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件（首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，

（1）再根据定义判定;

（2）由f（-x）?

f（x）=0或f（x）,f（-x）=?

1来判定;

（3）利用定理，或借助函数的图象判定.

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，

一是要求出它们之间的对应法则，

二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有:

1）凑配法2）待定系数法3）换元法4）消参法10（函数最大（小）值（定义见课本p36页）1利用二次函数的性质（配方法）

求函数的最大（小）值?

2利用图象求函数的最大（小）值?

3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值:

?

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）;如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）;例题:

1.求下列函数的定义域:

?

y?

?

y?

2.设函数f（x）的定义域为[0，1]，则函数f（x2）的定义域为__

3.若函数f（x?

1）的定义域为[?

2，3]，则函数f（2x?

1）的定义域是?

x?

2（x?

?

1）?

4.函数，若f（x）?

3，则x=f（x）?

?

x2（?

1?

x?

2）?

2x（x?

2）?

5.求下列函数的值域:

?

y?

x2?

2x?

3（x?

R）?

y?

x2?

2x?

3x?

[1,2]

（3）y?

xy

6.已知函数f（x?

1）?

x2?

4x，求函数

7.已知函数f（x），f（2x?

1）的解析式f（x）满足2f（x）?

f（?

x）?

3x?

4，则f（x）=。

8.设f（x）是R上的奇函数，且当x?

[0,?

?

）时,f（x）?

x（1,则当x?

（?

?

0）时f（x）在R上的解析式为

9.求下列函数的单调区间:

?

y?

x2?

2x?

3?

yf（x）=?

y?

x2?

6x?

1

10.判断函数y?

?

x3?

1的单调性并证明你的结论（1

1.设函数f（x）?

1?

x2判断它的奇偶性并且求证:

1f?

?

f（x）（21?

xx第三章基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1（根式的概念:

一般地，如果x?

a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n?

N（*n?

负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作0?

0。

当n是奇数时，an?

a，当n是偶数时，an?

|a|?

?

2（分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定:

?

a（a?

0）?

?

a（a?

0）a?

a（a?

0,m,n?

N,n?

1），amnm*?

mn?

1amn?

1am（a?

0,m,n?

N*,n?

1）?

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3（实数指数幂的运算性质

（1）a〃a?

arrr?

s（a?

0,r,s?

R）;rsrs（a）?

a

（2）rrs（a?

0,r,s?

R）;

（3）（ab）?

aa

（二）指数函数及其性质（a?

0,r,s?

R）（x

1、指数函数的概念:

一般地，函数y?

a（a?

0,且a?

1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R（注意:

指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和

1（2注意:

利用函数的单调性，结合图象还可以看出:

（1）在[a，b]上，f（x）?

ax（a?

0且a?

1）值域是[f（a）,f（b）]或[f（b）,f（a）];

（2）若x?

0，则f（x）?

1;f（x）取遍所有正数当且仅当x?

R;

（3）对于指数函数f（x）?

ax（a?

0且a?

1），总有f

（1）?

a;

二、对数函数

（一）对数x

1（对数的概念:

一般地，如果a?

N（a?

0,a?

1），那么数x叫做以（a为底（（N的对数，记作:

x?

lgaN（a—底数，N—真数，lgaN—对数式）说明:

?

1注意底数的限制a?

0，且a?

1;2ax?

N?

lgaN?

x;?

3注意对数的书写格式（?

两个重要对数:

1常用对数:

以10为底的对数lgN;?

2自然对数:

以无理数e?

2.71828?

为底的对数的对数lnN（?

?

指数式与对数式的互化幂值真数ab,N?

（二）对数的运算性质如果a?

0，且a?

1，M?

0，N?

0，那么:

1lga（M〃N）?

lgaM，lgaN;?

M?

lgaM,lgaN;N3lgaMn?

nlgaM（n?

R）（?

2lga?

注意:

换底公式

篇二:

高一数学必修1函数知识点总结函数?

映射定义:

设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对

于集合A中的任意一个元素x，?

在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:

?

B为从集合A到集合B的一个映射?

传统定义:

如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，?

?

定义按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。

那么y就是x的函数。

记作y?

f（x）.?

近代定义:

函数是从一个数集到另一个数集的映射。

?

?

定义域?

?

?

函数及其表示函数的三要素值域?

?

?

?

对应法则?

?

?

解析法?

?

?

函数的表示方法?

列表法?

?

?

图象法?

?

?

传统定义:

在区间?

a,b?

上，若a?

x1?

x2?

b,如f（x1）?

f（x2），则f（x）在?

a,b?

上递增,?

a,b?

是?

?

?

?

递增区间;如f（x1）?

f（x2），则f（x）在?

a,b?

上递减,?

a,b?

是的递减区间。

?

单调性?

?

导数定义:

在区间?

a,b?

上，若f（x）?

0，则f（x）在?

a,b?

上递增,?

a,b?

是递增区间;如f（x）?

0?

?

?

a,b?

是的递减区间。

?

?

?

则f（x）在?

a,b?

上递减,?

?

?

?

?

最大值:

设函数y?

f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足:

（1）对于任意的x?

I，都有f（x）?

M;?

函数?

函数的基本性质?

?

最值?

?

（2）存在x0?

I，使得f（x0）?

M。

则称M是函数y?

f（x）的最大值最小值:

设函数y?

f（x）的定义域为I，如果存在实数N满足:

（1）对于任意的x?

I，都有f（x）?

N;?

?

?

?

（2）存在x0?

I，使得f（x0）?

N。

则称N是函数y?

f（x）的最小值?

?

（1）f（?

x）?

?

f（x）,x?

定义域D，则f（x）叫做奇函数，其图象关于原点对称。

?

?

?

奇偶性?

（2）f（?

x）?

f（x）,x?

定义域D，则f（x）叫做偶函数，其图象关于y轴对称。

?

?

?

?

奇偶函数的定义域关于原点对称?

周期性:

在函数f（x）的定义域上恒有f（x?

T）?

f（x）（T?

0的常数）则f（x）叫

做周期函数，T为周期;?

?

?

T的最小正值叫做f（x）的最小正周期，简称周期?

?

（?

1）描点连线法:

列表、描点、连线?

?

?

向左平移?

个单位:

y1?

y,x1?

a?

x‎‎?

y?

f（x?

a）?

?

?

?

向右平移a个单位:

y?

y,x?

a?

x?

y?

f（x?

a）11?

?

平移变换?

向上平移b个单位:

x?

x,y11?

b?

y?

y?

b?

f（x）?

?

?

?

?

?

?

向下平移b个单位:

x1?

x,y1?

b?

y‎‎?

y?

b?

f（x）?

?

?

横坐标变换:

把各点的横坐标x1缩短（当?

1时）或伸长（当0?

?

1时）?

?

?

?

到原来的1/倍（纵坐标不变），即x?

x?

y?

f（x）1?

?

伸缩变换?

纵坐标变换:

把各点的纵坐标y伸长（A?

1）或缩短（0?

A?

1）到原来的A倍1?

?

?

?

函数图象的画法?

?

?

?

（横坐标不变），即y1?

y/A?

y?

f（x）?

（?

x?

x1?

2x0x1?

2x0?

x?

2）变换法?

关于点（x,y）对称:

?

?

2y0?

y?

f（2x0?

x）?

00?

?

?

?

y?

y1?

2y0?

y1?

2y0?

y?

?

?

?

关于直线x?

x0对称:

x?

x1?

2x0?

x1?

2x0?

x?

y?

f（2x0?

x）?

?

?

?

?

y?

y1y1?

y?

对称变换?

?

?

x?

x1x?

x?

?

?

关于直线y?

y0对称:

?

?

1?

2y0?

y?

f（x）?

?

?

?

y?

y?

2yy1?

2y0?

y10?

?

?

?

x?

x1?

1?

?

‎‎?

y?

f（x）?

?

?

关于直线y?

x对称:

y?

y1?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

一、函数的定义域的常用求法‎‎:

1、分式的分母不等于零;

2、偶次方根的被开方数大于等于零;

3、对数的真数大于零;

4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;

5、三角函数正切函数y?

tanx中x?

k?

?

?

2（k?

Z）;余切函数y?

ctx中;

6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

二、函数的解析式的常用求法:

1、定义法;

2、换元法;

3、待定系数法;

4、函数方程法;

5、参数法;

6、配方法

三、函数的值域的常用求法:

1、换元法;

2、配方法;

3、判别式法;

4、几何法;

5、不等式法;

6、单调性法;

7、直接法

四、函数的最值的常用求法:

1、配方法;

2、换元法;

3、不等式法;

4、几何法;

5、单调性法

五、函数单调性的常用‎‎结论:

1、若f（x）,g（x）均为某区间上的增（减）函数，则f（x）?

g（x）在这

个区间上也为增（减）函数

2、若f（x）为增（减）函数，则?

f（x）为减（增）函数

3、若f（x）与g（x）的单调性相同，则y?

f[g（x）]是增函数;若f（x）

与g（x）的单调性不同，则y?

f[g（x）]是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答:

比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论:

1、如果一个奇函数在x?

0处有定义，则f（0）?

0，如果一个函数y?

f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）?

0（反之不成立）

2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数;之积（商）为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

4、两个函数y?

f（u）和u?

g（x）复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数f（x）的定义域关于原点对称，则f（x）可以表示为f（x）?

12[f（x）?

f（?

x）]?

12[f（x）?

f（?

x）]，该式的特点是:

右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

?

?

?

根式n为根指数，a为被开方数?

?

n?

?

a?

?

?

?

?

?

?

分数指数

幂?

?

?

?

?

aras?

ar?

s（a?

0,r,s?

Q）?

?

指数的运算?

?

?

?

?

rsrs指数函数?

性质?

（a）?

a（a?

0,r,s?

Q）?

?

?

?

rrs?

?

（ab）?

ab（a?

0,b?

0,r?

Q）?

?

?

?

?

?

?

定义:

一般地把函数y?

ax（a?

0且a?

1）叫做指数函数。

?

?

指数函数?

?

?

?

性质:

见表1?

?

?

?

对数:

x?

lgaN,a为底数，N为真数?

?

?

?

?

lga（M?

N）?

lgaM?

lgaN;?

?

?

基本初等函数?

?

?

?

M?

?

lg?

lgaM?

lgaN;?

?

a?

‎‎.N?

?

对数的运算?

性质?

?

n?

?

lgaM?

nlgaM;（a?

0,a?

1,M?

0,N?

0）?

?

对数函数?

?

?

?

?

lgcb?

lgab?

（a,c?

0且a,c?

1,b?

0）?

?

换底公式:

?

?

lga?

c?

?

?

?

?

?

对数函数?

定义:

一般地把函数y?

lgax（a?

0且a?

1）叫做对数函数?

?

?

?

?

性质:

见表1?

?

?

?

?

?

?

幂函数定义:

一般地，函数y?

x叫做幂函数，x是自变量，?

是常数。

?

?

?

性质:

见表2?

篇三:

高中数学必修1集合与函数知识点总结高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念【

1.

1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N?

或N?

表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.

（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a?

M，或者a?

M，两者必居其一.

（4）集合的表示法

?

自然语言法:

用文字叙述的形式来描述集合.

?

列举法:

把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

?

描述法:

{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.?

图示法:

用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类

?

含有有限个元素的集合叫做有限集.

?

含有无限个元素的集合叫做无限集.

?

不含有任何元素的集合叫做空集（?

）.【

1.

1.2】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等‎‎nnn（7）已知集合A有n（n?

1）个元素，则它有2个子集，它有2?

1个真子集，它有2?

1个非空子集，它有2?

2非空真子集.n【

1.

1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集

（1）含绝对值的不等式的解法

（2）一元二次不等式的解法【

1.

2.1】函数的概念

（1）函数的概念

?

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:

A?

B（

?

函数的三要素:

定义域、值域和对应法则（

?

只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（

（2）区间的概念及表示法

?

设a,b是两个实数，且a?

b，满足a?

x?

b的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b];满足a?

x?

b的实数x的集合叫做开区间，记做（a,b）;满足a?

x?

b，或a?

x?

b的实数x的集合叫做半开半闭区间，‎‎分别记做[a,b），（a,b];满足x?

a,x?

a,x?

b,x?

b的实数x的集合分别记做[a,?

?

）,（a,?

?

）,（?

?

b],（?

?

b）（注意:

对于集合{x|a?

x?

b}与区间（a,b），前者a可以大于或等于b，而后者必须a?

b（

（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则:

?

f（x）是整式时，定义域是全体实数（

?

f（x）是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数（

?

f（x）是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合（?

对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于

1（x?

k?

?

?

2?

y?

tanx中，（k?

Z）（?

零（负）指数幂的底

数不能为零（?

若f（x）是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集（?

对于求复合函数定义域问题，一般步骤是:

若已知f（x）的定义域为[a,b]，其复合函数f[g（x）]的定义域应由不等式a?

g（x）?

b解出（?

对于含字母参数的函数，求‎‎其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论（?

由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（

（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的

方法基本上是相同的（事实上，如果在函数的值域中存在一个最小

（大）数，这个数就是函数的最小（大）值（因此求函数的最值与值

域，其实质是相同的，只是提问的角度不同（求函数值域与最值的

常用方法:

?

观察法:

对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值（

?

配方法:

将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变

量的取值范围确定函数的值域或最值

?

判别式法:

若函数y?

f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程，则在a（y）x?

22b（y）?

x（c?

）y0a（y）?

x,y0时，由于为实数，故必须有?

?

b（y）?

4a（y）?

c（y）?

0，从而确定函数的值域或最值（?

不等式法:

利用基本不等式确定函数的值域或最值（?

换元法:

通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代

数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题（?

反函数法:

利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值

域或最值（?

数形结合法:

利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值（?

函数的单调性法（【

1.

2.2】函数的表示法

（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、

图象法三种（解析法:

就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系（列表法:

就是列出表格来表示两个变量‎‎之间的对应关系（图象法:

就是用图象表示两个变量之间的对应关系（

（6）映射的概念f

?

设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一f的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则）叫做集合A到B的映射，记作f:

A?

B（a?

A,b?

B（如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫

?

给定一个集合A到集合B的映射，且做元素a的象，元素a叫做元素b的原象（〖

1.3〗函数的基本性质【

1.

3.1】单调性与最大（小）值

（1）函数的单调性

?

定义及判定方法

?

在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数（

?

对于复合函数y?

f[g（x）]，令u?

g（x），若y?

f（u）为增，则y?

f[g（x）]u?

g（x）为增，为增;若y?

f（u）为减，u?

g（x）为减，则y?

f[g（x）]为增;