山西省重点中学协作体学年高三第二次适应性考试数学试题 Word版含答案.docx
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山西省重点中学协作体学年高三第二次适应性考试数学试题Word版含答案
2017-2018学年山西重点中学协作体高三适应性考试
(二)
数学试卷(文理通用)
第I卷(选择题60分)
一、选择题:
共12题每题5分共60分
1.若tanθ+=4,则sin2θ=
A.
B.
C.
D.
2.“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知a为常数,函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2(x1 A.f(x1)>0,f(x2)>- B.f(x1)<0,f(x2)<- C.f(x1)>0,f(x2)<- D.f(x1)<0,f(x2)>- 4.某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是 A. B. C. D. 5.点O是△ABC所在平面上的一点,且满足···,则点O是△ABC的 A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心 6.下列在曲线,为参数)上的点是 A. B. C. D. 7.甲、乙两人各抛掷一次骰子(它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6),设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x,y则满足复数x+yi的实部大于虚部的概率是 A. B. C. D. 8.已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上,且PA,PB,PC两两互相垂直,则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为 A.18 B.24 C.18 D.24 9.? 过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是A. B. C. D. 10.复数z=+(a∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.一射手对同一目标独立地射击四次,已知至少命中一次的概率为,则此射手每次射击命中的概率为 A. B. C. D. 12.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(,-1),n=(cosA,sinA).若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小分别为 A., B., C., D., 第II卷(非选择题) 评卷人 得分 二、填空题: 共4题每题5分共20分(每题5分,20分) 13.若圆x2+y2=r2和圆(x-2)2+(y-2)2=R2相交,其中的一个交点的坐标为(1,3),则另一个交点的坐标为 . 14.如图所示,已知A,B,C,D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α(=F,BD∩α=H,BC∩α=G,则四边形EFHG的形状是____. 15.定义运算“□”: a□b=.设F(x)=f(x)□g(x),若f(x)=sinx,g(x)=cosx,x∈R,则F(x)的值域为 . 16.已知在数列{an}中,a1=1,且对于任意正整数n,都有an+1=an+n,则a100= . 三、解答题: 共8题共70分 请考生在第17、18、19三题中任选一道做答,注意: 只能做所选定的题目。 如果多做,则按所做的第一个题目计分。 17.(本题10分)已知在直角坐标系中,圆的参数方程为为参数). (Ⅰ)以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆的极坐标方程; (Ⅱ)已知,圆上任意一点,求面积的最大值. 18.(本题10分)已知直线l经过点 ,倾斜角 ,圆C的极坐标方程为 (Ⅰ)写出直线l的参数方程,并把圆C的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设l与圆C相交于两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积. 19.(本题10分)选修4-4: 坐标系与参数方程 已知直线l经过点P(,1),倾斜角α=,圆C的极坐标方程为ρ=cos(θ-). (1)写出直线l的参数方程,并把圆C的方程化为直角坐标方程; (2)设l与圆C相交于A、B两点,求点P到A、B两点的距离之积. 20.(本题12分)在平面直角坐标系中,已知A(cosx,1),B(1,-sinx),xR, (I)求|AB|的最小值; (Ⅱ)设,将函数f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的对称中心. 21.(本题12分)如图,在正方体中,、分别为,中点. (1)求异面直线与所成角的大小; (2)求证: 平面. 22.(本题12分)如图,从山脚下P处经过山腰N到山顶M拉一条电缆,其中PN的长为a米,NM的边长为2a米,在P处测得M,N的仰角为45°,30°,在N处测得M的仰角为30°. (1)求此山的高度; (2)试求平面PMN与水平面所成角的余弦值. 23.(本题12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位: cm)获得身高数据如下: 甲班: 158 168 162 168 163 170 182 179 171 179 乙班: 159 168 162 170 165 173 176 181 178 179 (1)完成数据的茎叶图(以百位十位为茎,以个位为叶),并求甲班样本数据的中位数、众数; (2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率。 24.(本题12分)湖南省某市市政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分),形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边),已知AB=2km,BC=6km,AE=BF=4km,其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一段曲线段. (1)若QP=x,阴影部分的面积为S,用x表示S的解析式; (2)试求该高科技工业园区的最大面积. 参考答案 1.D 【解析】因为tanθ++=4,所以sin2θ=. 【备注】无 2.C 【解析】本题考查二次函数图象性质以及图象变换,意在考查转化与化归思想.根据二次函数的图象可知f(x)在(0,+∞)内单调递增等价于f(x)=0在区间(0,+∞)内无实根,本题不难求解. f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)内单调递增等价于f(x)=0在区间(0,+∞)内无实根,即a=0或<0,也就是a≤0,故“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)内单调递增”的充要条件,故选C. 【备注】把函数f(x)在x轴下方的图象对折到x轴上方,在x轴上方的图象不变就可以得到函数|f(x)|的图象. 3.D 【解析】本题主要考查函数与导数的基础知识与基本运算,意在考查考生分析问题、处理问题的能力. ∵f(x)=x(lnx-ax),∴f'(x)=lnx-2ax+1.又函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2, ∴f'(x)=lnx-2ax+1有两个零点x1,x2,即函数g(x)=lnx与函数h(x)=2ax-1有两个交点.∴a>0,且0 设经过点(0,-1)的曲线g(x)=lnx的切线与曲线g(x)=lnx相切于点(x0,lnx0),则切线方程为y-lnx0=(x-x0),将点(0,-1)代入,得x0=1,故切点为(1,0).此时,切线的斜率k=1,∴要使函数g(x)=lnx与函数h(x)=2ax-1的图象有两个交点,结合图象可知,0<2a<1,即0 由函数的单调性得: ∴f(x1)<0,f(x2)>f (1)=-a>-.故选D. 求解本题时,考生要学会灵活转化,利用函数的单调性及数形结合的数学思想解题. 【备注】无 4.C 【解析】本题主要考查空间几何体的三视图和体积的计算,高考中,对于三视图和体积的考查通常是给出三视图求几何体的体积,本题则考查逆向思维,由体积来确定几何体的三视图.由几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,可以确定此几何体一定是柱体,而且柱体的高为1,从而求得底面积,进而可以判断出形状. 由几何体的正视图和侧视图可知,该几何体是柱体,所以其体积V=S底h=S底×1=,所以底面面积为S底=,故可以排除A、B、D.所以选C. 【备注】无 5.B 【解析】∵··,∴·(-)=0, 即·=0,∴⊥. 同理可得⊥,⊥,∴O是△ABC的垂心. 【备注】无 6.B 【解析】化为普通方程: 当时,. 【备注】无 7.B 【解析】无 【备注】无 8.A 【解析】本题主要考查补形问题,考查基本不等式的应用. ∵PA,PB,PC两两互相垂直,∴可以利用补形方法将三棱锥补成一个以PA,PB,PC为邻边的长方体,则此长方体为球内接长方体,设PA=x,PB=y,PC=z,则x2+y2+z2=36.∴三棱锥的侧面积S=xy+yz+xz≤(x2+y2+z2)=18,故三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为18. 【备注】无 9.C 【解析】本题主要考查双曲线的有关几何意义,即双曲线的渐近线,离心率,顶点等.同时,又考查了考生利用解方程求解两条直线的交点,以及向量的坐标表示等问题. 双曲线的两条渐近线为y=±x,又过顶点A的直线方程为y=-x+a,分别联立方程,求得B,C两点的横坐标分别为: xB=,xC=(a≠b),由=得,xB-a=(xC-xB),即-a=(-)⇒b=2a,∴c==a,∴双曲线的离心率为e==,故选C. 【备注】无 10.C 【解析】由题意得z==+i,对应的点为(,),设x=,y=,消去a得x+y=1,所以复数z对应的点在直线x+y=1上,故复数z对应的点不可能位于第三象限. 【备注】无 11.B 【解析】设此射手击四次命中次数为, ∴,依题意可知,, ∴, ∴. 【备注】无 12.C
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