平面向量知识点总结精华.docx
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平面向量知识点总结精华
必修4平面向量知识点小结
一、向量的基本概念
1.向量的概念:
既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.
注意:
不能说向量就是有向线段,为什么?
提示:
向量
可以平移.
举例1已知Ag,B(4,2),则把向量AB按向量2_1,3)平移后得到的向量是.结果:
(3,0)
2.零向量:
长度为0的向量叫零向量,记作:
o,规定:
零向量的方向是任意的;
3.单位向量:
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB
共线的单位向量是士上卑);
IAB|
4.相等向量:
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
5.平行向量(也叫共线向量):
方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量,记作:
a//b,
规定:
零向量和任何向量平行.
注:
①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;
2两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:
两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;
3平行向量无传递性!
(因为有o);
4三点Ab、c共线共线.
6.相反向量:
长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量记作-a.
举例2如下列命题:
(1)若ia晶,则肓.
(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同.
(3)若忑是平行四边形.
(4)若7BJDC.
(5)若al,2,则aw.
(6)若a//b,b//c则a//c.其中正确的是结果:
(4)
二、向量的表示方法
1.几何表示:
用带箭头的有向线段表示,如aB,注意起点在前,终点在后;
2.符号表示:
用一个小写的英文字母来表示,如a,b,c等;
3.坐标表示:
在平面内建立直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量j为基底,则平面内的任一向量a可表示为a=x?
+yj=(xy,称(x)y为向量a的坐标,a=(x,y)叫做向量a的坐标表示.
结论:
如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.
三、平面向量的基本定理
定理设ea同一平面内的一组基底向量,a是该平面内任一向量,则存在唯一实数对(丸,九),使:
=丸齢況.
(1)定理核心:
a品朋;
(2)从左向右看,是对向量a的分解,且表达式唯一;反之,是对向量a的合成.
(3)向量的正交分解:
当驰时,就说a/十诡为对向量a的正交分解.
举例3
(1)若a"),b出,二),c,2),则c=.
果:
2a_|b.
(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的
B
A.&却,0),&弍1,4)B.&=(4,2),$=5,7)C.玄=3,5),g=6,10)
D.g¥,A),e2
(3)已知AD,BE分别是△ABC的边BC,AC上的中线,且益二,£&,
则BC可用向量a,b表示为结果:
匀缶.
33
(4)已知△ABC中,点D在BC边上,且CD^DB,百為.就,则r.的
值是结果:
0.
四、实数与向量的积
实数■与向量a的积是一个向量,记作,它的长度和方向规定如下:
(1)模:
I油冃扎I1a|;
(2)方向:
当,0时,.a的方向与a的方向相同,当*0时,,a
的方向与a的方向相反,当‘=o时,‘a=0,
、卜、‘、、、>:
注意:
a.0.
五、平面向量的数量积
1.两个向量的夹角:
对于非零向量a,b,作o^=a,o^=b,则
把.AOB—(0_-)称为向量a,b的夹角.
当v-0时,a,b同向;当—二时,a,b反向;当v-2时,a,b垂直.
2.平面向量的数量积:
如果两个非零向量a,b,它们的夹角为二,我们把数量|al|b|co^'叫做a与b的数量积(或内积或点积),记作:
ab,即;b=|;||b|cosJ.
规定:
零向量与任一向量的数量积是0.
注:
数量积是一个实数,不再是一个向量.
举例4
(1)△ABC中,|譎仝,|AC^4,|BC^5,则"ABBC=.
结果:
2
(2)已知a=(2」,j,c总虫,dJ_b,c与d的夹角为子,则k=.结果:
1.
(3)已知|a^2,|b^5,ab—3,则倩启|.结果:
y23.
(4)已知a,b是两个非零向量,且肉血皿,则a与a-b的夹角为.结果:
30.
3.向量b在向量a上的投影:
|b|cos日,它是一个实数,但不一定大于0.
举例5已知iam,|b|¥,且abJ2,贝U向量a在向量b上的投影为
积.
5.向量数量积的性质:
设两个非零向量a,b,其夹角为B,则:
(1)a_bab=0;
(2)当a、b同向时,aba||b|,特别地,;2=2a=詁|2:
=启|=^¥;
a為;i」:
i是a、b同向的充要分条件;h
当a、b反向时,崗/|,ab=-iaiibi是a、b反向的充要分条件;
当二为锐角时,ab0,且a、b不同向,ab0是二为锐角的必要
不充分条件;
当,为钝角时,ab:
:
:
o,且a、b不反向;ab<0是二为钝角的必要不充分条件.+
(3)非零向量a,b夹角的计算公式:
cos包;@tb^Hbi.a||b,
举例6
(1)已知a丄;O,b」3k2),如果a与b的夹角为锐角,贝V人
的取值范围是.结果:
民4或k虫且禺;
(2)已知△OFQ的面积为S,且°FFQ□,若f:
:
:
S:
:
:
f,则W,?
Q夹角二的取值范围是.结果:
餌];
(3)已知a丄cosx,sinx),b」cosy,siny),且满足|ka-fb^3|!
_kb|(其中7).
①用k表示ab;②求ab的最小值,并求此时a与t的夹角曲勺大小.结果:
①a匸于*0);②最小值为12,■,0•
六、向量的运算
1.几何运算
(1)向量加法运算法则:
①平行四边形法则;②三角形法则.
运算形式:
若扃=a,£=b,则向量aC叫做a与b的和,即-I彳T—*TabABBC二AC;
作图:
略•
注:
平行四边形法则只适用于不共线的向量•
(2)向量的减法
运算法则:
三角形法则.
运算形式:
若AB=a,AC=b,则a_b=AB—AC=CA,即由减向量的终点指向被减向量的终点.
作图:
略.
注:
减向量与被减向量的起点相同.
(1)化简:
①AB詁苗二:
②7BJADJDC=
.结果:
①丘:
②CB:
③o;
举例7
③(AB环AC_BD)=
(2)若正方形ABCD的边长为1,7B=4,花二,则詔总士.结果:
22;
(3)若O是△ABC所在平面内一点,且满足OB=OBOC^OA,则△ABC
(4)若D为△ABC的边BC的中点,△ABC所在平面内有一点P,满足PA挣序』,设曾严,则》的值为.结果:
2;
(5)若点。
是△ABC的外心,且OA畐昴』,则△ABC的内角C为.结果:
120.
2.坐标运算:
设a%%),beg,则
(1)向量的加减法运算:
a-b(为Xyiy2),a—b=(X1_X2,w一y2).举例8
(1)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若RJB+远(寤R),则当心
时,点P在第一、三象限的角平分线上•结果:
1;
‘27
(2)已知A(2,3),B(1,4),且1AB“sinx,cosy),x,y€(_^,#),则x•y二.结果:
_或„;
A(1,1)的三个力F1=(3,4),Wm2,上),g半,1),贝y合力结果:
(9,1).
■;='(x,y)=(■x,■y).
…爲十2-x,y2-y),即一个向量的坐标
62'
(3)已知作用在点
的终点坐标是.
(2)实数与向量的积:
(3)若AgyJ,B(X2,y2),贝UAB等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标
举例9设A(2,3),B(」5),且訖舒,AD=3AB,则C,D的坐标分别是.结果:
碍),3,9).
(4)
c-Q,0).
平面向量数量积:
a:
=皿2+y〃2.举例10已知向量a“sinx,cosx),b“sinx,sinx),
(1)若x^,求向量a、c的夹角;
(2)
!
求•的值.结果:
(1)
若x[_3刖,函数f(x)m;ab的最大值为
150•
150:
;
(2)12或二2-1.
(5)向量的模:
02^a|^x2y2|a^;x~y2.举例11已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么厂3;|=.结果:
•13.
(6)
两点间的距离:
若A(X1,yJ,B(X2,y2),则|AB|»(X2-xj2®-%)2.举例12如图,在平面斜坐标系xOyI中,^Oy90,
关于斜坐标系
的斜坐标是这样定义的:
若材,其中込同方向的单
位向量,则P点斜坐标为(")•
(1)若点P的斜坐标为(2,J),求P到O的距离|PO|;
(2)求以。
为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.结果:
(1)2;
(2)x2y2xy_1」.
七、向量的运算律
1.父换律:
abba,(由=(‘,abba;
2.结合律:
a亠b亠c=(a亠b)亠c,a_b_c=a_(b亠C),(,a)b=,(才》=a(,»;
3.分配律:
w)a—.a,,(a=•.b,洁:
二acb
举例13给出下列命题:
①a(b_C)_ab_ac:
②a(bC)二Tb)C‘③
(打2持|22a||b|-|b|2;
④若ab0,则aJ或b2;⑤若则aJ;@|a|2』‘⑦€=2;
aa
^⑧(#b)2孑b2;^⑨(a£2=a2_2ab4b2.
其中正确的是结果:
①⑥⑨•
AC
结果:
/BTO,
九、向量垂直的充要条件
a丄b=ab=O=|a.+b|=|a—bF“*2+%丫2=0.
特别地.—
1JAB||AC|丿\JAB||AC|丿
举例15
(1)已知OA_1,2),OB=(3,m),若OA_OT,则m二.
3・
2;
(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,
则点B的坐标是结果:
(1,3)或(3,-1));
结果:
(b,_a)
(3)已知n二a,b)向量n丄m,且〔n』,则m=的坐标是或(_b,a).
十、线段的定比分点
1.定义:
设点P是直线RP2上异于P、F2的任意一点,若存在一个实数■,使pPw•左,则实数’叫做点P分有向线段需所成的比‘,P点叫做有向线段P1P2的以定比为,的定比分点.
2.■的符号与分点上的位置之间的关系
(1)p内分线段p1p2,即点p在线段PP2上二人>0;
(2)p外分线段PP2时,①点p在线段PP2的延长线上二h<-1,②点P在线段PP2的反向延长线上1':
:
:
0.
注:
若点P分有向线段卞所成的比为九,则点P分有向线段R所成的比为丄.
举例16若点P分强所成的比为|,则A分齐所成的比为结果:
-3.
3.线段的定比分点坐标公式:
设PgyJ,P2(x2,y2),点P(x,y)分有向线段罷所成的比为人,则定
X1*2
X—
1-■
%中入y2
y=
、、1+人
特别地,当丸=1时,就得到线段RP2的中点坐标公式
D的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标
(2)在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比■.
举例
17
(1)若M(J3,_2),N(6,」),且,则点P的坐标
为
-
结果:
(§一]);
(2)
已知
A(a,0),B(3,2a),直线ygax与线段AB交于M,且AM=2MB,
则昇
■
结果:
2或入
十、
平移公式
如果点P(x,y)按向量扌=(h,k)平移至P(x;y),则心*,;曲线f(x,y)=Oy=yk.
按向量a=(h,k)平移得曲线f(x_h,y_k)=0.
说明:
(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系?
(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!
举例18
(1)按向量a把(2」平移到(仁),则按向量a把点口,2)
平移到点.结果:
(_8,3);
(2)函数y^2x的图象按向量a平移后,所得函数的解析式是yYOS2X弟,贝Ua=.结果:
(召D.
十二、向量中一些常用的结论
1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运
用;斗■
2.模的性质:
|扌|一|訂i|abMa||b|.
(1)右边等号成立条件:
ab同向或ab中有Ouiab^aiibi;
(2)左边等号成立条件:
a、b反向或a、b中有O:
=ia_bi=iaiibi;
(3)当ab不共线=|崗_|说為+「舗|+|,|.
3.三角形重心公式
4.
则其重心的坐标为
在△ABC中,若AgyJ,B(X2,y2),Cgys),
-占(
||AC|
6.点P分有向线段Pp2所成的比’向量形式
设点P分有向线段窝所成的比为'若M为平面内的任一点,
则M^=MpL^,特别地P为有向线段詬的中点二地.
1+人2
7.向量PA,Pb,pC中三终点A,B,C共线二存在实数a,p,使得PA=:
PB】;■P且1.
举例20平面直角坐标系中,。
为坐标原点,已知两点A(3,1),B(」3),若点C满足O^=1OA■2Ob,其中八.R且「心,则点C的轨迹是.结果:
直线AB.
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