广西各市中考数学分类解析 专题11 圆.docx
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广西各市中考数学分类解析专题11圆
广西各市2012年中考数学试题分类解析汇编
专题11:
圆
1、选择题
1.(2012广西北海3分)已知两圆的半径分别是3和4,圆心距的长为1,则两圆的位置关系为:
【】
A.外离B.相交C.内切D.外切
【答案】C。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定:
外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。
因此,
∵两圆半径之差为1,等于圆心距,∴两圆的位置关系为内切。
故选C。
2.(2012广西贵港3分)如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B是切点,点C是劣弧AB上的一个动点,
若∠P=40°,则∠ACB的度数是【 】
A.80°B.110°C.120°D.140°
【答案】B。
【考点】切线的性质,多边形内角和定理,圆周角定理。
【分析】如图,连接OA,OB,在优弧AB上任取一点D(不与A、B重合),连接BD,AD。
∵PA、PB是⊙O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP。
∴∠OAP=∠OBP=90°,又∠P=40°,
∴∠AOB=360°-(∠OAP+∠OBP+∠P)=140°。
∵圆周角∠ADB与圆心角∠AOB都对弧AB,
∴∠ADB=
∠AOB=70°。
又∵四边形ACBD为圆内接四边形,∴∠ADB+∠ACB=180°。
∴∠ACB=110°。
故选B。
3.(2012广西桂林3分)已知两圆半径为5cm和3cm,圆心距为3cm,则两圆的位置关系是【】
A.相交B.内含C.内切D.外切
【答案】A。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定:
外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。
因此,
∵两圆半径之差2cm<圆心距3cm<两圆半径之和8cm,∴两圆的位置关系是相交。
故选A。
4.(2012广西河池3分)如图,已知AB为⊙O的直径,∠CAB=300,则∠D的度数为【】
A.
B.
C.
D.
【答案】C。
【考点】圆周角定理,三角形内角和定理。
【分析】∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°。
∵∠CAB=30°,∴∠B=90°-∠CAB=60°。
∴∠D=∠B=60°。
故选C。
5.(2012广西来宾3分)如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB,点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是【】
A.30°B.45°C.60°D.90°
【答案】A。
【考点】动点问题,切线的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】如图,当点P运动到点P′,即AP′与⊙O相切时,∠OAP最大。
连接OP′,则AP′⊥OP′,即△AOP′是直角三角形。
∵OB=AB,OB=OP′,∴OA=2OP′。
∴
。
∴∠OAP′=300,即∠OAP的最大值是=300。
故选A。
6.(2012广西柳州3分)定圆O的半径是4cm,动圆P的半径是2cm,动圆在直线l上移动,当两圆相切
时,OP的值是【】
A.2cm或6cm B.2cm C.4cm D.6cm
【答案】A。
【考点】相切两圆的性质。
【分析】设定圆O的半径为R=4cm,动圆P的半径为r=2cm,分两种情况考虑:
当两圆外切时,圆心距OP=R+r=4+2=6cm;当两圆内切时,圆心距OP=R-r=4-2=2cm。
∴OP的值为2cm或6cm。
故选A。
7.(2012广西南宁3分)如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=8,O为BC的中点,以O为圆心作半圆,使它与AB,AC都相切,切点分别为D,E,则⊙O的半径为【】
A.8 B.6 C.5 D.4
【答案】D。
【考点】切线的性质,等腰直角三角形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】连接OA,OD,
∵AB,AC都与⊙O相切,∴∠BAO=∠CAO,OD⊥AB。
∵在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=8,
∴AO⊥BC,∴∠B=∠BAO=45°。
∴在Rt△OBA中,OB=AB•cos∠B=8×
。
∴在Rt△OBD中,OD=OB•sin∠B=
。
故选D。
8.(2012广西玉林、防城港3分)如图,Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB,BC分别相切与点D、E,过劣弧DE(不包括端点D,E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB,BC分别交于点M,N,若⊙O的半径为r,则Rt△MBN的周长为【】
A.rB.
rC.2rD.
r
【答案】C。
【考点】三角形的内切圆与内心;正方形的判定,切线长定理
【分析】连接OD、OE,
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆,∴OD⊥AB,OE⊥BC。
∵∠ABC=90°,∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°。
∴四边形ODBE是矩形。
∵OD=OE,∴矩形ODBE是正方形。
∴BD=BE=OD=OE=r。
∵⊙O切AB于D,切BC于E,切MN于P,
∴MP=DM,NP=NE。
∴Rt△MBN的周长为:
MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=r+r=2r。
故选C。
二、填空题
1.(2012广西贵港2分)如图,在△ABC中,∠A=50°,BC=6,以BC为直径的半圆O与AB、AC
分别交于点D、E,则图中阴影部分的面积之和等于 ▲ (结果保留π)。
【答案】
。
【考点】扇形面积的计算,三角形内角和定理,等腰三角形的性质。
【分析】∵∠A=50°,∴∠B+∠C=180°-∠A=130°。
而OB=OD,OC=OE,∴∠B=∠ODB,∠C=∠OEC。
∴∠BOD=180°-2∠B,∠COE=180°-2∠C。
∴∠BOD+∠COE=360°-2(∠B+∠C)=360°-2×130°=100°。
而OB=
BC=3,∴S阴影部分=
。
2.(2012广西河池3分)如图,AB、AC是⊙O的弦,OE⊥AB、OF⊥AC,垂足分别为E、F.如果EF=3.5,
那么BC=▲.
【答案】7。
【考点】垂径定理,三角形中位线定理。
【分析】由OE垂直于AB,利用垂径定理得到E为AB的中点,同理得到F为AC的中点,可得出EF为三角形ABC的中位线,利用三角形的中位线定理得到BC=2EF,即可求出BC的长:
∵OE⊥AB,OF⊥AC,∴E为AB的中点,F为AC的中点,即EF为△ABC的中位线。
∴EF=
BC。
又∵EF=3.5,∴BC=2EF=7。
3.(2012广西南宁3分)如图,点B,A,C,D在⊙O上,OA⊥BC,∠AOB=50°,则∠ADC=▲0.
【答案】25。
【考点】圆周角定理,垂径定理。
【分析】∵OA⊥BC,∴
,∴∠ADC=
∠AOB=
×50°=250。
三、解答题
1.(2012广西北海10分)如图,AB是O的直径,AE交O于点E,且与O的切线CD互相垂直,垂足
为D。
(1)求证:
∠EAC=∠CAB;
(2)若CD=4,AD=8:
①求O的半径;
②求tan∠BAE的值。
【答案】
(1)证明:
连接OC。
∵CD是⊙O的切线,∴CD⊥OC。
又∵CD⊥AE,∴OC∥AE。
∴∠1=∠3。
∵OC=OA,∴∠2=∠3。
∴∠1=∠2,即∠EAC=∠CAB。
(2)解:
①连接BC。
∵AB是⊙O的直径,CD⊥AE于点D,
∴∠ACB=∠ADC=90°。
∵∠1=∠2,∴△ACD∽△ABC。
∴
。
∵AC2=AD2+CD2=42+82=80,
∴AB=
=10。
∴⊙O的半径为10÷2=5。
②连接CF与BF。
∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形,
∴∠ABC+∠AFC=180°。
∵∠DFC+∠AFC=180°,∴∠DFC=∠ABC。
∵∠2+∠ABC=90°,∠DFC+∠DCF=90°,
∴∠2=∠DCF。
∵∠1=∠2,∴∠1=∠DCF。
∵∠CDF=∠CDF,∴△DCF∽△DAC。
∴
。
∴DF=
=2。
∴AF=AD-DF=8-2=6。
∵AB是⊙O的直径,∴∠BFA=90°。
∴BF=
=8。
∴tan∠BAD=
。
【考点】切线的性质,平行的判定和性质,等腰三角形的性质,圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。
【分析】
(1)连接OC,由CD是⊙O的切线,CD⊥OC,又由CD⊥AE,即可判定OC∥AE,根据平行线的性质与等腰三角形的性质,即可证得∠EAC=∠CAB。
(2)①连接BC,易证得△ACD∽△ABC,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得AB的长,
从而可得⊙O的半径长。
②连接CF与BF.由四边形ABCF是⊙O的内接四边形,易证得△DCF∽△DAC,然后根据
相似三角形的对应边成比例,求得AF的长,又由AB是⊙O的直径,即可得∠BFA是直角,利用勾股定理求得BF的长,即可求得tan∠BAE的值。
2.(2012广西贵港11分)如图,Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,且
∠ACB=90°,AB=5,BC=3。
点P在射线AC上运动,过点P作PH⊥AB,垂足为H。
(1)直接写出线段AC、AD以及⊙O半径的长;
(2)设PH=x,PC=y,求y关于x的函数关系式;
(3)当PH与⊙O相切时,求相应的y值。
【答案】解:
(1)AC=4;AD=3,⊙O半径的长为1。
(2)在Rt△ABC中,AB=5,AC=4,则BC=3。
∵∠C=90°,PH⊥AB,∴∠C=∠PHA=90°。
∵∠A=∠A,∴△AHP∽△ACB。
∴
,即
。
∴
,即y与x的函数关系式是
。
(3)如图,P′H′与⊙O相切于点M,连接OD,OE,OF,OM。
∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°,OM=OD,
∴四边形OMH′D是正方形。
∴MH′=OM=1。
∵CE、CF是⊙O的切线,∠ACB=90°,
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°,CF=CE。
∴四边形CEOF是正方形,CF=OF=1。
∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C,即x=y。
又由
(2)知,
,∴
,解得
。
【考点】圆的综合题,圆的切线性质,勾股定理,正方形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】
(1)连接AO、DO,EO,FO,设⊙O的半径为r,
在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=
,
∴⊙O的半径r=
(AC+BC-AB)=
(4+3-5)=1。
∵CE、CF是⊙O的切线,∠ACB=90°,
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°,CF=CE。
∴四边形CEOF是正方形。
∴CF=OF=1。
又∵AD、AF是⊙O的切线,∴AF=AD。
∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3,即AD=3。
(2)通过相似三角形△AHP∽△ACB的对应边成比例知,
,将“PH=x,PC=y”代入求出即可求得y关于x的函数关系式。
(3)根据圆的切线定理证得四边形OMH′D、四边形CFOE为正方形;然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C,即x=y;最后将其代入
(2)中的函数关系式即可求得y值。
3.(2012广西桂林10分)如图,等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,⊙O1经过⊙O2的圆心,顺次连接
A、O1、B、O2.
(1)求证:
四边形AO1BO2是菱形;
(2)过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E,连接CO2交AE于D,求证:
CE=2O2D;
(3)在
(2)的条件下,若△AO2D的面积为1,求△BO2D的面积.
【答案】解:
(1)证明:
∵⊙O1与⊙O2是等圆,∴AO1=O1B=BO2=O2A。
∴四边形AO1BO2是菱形。
(2)证明:
∵四边形AO1BO2是菱形,∴∠O1AB=∠O2AB。
∵CE是⊙O1的切线,AC是⊙O1的直径,∴∠ACE=∠AO2C=90°。
∴△ACE∽△AO2D。
∴
,即CE=2DO2。
(3)∵四边形AO1BO2是菱形,∴AC∥BO2。
∴△ACD∽△BO2D。
∴
。
∴AD=2BD。
∵
S,∴
。
【考点】相交两圆的性质,菱形的判定和性质,圆周角定理,相似三角形的判定和性质。
【分析】
(1)根据⊙O1与⊙O2是等圆,可得AO1=O1B=BO2=O2A,利用四条边都相等的四边形是菱形可判定出结论。
(2)根据已知得出△ACE∽△AO2D,从而得出
,即可得出结论。
(3)首先证明△ACD∽△BO2D,得出
,AD=2BD,再利用等高不等底的三角形面积关系得出答案即可。
4.(2012广西河池8分)如图,已知AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且DE⊥AC于点E.
(1)试判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若∠C=300,CE=6,求⊙O的半径.
【答案】解:
(1)DE是⊙O的切线。
证明如下:
连接OD。
∵D是BC的中点,O是AB的中点,∴OD∥AC。
∴∠CED=∠ODE。
∵DE⊥AC,∴∠CED=∠ODE=90°。
∴OD⊥DE。
∵OD是圆的半径,∴DE是⊙O的切线。
(2)连接AD。
∵AB为直径,∴∠BDA=90°。
∵DE⊥AC,∴∠CED=90°。
在Rt△CED中,∠C=300,CE=6,
∴cos∠C=
,即cos30°=
,解得CD=
。
∵点D为BC的中点,∴BD=CD=
。
∴AC=AB。
∴∠B=∠C=30°。
在Rt△ABD中.cos∠B=
,即cos30°=
,解得AB=8。
∴⊙O的半径为4。
【考点】三角形中位线定理,平行线的性质,切线的判定,等腰三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】
(1)连接OD,只要证明OD⊥DE即可.此题可运用三角形的中位线定理证OD∥AC,因为DE⊥AC,所以OD⊥DE。
(2)在Rt△CED和Rt△AB中应用三角函数的定义即可求出AB,从而求得圆的半径。
5.(2012广西来宾10分)如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E.
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
(2)如图AD=5,AE=4,求⊙O的直径.
【考点】等腰三角形的性质,平行的判定和性质,切线的判定,圆周角定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】
(1)连接OD,由AD为角平分线,得到一对角相等,再由OA=OD,得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,根据内错角相等两直线平行可得AC∥OD,由两直线平行同旁内角互补,得到∠E与∠EDO互补,再由∠E为直角,可得∠EDO为直角,即DE为圆O的切线。
(2)连接BD,由AB为⊙O的直径,根据直径所对的圆周角为直角的性质,得到∠ADB=90°。
在Rt△AED中,由AE和AD的长,根据锐角三角函数定义求出cos∠EAD
。
又在Rt△ABD中,根据锐角三角函数定义得到
,即可求出直径AB的长。
6.(2012广西柳州10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦.
(1)请你按下面步骤画图(画图或作辅助线时先使用铅笔画出,确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑);
第一步,过点A作∠BAC的角平分线,交⊙O于点D;
第二步,过点D作AC的垂线,交AC的延长线于点E.
第三步,连接BD.
(2)求证:
AD2=AE•AB;
(3)连接EO,交AD于点F,若5AC=3AB,求
的值.
【答案】解:
(1)如图;
(2)证明:
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°。
又∵DE⊥AC,∴∠AED=90°。
∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠DAB。
∴Rt△ADE∽Rt△ABD。
∴AD:
AB=AE:
AD,∴AD2=AE•AB。
(3)如图,连接OD、BC,它们交于点G,
∵5AC=3AB,即AC:
AB=3:
5,∴不妨设AC=3x,AB=5x,
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°。
∴∠ECG=90°。
又∵∠CAD=∠DAB,∴
。
∴OD垂直平分BC。
∴OD∥AE,OG=
AC=
x。
∴四边形ECGD为矩形。
∴CE=DG=OD-OG=
x-
x=x。
∴AE=AC+CE=3x+x=4x。
∵AE∥OD,∴△AEF∽△DOF。
∴AE:
OD=EF:
OF,∴EF:
OF=4x:
x=8:
5。
∴
。
【考点】圆的综合题,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,垂径定理,矩形的判定和性质。
【分析】
(1)根据基本作图作出∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D;点D作AC的垂线,垂足为点E。
(2)根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°,DE⊥AC,则∠AED=90°,又由AD平分∠CAB
得到∠CAD=∠DAB,根据相似三角形的判定得到Rt△ADE∽Rt△ABD,根据相似的性质得到AD:
AB=AE:
AD,利用比例的性质即可得到AD2=AE•AB。
(3)连接OD、BC,它们交于点G,由5AC=3AB,则不妨设AC=3x,AB=5x,根据直径所对的
圆周角为直角得到∠ACB=90°,由∠CAD=∠DAB得到
,根据垂径定理的推论得到OD垂直平分BC,则有OD∥AE,OG=
AC=
x,并且得到四边形ECGD为矩形,则可求出CE,从而计算出AE,利用AE∥OD可得到△AEF∽△DOF,则AE:
OD=EF:
OF,即EF:
OF=4x:
x=8:
5,然后根据比例的性质即可得到
的值。
7.(2012广西钦州10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF经过点C,AD⊥EF于点D,∠DAC=∠BAC.
(1)求证:
EF是⊙O的切线;
(2)求证:
AC2=AD•AB;
(3)若⊙O的半径为2,∠ACD=30°,求图中阴影部分的面积.
【答案】解:
(1)证明:
连接OC,
∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA。
∵∠DAC=∠BAC,∴∠OCA=∠DAC。
∴OC∥AD。
∵AD⊥EF,∴OC⊥EF。
∵OC为半径,∴EF是⊙O的切线。
(2)证明:
∵AB为⊙O直径,AD⊥EF,
∴∠BCA=∠ADC=90°。
∵∠DAC=∠BAC,∴△ACB∽△ADC。
∴
。
∴AC2=AD•AB。
(3)∵∠ACD=30°,∠OCD=90°,∴∠OCA=60°.
∵OC=OA,∴△OAC是等边三角形。
∴AC=OA=OC=2,∠AOC=60°。
∵在Rt△ACD中,AD=
AC=1。
由勾股定理得:
DC=
,
∴阴影部分的面积是S=S梯形OCDA﹣S扇形OCA=
×(2+1)×
﹣
。
【考点】圆的综合题,等腰(边)三角形的判定和性质,平行的判定和性质,切线的判定,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,解直角三角形,扇形面积。
【分析】
(1)连接OC,根据OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC,推出OC∥AD,得出OC⊥EF,根据切线的判定推出即可。
(2)证△ADC∽△ACB,得出比例式,即可推出答案。
(3)求出等边三角形OAC,求出AC、∠AOC,在Rt△ACD中,求出AD、CD,求出梯形OCDA和扇形OCA的面积,相减即可得出答案。
8.(2012广西玉林、防城港8分)如图,已知点O为Rt△ABC斜边上一点,以点O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点E,与AC相交于点D,连接AE.
(1)求证:
AE平分∠CAB;
(2)探求图中∠1与∠C的数量关系,并求当AE=EC时tanC的值.
【答案】解:
(1)证明:
连接OE,
∵⊙O与BC相切于点E,∴OE⊥BC。
∵AB⊥BC,∴AB∥OE。
∴∠BAE=∠AEO。
∵OA=OE,∴∠1=∠AEO。
∴∠1=∠BAE,即AE平分∠CAB。
(2)2∠1+∠C=90°,tanC=
。
理由如下:
∵∠EOC是△AOE的外角,∴∠1+∠AEO=∠EOC。
∵∠1=∠AEO,∠OEC=90°,∴2∠1+∠C=90°。
当AE=CE时,∠1=∠C。
∵2∠1+∠C=90°,∴3∠C=90°,∠C=30°。
∴tanC=tan30°=
。
【考点】切线的性质,平行的判定和性质,三角形内角和定理与外角性质,特殊角的三角函数值。
【分析】
(1)连接OE,则OE⊥BC,由于AB⊥BC,故可得出AB∥OE,进而可得出∠BAE=∠AEO,由于OA=OE,故∠1=∠AEO,进而可得出∠1=∠BAE。
(2)由三角形外角的性质可知∠1+∠AEO=∠EOC,从而得到2∠1+∠C=90°;当AE=CE时,∠1=∠C,再根据2∠1+∠C=90°即可得出∠C的度数,由特殊角的三角函数值得出tanC。
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