典型共点力平衡问题例题.docx
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典型共点力平衡问题例题
典型共点力作用下物体的平衡例题
[ [例1]如图1所示,挡板AB和竖直墙之间夹有小球,球的质量为m,问当挡板与竖直墙壁之间夹角θ缓慢增加时,AB板及墙对球压力如何变化。
极限法
[例2]如图1所示,细绳CO与竖直方向成30°角,A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连,已知物体B所受到的重力为100N,地面对物体B的支持力为80N,试求
(1)物体A所受到的重力;
(2)物体B与地面间的摩擦力;
(3)细绳CO受到的拉力。
例3]如图1所示,在质量为1kg的重物上系着一条长30cm的细绳,细绳的另一端连着圆环,圆环套在水平的棒上可以滑动,环与棒间的静摩擦因数为0.75,另有一条细绳,在其一端跨过定滑轮,定滑轮固定在距离圆环0.5m的地方。
当细绳的端点挂上重物G,而圆环将要开始滑动时,试问
(1)长为30cm的细绳的张力是多少?
(2)圆环将要开始滑动时,重物G的质量是多少?
(3)角φ多大?
[分析]选取圆环作为研究对象,分析圆环的受力情况:
圆环受到重力、细绳的张力T、杆对圆环的支持力N、摩擦力f的作用。
[解]因为圆环将要开始滑动,所以,可以判定本题是在共点力作用下物体的平衡问题。
由牛顿第二定律给出的平衡条件∑Fx=0,∑Fy=0,建立方程有
μN-Tcosθ=0,
N-Tsinθ=0。
设想:
过O作OA的垂线与杆交于B′点,由AO=30cm,tgθ=
,得B′O的长为40cm。
在直角三角形中,由三角形的边长条件得AB′=50cm,但据题述条件AB=50cm,故B′点与滑轮的固定处B点重合,即得φ=90°。
(1)如图2所示选取坐标轴,根据平衡条件有
Gcosθ+Tsinθ-mg=0,
Tcosθ-Gsinθ=0。
解得T≈8N,
(2)圆环将要滑动时,得mGg=Tctgθ,mG=0.6kg。
(3)前已证明φ为直角。
例4]如图1所示,质量为m=5kg的物体放在水平面上,物体与水平面间的动摩擦因数
求当物体做匀速直线运动时,牵引力F的最小值和方向角θ。
[分析]本题考察物体受力分析:
由于求摩擦力f时,N受F制约,而求F最小值,即转化为在物理问题中应用数学方法解决的实际问题。
我们可以先通过物体受力分析。
据平衡条件,找出F与θ关系。
进一步应用数学知识求解极值。
[解]作出物体m受力分析如图2,由平衡条件。
∑Fx=Fcosθ-μN=0
(1)
∑Fy=Fsinθ+N-G=0
(2)
由cos(θ-Ф)=1即θ—Ф=0时
∴Ф=30°,θ=30°
[说明]本题中我们应用了数学上极值方法,来求解物理实际问题,这是在高考中考察的一项重要能力。
在以后解题中我们还会遇到用如:
几何法、三角形法等数学方法解物理问题,所以,在我们学习物理时,逐步渗透数学思想,对解决物理问题是很方便的。
但要注意,求解结果和物理事实的统一性。
[例5]如图1,A、B两物体质量相等,B用细绳拉着,绳与倾角θ的斜面平行。
A与B,A与斜面间的动摩擦因数相同,若A沿斜面匀速下滑,求动摩擦因数的值。
例6、如图7,半径为R的光滑半球的正上方,离球面顶端距离为h的O点,用一根长为l的细线悬挂质量为m的小球,小球靠在半球面上.试求小球对球面压力的大小.
题
[例题1]一个光滑的圆球搁在光滑的斜面和竖直的档板之间(图1),斜面和档板对圆球的弹力随斜面倾角α变化而变化的范围是:
A.斜面弹力N1变化范围是(mg,+∞)
B.斜面弹力N1变化范围是(0,+∞)
C.档板的弹力N2变化范围是(0,+∞)
D.档板的弹力N2变化范围是(mg,+∞)
答:
[A、C]
解:
圆球受三个力,其中重力的大小和方向均为确定的,档板对圆球的弹力N2的方向始终是水平的,亦为确定的。
而斜面对圆球的作用力的大小和方向均在变化中,但不论α如何变动,只要α取一个确定的值,圆球就在三力作用下处于平衡状态,则此三力就组成一个封闭的三角形,如图2所示:
由于0<α<90°,所以mg<N1<+∞,0<N2<+∞
解出。
[例题2]如图3所示,用两根绳子系住一重物,绳OA与天花板夹角θ不变,且θ>45°,当用手拉住绳OB,使绳OB由水平慢慢转向OB′过程中,OB绳所受拉力将
A.始终减少B.始终增大
C.先增大后减少D.先减少后增大
答:
[D]
解:
重物受三个力,其中重力大小方向确定,OA方向不变,OB绳受力的大小方向变化。
在变化过程中,重物所受三力平衡,可组成一个封闭三角形,现图示如下:
从图中可很直观地得出结论。
由于θ>45°,θ+α=90°所以α<45°,此时TOB取得最小值。
[例题3]如图4所示,一重球用细线悬于O点,一光滑斜面将重球支持于A点,现将斜面沿水平面向右慢慢移动,那么细线对重球的拉力T及斜面对重球的支持力N的变化情况是:
A.T逐渐增大,N逐渐减小;
B.T逐渐减小,N逐渐增大;
C.T先变小后变大,N逐渐减小;
D.T逐渐增大,N先变大后变小。
.
例7、一质量为50kg的均匀圆柱体,放在台阶旁,台阶高度
(r为柱体半径)。
柱体最上方A处施一最小的力F,使柱体刚能开始以P轴向台阶上滚,求此最小力.
析:
圆柱体不能看作质点,选其为研究对象,分析其受力如图13(a)所示.
先将圆柱体在P点所受的支持力N和静摩擦力f合成,得到合力Q,则圆柱体受mg、Q、F三个力作用,这三个力必为共点力,且Q、F二力的合力为定值,如图13(b)所示,显然当F与Q垂直时,F有最小值,由题给条件知,∠OAP=30°,则:
Fmin=T·sin30°=mg·sin30°=250N
由以上两例可以发现,将多力问题转化为三力问题时,常先将同一接触面上的弹力和摩擦力合成,在求解时用的较多的分析思路是三力的动态平衡问题的分析思路,请读者再进一步加以体会.
(2)利用正交分解法分析求解
当受力较多时,利用合成法需要几次合成才能得出结论,分析起来较繁琐.最常见的多力平衡问题就是直接建立正交坐标系,在分析物体受力后,利用正交分析法求解.
例8、如图14为一遵从胡克定律的弹性轻绳,其一端固定于天花板上的O点,另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连.当绳处在竖直位置时,滑块A对地面有压力作用.B为紧挨绳的一光滑水平小钉,它到天花板的距离BO等于弹性绳的自然长度.现用一水平力F作用于A,使它向右作直线运动.在运动过程中,作用于A的摩擦力
A、逐渐增大B、逐渐减小
C、保持不变D、条件不足,无法判断
析:
取物体A为研究对象,分析A受力如图15,并沿水平和竖直方向建立正交坐标系.由于物体向右做直线运动,则y轴方向上受力平衡,即:
T·sinθ+N=mg
依题意,绳的拉力T=kx,x为弹性绳的形变量,则地面对物体的支持力
与A物体在B正下方时地面对物体的支持力相同.也就是说,在物体向右运动过程中,地面对物体的支持力不变,由滑动摩擦力公式知,正确答案为C.
解决物理问题的关键在于有正确的分析思路和解题步骤.上面我们虽然分成几种情况来讨论平衡问题,但不难发现,突破障碍后,其解题的思路和步骤是完全一样的.这就要求我们,在学习物理的平衡知识时,首先要建立一个解题的基本模式,即解题基本步骤及几种常见题型的特点,则无论在何处遇到此类问题,都能够迅速唤起基本模式,通过原型启发,迅速重视相关知识,从而顺利地解决问题.解平衡问题是这样,解决其它问题也是这样,如果我们坚持这样去做,就会达到会学、要学、乐学的高境界.
三、练习题
1.如图16,AB为一轻质杆,BC为一细绳,A总通过绞链固定于竖直墙上,若在杆上挂一重物,并使其逐渐由B向A移动,试分析墙对杆A端的作用力如何变化?
2.半径为R的光滑球,重为G,光滑木块,重为G,如图示放置.至少用多大的力F(水平力)推木块,才能使球离开地面?
木块高为h.
3.两根长度相等的轻绳下端是挂一质量为m的物体,上端分别固定在水平天花板上的M、N点.M、N两点间的距离为S,如图18所示.已知两绳所能承受的最大拉力均为T,则每根绳的长度不得短于多少?
球,在图示情形下处于静止状态,求绳对球的拉力大小及斜面给球的支持力的大小.
5.如图20,AB为一轻质梯子,A端靠在光滑墙面上,B端置于粗糙水平面上.当重为G的人由B端逐渐爬上梯子的A端时,梯子始终没动.试分析墙对梯子的作用力与地面给梯子的作用力分别如何变化?
6.如图21,一木块质量为m,放在倾角为θ的固定斜面上,木块与斜面间的动摩擦因数为μ.当用水平方向的力F推这木块时,木块沿斜面匀速上升,则此水平推力多大?
附答案:
1.先减小,后增大
4.T=N=10N
5.墙对A支持力逐渐增大,地面对B支持力不变,静摩擦力逐渐增大.
静力学中四类极值问题的求解
最(大或小)值问题是中学物理习题中常见的题型之一,这类题型渗透在中学物理的各个部分,技巧性强,解法颇多。
深入探究最值问题的解答,能有效地提高运用数学知识解决问题的能力,培养灵活性和敏捷性。
1.不等式法:
例1无限长直电杆立于地面,与地面之间的摩擦力足够大。
如图1示,用长为L的绳拉电杆,若所用拉力T恒定时,绳栓在电线杆的何处最容易拉倒?
分析与解:
设绳线栓在离地h高处,则拉力T的力矩最大时,最容易拉倒电杆,如图1,cosθ=h/L,则T的力矩
观察此式,T、L一定,因h2+(L2-h2)=L2是一常数,故当h2=L2-h2
评点:
解此类问题,首先根据力的平衡列出方程,然后观察方程特征,发掘其隐含条件,若a>0,b>0,a+b=常数,则当a=b时,ab积最大。
这里运用了不等式的一个重要性质(a+b)/2
2.三角函数法:
例2重量为G的物体在水平而上作匀速运动,设物体与地面之间
如图2示。
分析与解:
物体受共点力作用而平衡,由平衡条件得:
水平方向:
Fcosθ=μN
竖直方向:
N+Fsinθ=G
解得F=μG/(cosθ+μsinθ)
为使F最小,只需cosθ+μsinθ最大,因为
(cosθ+μsinθ)=(cosθsinφ+cosφsinθ)/sinφ
=sin(θ+φ)/sinφ
而φ=ctg-1
,故当θ=30°时,F最小,最小值为
Fmin=μGsinφ=G/2。
评点:
求解此类问题的一般思路是先根据物理规律求出待求量的表达式,再根据三角函数的有界性:
|sinθ|≤1或|cosθ|≤1求最值。
3.极限推理法:
例3如图3,用力F推质量为M的物体,物体与地面间的摩擦因数为μ,求外力F与水平方向交角θ最小为多大时,无论外力F多么大均不能使物体前进?
分析与解:
物体受共点力作用,当不动时必满足:
Fcosθ≤μ(Mg+Fsinθ)
化简得:
F(csoθ-μsinθ)≤μMg。
因为无论F多大,上式均成立,则当F→∞时,不等式也成立,此时θ取最小值θ0因此最小角满足方程cosθ0-μsinθ0=0,
tgθ0=1/μ,
θ0=arctg1/μ。
评点:
此类题通过对关系式的推理分析、θ=θ0时F无论多大物体都不能被推动,因而F→∞时所满足的θ角便是最小值。
这是一种极限推理分析的方法。
4.矢量三角图示法
例5一重为G的光滑球放在倾角为θ的斜面上,被一挡板PQ挡住,Q处为固定转轴,如图4示,挡板可以逐渐放平,何时球对挡板的压力最小。
分析与解:
小球受重力、斜面的支持力和挡板支持力三个共点力作用而平衡。
由挡板对球支持力的动态变化,可作力矢量三角形。
如图5所示,由图知当挡板逐渐放平的过程中,斜面对球的支持力N1一直逐渐减小,而挡板对球的支持力N2将先减小后增大,故当挡板与斜面垂直时球对挡板压力最小。
评点:
质点在三个共点力作用下而平衡,各力之间的动态变化的规律,由力矢量三角形可直观地作出判断。
这是处理此类平衡问题常用的一种方法。
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