等差数列基础习题选附详细答案答案Word版.docx
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等差数列基础习题选附详细答案答案Word版
参考答案与试题解析
一.选择题(共26小题)
1.已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,则公差d的值为( )
A.
B.
1
C.
D.
﹣1
考点:
等差数列.501974
专题:
计算题.
分析:
本题可由题意,构造方程组
,解出该方程组即可得到答案.
解答:
解:
等差数列{an}中,a3=9,a9=3,
由等差数列的通项公式,可得
解得
,即等差数列的公差d=﹣1.
故选D
点评:
本题为等差数列的基本运算,只需构造方程组即可解决,数基础题.
2.已知数列{an}的通项公式是an=2n+5,则此数列是( )
A.
以7为首项,公差为2的等差数列
B.
以7为首项,公差为5的等差数列
C.
以5为首项,公差为2的等差数列
D.
不是等差数列
考点:
等差数列.501974
专题:
计算题.
分析:
直接根据数列{an}的通项公式是an=2n+5求出首项,再把相邻两项作差求出公差即可得出结论.
解答:
解:
因为an=2n+5,
所以a1=2×1+5=7;
an+1﹣an=2(n+1)+5﹣(2n+5)=2.
故此数列是以7为首项,公差为2的等差数列.
故选A.
点评:
本题主要考查等差数列的通项公式的应用.如果已知数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项.
3.在等差数列{an}中,a1=13,a3=12,若an=2,则n等于( )
A.
23
B.
24
C.
25
D.
26
考点:
等差数列.501974
专题:
综合题.
分析:
根据a1=13,a3=12,利用等差数列的通项公式求得d的值,然后根据首项和公差写出数列的通项公式,让其等于2得到关于n的方程,求出方程的解即可得到n的值.
解答:
解:
由题意得a3=a1+2d=12,把a1=13代入求得d=﹣
,
则an=13﹣
(n﹣1)=﹣
n+
=2,解得n=23
故选A
点评:
此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一道基础题.
4.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=6,a4=8,则公差d=( )
A.
一1
B.
2
C.
3
D.
一2
考点:
等差数列.501974
专题:
计算题.
分析:
根据等差数列的前三项之和是6,得到这个数列的第二项是2,这样已知等差数列的;两项,根据等差数列的通项公式,得到数列的公差.
解答:
解:
∵等差数列{an}的前n项和为Sn,
S3=6,
∴a2=2
∵a4=8,
∴8=2+2d
∴d=3,
故选C.
点评:
本题考查等差数列的通项,这是一个基础题,解题时注意应用数列的性质,即前三项的和等于第二项的三倍,这样可以简化题目的运算.
5.两个数1与5的等差中项是( )
A.
1
B.
3
C.
2
D.
考点:
等差数列.501974
专题:
计算题.
分析:
由于a,b的等差中项为
,由此可求出1与5的等差中项.
解答:
解:
1与5的等差中项为:
=3,
故选B.
点评:
本题考查两个数的等差中项,牢记公式a,b的等差中项为:
是解题的关键,属基础题.
6.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是( )
A.
﹣2
B.
﹣3
C.
﹣4
D.
﹣5
考点:
等差数列.501974
专题:
计算题.
分析:
设等差数列{an}的公差为d,因为数列前六项均为正数,第七项起为负数,所以
,结合公差为整数进而求出数列的公差.
解答:
解:
设等差数列{an}的公差为d,
所以a6=23+5d,a7=23+6d,
又因为数列前六项均为正数,第七项起为负数,
所以
,
因为数列是公差为整数的等差数列,
所以d=﹣4.
故选C.
点评:
解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式,并且结合正确的运算.
7.(2012•福建)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
等差数列的通项公式.501974
专题:
计算题.
分析:
设数列{an}的公差为d,则由题意可得2a1+4d=10,a1+3d=7,由此解得d的值.
解答:
解:
设数列{an}的公差为d,则由a1+a5=10,a4=7,可得2a1+4d=10,a1+3d=7,解得d=2,
故选B.
点评:
本题主要考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题.
8.数列
的首项为3,
为等差数列且
,若
,
,则
=( )
A.
0
B.
8
C.
3
D.
11
考点:
等差数列的通项公式.501974
专题:
计算题.
分析:
先确定等差数列
的通项,再利用
,我们可以求得
的值.
解答:
解:
∵
为等差数列,
,
,
∴
∴bn=b3+(n﹣3)×2=2n﹣8
∵
∴b8=a8﹣a1
∵数列
的首项为3
∴2×8﹣8=a8﹣3,
∴a8=11.
故选D
点评:
本题考查等差数列的通项公式的应用,由等差数列的任意两项,我们可以求出数列的通项,是基础题.
9.已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,则它们的公共项的个数为( )
A.
25
B.
24
C.
20
D.
19
考点:
等差数列的通项公式.501974
专题:
计算题.
分析:
(法一):
根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列,且公差为原来两个公差的最小公倍数求解,
(法二)由条件可知两个等差数列的通项公式,可用不定方程的求解方法来求解.
解答:
解法一:
设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an},则a1=11
∵数列5,8,11,…与3,7,11,…公差分别为3与4,
∴{an}的公差d=3×4=12,
∴an=11+12(n﹣1)=12n﹣1.
又∵5,8,11,…与3,7,11,…的第100项分别是302与399,
∴an=12n﹣1≤302,即n≤25.5.
又∵n∈N*,
∴两个数列有25个相同的项.
故选A
解法二:
设5,8,11,与3,7,11,分别为{an}与{bn},则an=3n+2,bn=4n﹣1.
设{an}中的第n项与{bn}中的第m项相同,
即3n+2=4m﹣1,∴n=
m﹣1.
又m、n∈N*,可设m=3r(r∈N*),得n=4r﹣1.
根据题意得1≤3r≤1001≤4r﹣1≤100解得
≤r≤
∵r∈N*
从而有25个相同的项
故选A
点评:
解法一利用了等差数列的性质,解法二利用了不定方程的求解方法,对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高.
10.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若满足an=an﹣1+2(n≥2),且S3=9,则a1=( )
A.
5
B.
3
C.
﹣1
D.
1
考点:
等差数列的通项公式.501974
专题:
计算题.
分析:
根据递推公式求出公差为2,再由S3=9以及前n项和公式求出a1的值.
解答:
解:
∵an=an﹣1+2(n≥2),∴an﹣an﹣1=2(n≥2),
∴等差数列{an}的公差是2,
由S3=3a1+
=9解得,a1=1.
故选D.
点评:
本题考查了等差数列的定义,以及前n项和公式的应用,即根据代入公式进行求解.
11.(2005•黑龙江)如果数列{an}是等差数列,则( )
A.
a1+a8>a4+a5
B.
a1+a8=a4+a5
C.
a1+a8<a4+a5
D.
a1a8=a4a5
考点:
等差数列的性质.501974
分析:
用通项公式来寻求a1+a8与a4+a5的关系.
解答:
解:
∵a1+a8﹣(a4+a5)=2a1+7d﹣(2a1+7d)=0
∴a1+a8=a4+a5
∴故选B
点评:
本题主要考查等差数列通项公式,来证明等差数列的性质.
12.(2004•福建)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若
=( )
A.
1
B.
﹣1
C.
2
D.
考点:
等差数列的性质.501974
专题:
计算题.
分析:
充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题.
解答:
解:
设等差数列{an}的首项为a1,由等差数列的性质可得
a1+a9=2a5,a1+a5=2a3,
∴
=
=
=
=1,
故选A.
点评:
本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用,
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则有如下关系S2n﹣1=(2n﹣1)an.
13.(2009•安徽)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于( )
A.
﹣1
B.
1
C.
3
D.
7
考点:
等差数列的性质.501974
专题:
计算题.
分析:
根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值,进而求得数列的公差,最后利用等差数列的通项公式求得答案.
解答:
解:
由已知得a1+a3+a5=3a3=105,
a2+a4+a6=3a4=99,
∴a3=35,a4=33,∴d=a4﹣a3=﹣2.
∴a20=a3+17d=35+(﹣2)×17=1.
故选B
点评:
本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用.解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4.
14.在等差数列{an}中,a2=4,a6=12,,那么数列{
}的前n项和等于( )
A.
B.
C.
D.
考点:
数列的求和;等差数列的性质.501974
专题:
计算题.
分析:
求出等差数列的通项,要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列,利用错位相减法求出数列的前n项的和.
解答:
解:
∵等差数列{an}中,a2=4,a6=12;
∴公差d=
;
∴an=a2+(n﹣2)×2=2n;
∴
;
∴
的前n项和,
=
两式相减得
=
∴
故选B
点评:
求数列的前n项的和,先判断通项的特点,据通项的特点选择合适的求和方法.
15.已知Sn为等差数列{an}的前n项的和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为( )
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
考点:
等差数列的性质.501974
专题:
计算题.
分析:
由a2+a5=4,S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①,根据等差数列的前n项和公式可得,
,联立可求d,a1,代入等差数列的通项公式可求
解答:
解:
等差数列{an}中,a2+a5=4,S7=21
根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①
根据等差数列的前n项和公式可得,
所以a1+a7=6②
②﹣①可得d=2,a1=﹣3
所以a7=9
故选D
点评:
本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用,属于基础试题.
16.已知数列{an}为等差数列,a1+a3+a5=15,a4=7,则s6的值为( )
A.
30
B.
35
C.
36
D.
24
考点:
等差数列的性质.501974
专题:
计算题.
分析:
利用等差中项的性质求得a3的值,进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值,代入等差数列的求和公式中求得答案.
解答:
解:
a1+a3+a5=3a3=15,
∴a3=5
∴a1+a6=a3+a4=12
∴s6=
×6=36
故选C
点评:
本题主要考查了等差数列的性质.特别是等差中项的性质.
17.(2012•营口)等差数列{an}的公差d<0,且
,则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是( )
A.
5
B.
6
C.
5或6
D.
6或7
考点:
等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.501974
专题:
计算题.
分析:
由
,知a1+a11=0.由此能求出数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n.
解答:
解:
由
,
知a1+a11=0.
∴a6=0,
故选C.
点评:
本题主要考查等差数列的性质,求和公式.要求学生能够运用性质简化计算.
18.(2012•辽宁)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=( )
A.
58
B.
88
C.
143
D.
176
考点:
等差数列的性质;等差数列的前n项和.501974
专题:
计算题.
分析:
根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16,再由S11=
运算求得结果.
解答:
解:
∵在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,∴a1+a11=a4+a8=16,∴S11=
=88,
故选B.
点评:
本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的前n项和公式的应用,属于中档题.
19.已知数列{an}等差数列,且a1+a3+a5+a7+a9=10,a2+a4+a6+a8+a10=20,则a4=( )
A.
﹣1
B.
0
C.
1
D.
2
考点:
等差数列的通项公式;等差数列的前n项和.501974
专题:
计算题.
分析:
由等差数列得性质可得:
5a5=10,即a5=2.同理可得5a6=20,a6=4,再由等差中项可知:
a4=2a5﹣a6=0
解答:
解:
由等差数列得性质可得:
a1+a9=a3+a7=2a5,又a1+a3+a5+a7+a9=10,
故5a5=10,即a5=2.同理可得5a6=20,a6=4.
再由等差中项可知:
a4=2a5﹣a6=0
故选B
点评:
本题考查等差数列的性质及等差中项,熟练利用性质是解决问题的关键,属基础题.
20.(理)已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣8n,第k项满足4<ak<7,则k=( )
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
考点:
等差数列的通项公式;等差数列的前n项和.501974
专题:
计算题.
分析:
先利用公式an=
求出an,再由第k项满足4<ak<7,建立不等式,求出k的值.
解答:
解:
an=
=
∵n=1时适合an=2n﹣9,∴an=2n﹣9.
∵4<ak<7,∴4<2k﹣9<7,
∴
<k<8,又∵k∈N+,∴k=7,
故选B.
点评:
本题考查数列的通项公式的求法,解题时要注意公式an=
的合理运用,属于基础题.
21.数列an的前n项和为Sn,若Sn=2n2﹣17n,则当Sn取得最小值时n的值为( )
A.
4或5
B.
5或6
C.
4
D.
5
考点:
等差数列的前n项和.501974
专题:
计算题.
分析:
把数列的前n项的和Sn看作是关于n的二次函数,把关系式配方后,又根据n为正整数,即可得到Sn取得最小值时n的值.
解答:
解:
因为Sn=2n2﹣17n=2
﹣
,
又n为正整数,
所以当n=4时,Sn取得最小值.
故选C
点评:
此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力,是一道基础题.
22.等差数列{an}中,an=2n﹣4,则S4等于( )
A.
12
B.
10
C.
8
D.
4
考点:
等差数列的前n项和.501974
专题:
计算题.
分析:
利用等差数列{an}中,an=2n﹣4,先求出a1,d,再由等差数列的前n项和公式求S4.
解答:
解:
∵等差数列{an}中,an=2n﹣4,
∴a1=2﹣4=﹣2,
a2=4﹣4=0,
d=0﹣(﹣2)=2,
∴S4=4a1+
=4×(﹣2)+4×3
=4.
故选D.
点评:
本题考查等差数列的前n项和公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,注意先由通项公式求出首项和公差,再求前四项和.
23.若{an}为等差数列,a3=4,a8=19,则数列{an}的前10项和为( )
A.
230
B.
140
C.
115
D.
95
考点:
等差数列的前n项和.501974
专题:
综合题.
分析:
分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式,得到①和②,联立即可求出首项和公差,然后利用求出的首项和公差,根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和.
解答:
解:
a3=a1+2d=4①,a8=a1+7d=19②,
②﹣①得5d=15,
解得d=3,
把d=3代入①求得a1=﹣2,
所以S10=10×(﹣2)+
×3=115
故选C.
点评:
此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值,是一道基础题.
26.设an=﹣2n+21,则数列{an}从首项到第几项的和最大( )
A.
第10项
B.
第11项
C.
第10项或11项
D.
第12项
考点:
等差数列的前n项和;二次函数的性质.501974
专题:
转化思想.
分析:
方法一:
由an,令n=1求出数列的首项,利用an﹣an﹣1等于一个常数,得到此数列为等差数列,然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式,得到前n项的和与n成二次函数关系,其图象为开口向下的抛物线,当n=﹣
时,前n项的和有最大值,即可得到正确答案;
方法二:
令an大于等于0,列出关于n的不等式,求出不等式的解集即可得到n的范围,在n的范围中找出最大的正整数解,从这项以后的各项都为负数,即可得到正确答案.
解答:
解:
方法一:
由an=﹣2n+21,得到首项a1=﹣2+21=19,an﹣1=﹣2(n﹣1)+21=﹣2n+23,
则an﹣an﹣1=(﹣2n+21)﹣(﹣2n+23)=﹣2,(n>1,n∈N+),
所以此数列是首项为19,公差为﹣2的等差数列,
则Sn=19n+
•(﹣2)=﹣n2+20n,为开口向下的抛物线,
当n=﹣
=10时,Sn最大.
所以数列{an}从首项到第10项和最大.
方法二:
令an=﹣2n+21≥0,
解得n≤
,因为n取正整数,所以n的最大值为10,
所以此数列从首项到第10项的和都为正数,从第11项开始为负数,
则数列{an}从首项到第10项的和最大.
故选A
点评:
此题的思路可以先确定此数列为等差数列,根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到n的值;也可以直接令an≥0,求出解集中的最大正整数解,要求学生一题多解.
二.填空题(共4小题)
27.如果数列{an}满足:
=
.
考点:
数列递推式;等差数列的通项公式.501974
专题:
计算题.
分析:
根据所给的数列的递推式,看出数列是一个等差数列,根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项,根据等差数列的通项公式写出数列,进一步得到结果.
解答:
解:
∵根据所给的数列的递推式
∴数列{
}是一个公差是5的等差数列,
∵a1=3,
∴
=
,
∴数列的通项是
∴
故答案为:
点评:
本题看出数列的递推式和数列的通项公式,本题解题的关键是确定数列是一个等差数列,利用等差数列的通项公式写出通项,本题是一个中档题目.
28.如果f(n+1)=f(n)+1(n=1,2,3…),且f
(1)=2,则f(100)= 101 .
考点:
数列递推式;等差数列的通项公式.501974
专题:
计算题.
分析:
由f(n+1)=f(n)+1,x∈N+,f
(1)=2,依次令n=1,2,3,…,总结规律得到f(n)=n+1,由此能够求出f(100).
解答:
解:
∵f(n+1)=f(n)+1,x∈N+,
f
(1)=2,
∴f
(2)=f
(1)+1=2+1=3,
f(3)=f
(2)+1=3+1=4,
f(4)=f(3)+1=4+1=5,
…
∴f(n)=n+1,
∴f(100)=100+1=101.
故答案为:
101.
点评:
本题考查数列的递推公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
29.等差数列{an}的前n项的和
,则数列{|an|}的前10项之和为 58 .
考点:
数列的求和;等差数列的通项公式.501974
专题:
计算题.
分析:
先求出等差数列的前两项,可得通项公式为an=7﹣2n,从而得到n≤3时,|an|=7﹣2n,当n>3时,|an|=
2n﹣7.分别求出前3项的和、第4项到第10项的和,相加即得所求.
解答:
解:
由于等差数列{an}的前n项的和
,故a1=s1=5,
∴a2=s2﹣s1=8﹣5=3,故公差d=﹣2,故an=5+(n﹣1)(﹣2)=7﹣2n.
当n≤3时,|an|=7﹣2n,当n>3时,|an|=2n﹣7.
故前10项之和为a1+a2+a3﹣a4﹣a5﹣…﹣a10=
+
=9+49=58,
故答案为58.
点评:
本题主要考查等差数列的通项公式,前n项和公式及其应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
(注:
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