高中数学12用二分法求方程的近似解示范教案新人教A版必修1.docx
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高中数学12用二分法求方程的近似解示范教案新人教A版必修1
2019-2020年高中数学(1.2用二分法求方程的近似解)示范教案新人教A版必修1
教学分析
求方程的解是常见的数学问题,这之前我们学过解一元一次、一元二次方程,但有些方程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解,这是一种崭新的思维方式,在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是:
运算量大,且重复相同的步骤,因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步.
三维目标
1.让学生学会用二分法求方程的近似解,知道二分法是科学的数学方法.
2.了解用二分法求方程的近似解特点,学会用计算器或计算机求方程的近似解,初步了解算法思想.
3.回忆解方程的历史,了解人类解方程的进步历程,激发学习的热情和学习的兴趣.
重点难点
用二分法求方程的近似解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情景导入)
师:
(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格,你如何猜?
生1:
先初步估算一个价格,如果高了再每隔10元降低报价.
生2:
这样太慢了,先初步估算一个价格,如果高了每隔100元降低报价.如果低了,每50元上升;如果再高了,每隔20元降低报价;如果低了,每隔10元上升报价……
生3:
先初步估算一个价格,如果高了,再报一个价格;如果低了,就报两个价格和的一半;如果高了,再把报的低价与一半价相加再求其半,报出价格;如果低了,就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……
师:
在现实生活中我们也常常利用这种方法.譬如,一天,我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障,(相距大约3500米)电工是怎样检测的呢?
是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测,还是按照生3那样来检测呢?
生:
(齐答)按照生3那样来检测.
师:
生3的回答,我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件,区间逼近法).
思路2.(事例导入)
有12个小球,质量均匀,只有一个球是比别的球重,你用天平称几次可以找出这个球,要求次数越少越好.(让同学们自由发言,找出最好的办法)
解:
第一次,两端各放六个球,低的那一端一定有重球.
第二次,两端各放三个球,低的那一端一定有重球.
第三次,两端各放一个球,如果平衡,剩下的就是重球,否则,低的就是重球.
其实这就是一种二分法的思想,那什么叫二分法呢?
推进新课
新知探究
提出问题
①解方程2x-16=0.
②解方程x2-x-2=0.
③解方程x3-2x2-x+2=0.
④解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0.
⑤我们知道,函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内有零点.进一步的问题是,如何找出这个零点的近似值?
⑥“取中点”后,怎样判断所在零点的区间?
⑦什么叫二分法?
⑧试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内零点的近似值.
⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.
⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.
讨论结果:
①x=8.
②x=-1,x=2.
③x=-1,x=1,x=2.
④x=,x=,x=1,x=2.
⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值.为了方便,我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.〔“取中点”,一般地,我们把x=称为区间(a,b)的中点〕
⑥比如取区间(2,3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)<0,因为f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.
⑦对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).
⑧因为函数f(x)=lnx+2x-6,用计算器或计算机作出函数f(x)=lnx+2x-6的对应值表.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
-4
-1.306
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
由表可知,f
(2)<0,f(3)>0,则f
(2)·f(3)<0,这说明f(x)在区间内有零点x0,取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084,因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).
同理,可得表(下表)与图象(如图3-1-2-1).
区间
中点的值
中点函数的近似值
(2,3)
2.5
-0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.625
0.215
(2.5,2.625)
2.5625
0.066
(2.5,2.5625)
2.53-1-2-5
-0.009
(2.53-1-2-5,2.5625)
2.546875
0.029
(2.53-1-2-5,2.546875)
2.5390625
0.010
(2.53-1-2-5,2.5390625)
2.53515625
0.001
图3-1-2-1
由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75),所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤,那么零点所在的范围会越来越小(见上表).这样,在一定的精确度下,我们可以在有限次重复相同步骤后,将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值.特别地,可以将区间端点作为函数零点的近似值.例如,当精确度为0.01时,由于|2.5390625-2.53-1-2-5|=0.0078125<0.01,所以,我们可以将x=2.53-1-2-5作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值.
⑨给定精度ε,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下:
1°确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精度ε.
2°求区间(a,b)的中点c.
3°计算f(c):
a.若f(c)=0,则c就是函数的零点;
b.若f(a)·f(c)<0,则令b=c〔此时零点x0∈(a,c)〕;
c.若f(c)·f(b)<0,则令a=c〔此时零点x0∈(c,b)〕.
4°判断是否达到精度ε;即若|a-b|<ε,则得到零点值a(或b);否则重复步骤2°~4°.
⑩由函数的零点与相应方程的关系,我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大,而且是重复相同的步骤,因此,我们可以通过设计一定的计算程序,借助计算器或计算机完成计算.
应用示例
思路1
例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度为0.1).
活动:
①师生共同探讨交流,引出借助函数f(x)=2x+3x-7的图象,能够缩小根所在区间,并根据f
(1)<0,f
(2)>0,可得出根所在区间(1,2);
②引发学生思考,如何进一步有效缩小根所在的区间;
③共同探讨各种方法,引导学生探寻出通过不断对分区间,有助于问题的解决;
④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程,加深学生对上述方法的理解;
⑤引发学生思考在有效缩小根所在区间时,到什么时候才能达到所要求的精确度.
学生简述上述求方程近似解的过程.
解:
原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用计算器或计算机做出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表与图象(3-1-2-2).
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)
-6
-2
3
10
21
40
75
142
273
图3-1-2-2
观察图表可知f
(1)·f
(2)<0,说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.
因为f
(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点x=1.25,用计算器算得f(1.25)≈-0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)<0,
所以x0∈(1.25,1.5).
同理,可得,x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.4375).
由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,
所以,原方程的近似解可取为1.4375.
例2利用计算器,求方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确度0.1).
活动:
教师帮助学生分析:
画出函数f(x)=x2-2x-1的图象,如图3-1-2-3所示.从图象上可以发现,方程x2-2x-1=0的一个根x1在区间(2,3)内,另一个根x2在区间(-1,0)内.
根据图象,我们发现f
(2)=-1<0,f(3)=2>0,这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次,即方程f(x)=0在区间(2,3)上有唯一解.
图3-1-2-3
计算得f()=>0,发现x1∈(2,2.5)(如图3-1-2-3),这样可以进一步缩小x1所在的区间.
解:
设f(x)=x2-2x-1,先画出函数图象的简图,如图3-1-2-3.
因为f
(2)=-1<0,f(3)=2>0,
所以在区间(2,3)内,方程x2-2x-1=0有一解,记为x1.
取2与3的平均数2.5,因为f(2.5)=0.25>0,
所以2 再取2与2.5的平均数2.25,因为f(2.25)=-0.4375<0, 所以2.25 如此继续下去,得f (2)<0,f(3)>0x1∈(2,3), f (2)<0,f(2.5)>0x1∈(2,2.5), f(2.25)<0,f(2.5)>0x1∈(2.25,2.5), f(2.375)<0,f(2.5)>0x1∈(2.375,2.5), f(2.375)<0,f(2.4375)>0x1∈(2.375,2.4375). 因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4,所以此方程的近似解为x1≈2.4. 点评: 利用同样的方法,还可以求出方程的另一个近似解. 思路2 例1利用计算器,求方程lgx=3-x的近似解(精确度0.1). 活动: 学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示并及时评价学生. 分别画出y=lgx和y=3-x的图象,如图3124所示.在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此,这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解.由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现,方程lgx=3-x有唯一解,记为x1,并且这个解在区间(2,3)内. 图3-1-2-4 解: 设f(x)=lgx+x-3,设x1为函数的零点即方程lgx=3-x的解. 用计算器计算,得 f (2)<0,f(3)>0x1∈(2,3), f(2.5)<0,f(3)>0x1∈(2.5,3), f(2.5)<0,f(2.75)>0x1∈(2.5,2.75), f(2.5)<0,f(2.625)>0x1∈(2.5,2.625), f(2.5625)<0,f(2.625)>0x1∈(2.5625,2.625). 因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的近似解为x1≈2.6. 例2求方程lnx-2x+3=0在区间[1,2]内的根(精确度0.1). 解: 设f(x)=lnx-2x+3,则原方程的根为函数f(x)的零点. 设x1为函数的零点即方程lnx-2x+3=0的解. 如图3-1-2-5,因为f (1)=1,f (2)=-0.306852819, 所以f (1)f (2)<0,即函数f(x)在[1,2]内有一个零点.根据二分法,用计算器得出以下表格: x y 1 1 2 -0.306852819 3 -1
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