福建省福州市届高三第三次质量检测线下二模数学理.docx
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福建省福州市届高三第三次质量检测线下二模数学理
秘密★启用前
2020届福州市高中毕业班第三次质量检查
数学(理科)试题
本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分.第I卷1至3页,第n卷
4至6页.满分150分.
、选择题:
本大题共
12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.已知纯虚数z满足(1i)z2ai,则实数a等于(济的)
A.2
C.1
2.已知集合Axx2
AIeRB
A.
C.1,2
3.执行右面的程序框图,
A.1
C.3
B.1
D.2
x2<0,Bxylog2x
B.2,2
D.2,1
则输出的m
B.2
D.4
4.某种疾病的患病率为0.5%,已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%,则
患该种疾病且血检呈阳性的概率为
5.
函数fxexx22x的图象大致为
7.
已知角的终边在直线y3x上,
则用勺
1cos
.6
A.—
11
3
B.一
11
八3
C.一
11
D.
6
11
8.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版,由3行3列9个
单元格构成.玩该游戏时,需要将数字填入单元格,每个单元格填一个数字,有1,2,3这三个数字,则不同的填法有
A.12种B.24种
C.72种D.216种
1,2,3(各3个)全部
要求每一行、每一列均
蕖一刎第一列第一州
长度,得到函数gx的图象,则
22
一一xy
10.
已知椭圆C:
ft1(a>b>0)的焦距为2,右顶点为A.过原点与x轴不重合的ab
直线交C于M,N两点,线段AM的中点为B,若直线BN经过C的右焦点,则C的方程
②fx恰有2个零点;
③fx既有最大值,又有最小值;
第II卷
注意事项:
用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
uuuuuuuuuuuuuuruuuu
13.已知向量AB1,2,CB2,5,MNt,1.若AC//MN,则实数t.
14.正方体ABCDAB1C1D1中,P为BCi中点,Q为AD中点,则异面直线DP与C1Q所成角的余弦值为.
15.在4ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sin2AcosB1,则上的取值范ba
围为.
16.已知梯形ABCD满足AB//CD,BAD45,以A,D为焦点的双曲线经过B,C两
点.若CD7AB,则的离心率为.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第
17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求
作答.
(一)必考题:
共60分.
17.(本小题满分12分)
已知数列an和bn的前n项和分别为Sn,Tn,a12,b11,且an1a12Tn.
(1)若数列an为等差数列,求Sn;
18.(本小题满分12分)
BAD90,
如图,在多面体PABCD中,平面ABCD平面PAD,AD//BC,
PAD120,BC1,ABADPA2.
(1)求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值;
(2)若E是棱PB的中点,求证:
对于棱CD上任意点F,EF与PD都不平行.
19.(本小题满分12分)
已知抛物线C:
y24x,直线l:
xmy2(m>0)与C交于A,B两点,M为AB的中点,O为坐标原点.
(1)求直线OM斜率的最大值;
(2)若点P在直线x2上,且4PAB为等边三角形,求点P的坐标.
20.(本小题满分12分)
2
已知函数f(x)xax2lnx.
(1)求函数fx的单调区间;
(2)设函数fx有两个极值点Xi,X2(X1VX2),若fxi>mx2恒成立,求实数m的取值范围.
21.(本小题满分12分)
某省2021年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中,物理、历史这两
门科目采用原始分计分;思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分,将
每科考生的原始分从高到低划分为A,B,C,D,E共5个等级,各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%,并按给定的公式进行转换赋分.
该省组织了一次高一年级统一考试,并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原
始分进行了等级转换赋分.
(1)某校生物学科获得A等级的共有10名学生,其原始分及转换分如下表:
原始分
91
90
89
88
87
85
83
82
转换分
100
99
97
95
94
91
88
86
人数
1
1
2
1
2
1
1
1
现从这10名学生中随机抽取3人,设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X,
求X的分布列和数学期望;
(2)假设该省此次高一学生生物学科原始分Y服从正态分布N(75.8,36).若
2.Y
Y~N(,),令,则~N(0,1),请解决下列问题:
①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分,试估
计该划线分大约为多少分?
(结果保留为整数)
②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分,若这些学生的原始分相
互独立,记为被抽到的原始分不低于71分的学生人数,求P(k)取得最大值时k
的值.
附:
若~N(0,1),则P(,0.8)0.788,P(,1.04)0.85.
(二)选考题:
共10分.请考生在第22,23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做第
一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
x33kt,
在直角坐标系xOy中,直线11的参数方程为(t为参数),直线12的参数方
yt
x33m,
程为(m为参数).设11与12的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线Ci.
ykm
(1)求Ci的普通方程;22
(2)设Q为圆C2:
x2y43上任意一点,求PQ的最大值.
23.(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
已知a>0,b>0,a2b2c24.
(1)当c1时,求证:
aba3b3>9;
441
(2)求;;的最小值.
abc1
2020年福州市高中毕业班质量检测
数学(理科)参考答案及评分细则
、选择题:
本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,?
t分60分.
、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
17.【命题意图】本小题考查等差数列、等比数列等基础知识;考查运算求解能力、推理论证能力;考查化归转化思想;考查数学运算、逻辑推理等学科素养;体现基础性.满分
12分.
【解答】
(1)由an1a12Tn,得a2a12n,
又a2,b1,解得a24.1分
因为数列an为等差数列,所以该数列的公差为a2a12,2分
nn12
所以Sn2n2nn.4分
2
(2)当n>2时,ana12Tn1,
因为TnTn1bn,所以an1%2bn,即41泮2b-5分
同理可得:
bn1bn2an.6分
ab
anbn
又a2a12b4,b2b2a5,
所以a_bL4_53,
a1b13
则a1bn130bn),所以n1"3(n>2),7分
所以%1bn13(口n*),8分
anbn
所以数列anbn是以3为首项,3为公比的等比数列9分
因为ambn1(anbn),所以an1bn11(n>2),10分
anbn
pa2b245a11bn1*、
乂1,所以1(nN))11分
a1b121anbn
12分
所以数列anbn是以1为首项,1为公比的等比数歹U.
18.【命题意图】本小题考查直线与平面垂直的判定与性质,直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质,二面角等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力;考查化归与转化思想、函数与方程思想;考查直观想象、逻辑推理等核心素养,体现基础性、综合性.满分12分.
【解析】解法一:
(1)因为ABAD,平面ABCD平面PAD,平面ABCDI平面PADAD,AB平面ABCD,所以AB平面PAD.1分
作AHAD交PD于H,则AB,AD,AH三条直线两两垂直.以A为坐标原点O,分别以AH,AD,AB所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.2分
因为PAD120,BC1,ABADPA2.
所以A0,0,0,B0,0,2,C0,1,2,D0,2,0,P点,1,0,3分
uuruun_
设平面PBC的法向重为nx,y,z,因为BC0,1,0,BPJ3,1,2,
uuur
所以nUUC0,所以yL0,令x2,所以n2,0,73,4分
nBP0,.3xy2z0,
由z轴平面PAD知m0,0,1为平面PAD的一个法向量,5分
所以cosn,m
|nm[>/373
n|m717'
27..
所以PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为2U.7分
7
(2)因为E是棱PB的中点,由
(1)可得E—,-,1.
22
假设棱CD上存在点
43t,
2
所以53t这个方程组无解,11分
2,
120,
所以假设不成立,所以对于棱CD上任意一点F,EF与PD都不平行.12分
解法二:
(1)如图,在平面PAD内,过点P作DA的垂线,垂足为M;在平面ABCD
内,过M作AD的垂线,交CB的延长线于点N.连接PN.
3分
因为MNIPMM,所以AD平面PMN.1分
因为AD//BC,BC平面PBC,AD平面PBC,
所以ADII平面PBC,2分
设平面PBCI平面PADl,则AD//l,故l平面PMN.
所以/NPM为平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角.4分
因为PAD120,ABADPA2,所以MAP60,
在
MMNAB2,
所以sin/MPN
所以PBC与平面
PM2sin604.5分
所以在Rt^PMN中,PNJPM2~MN26分
MN22汨
PN77,
PAD所成二面角的正弦值为2&.7分
7
(2)假设棱CD上存在点F,使得EFPPD,显然F与点
D不同,8分
所以P,E,F,D四点共面,记该平面为,所以P,
PE,FD,9分
又BPE,CFD,所以B,C,所以就是点B,C,D确定的平面,10分
这与PABCD为四棱锥相矛盾,所以假设不成立,
所以对于棱CD上任意一点F,EF与PD都不平行12分
解法三:
(1)同解法一.7分
(2)假设棱CD上存在点F,使得EFPPD.8分
连接BD,取BD的中点M,
在△BPD中,因为E,M分别为BP,BD的中点,
所以EMPPD.
因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行,所以
EM与EF重合.
10分
又点F在线段CD上,所以FBDICD,又BDICDD,
而ED与PD相交,所以与EFPPD相矛盾,所以假设不成立,
12分
所以对于棱CD上任意一点F,EF与PD都不平行.
19.【命题意图】本题考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识;考查运算求解能力;考查数形结合思想、函数与方程思想;考查直观想象、数学运算等核心素养,体现基础性、综合性.满分12分.
【解析】解法一:
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
2
y4my
xmy2,、,一g
由2,消去x仔,
y4x
因为M为AB的中点
2m
T~2-
2m2
(当且仅当m。
,即mm
所以OM的斜率的最大值为
(2)由
(1)知,
AB1m2|y1y21
1m2(y1y2)24y1y2
1m216m232
4v1m2Jm22,
由PMAB得|PM|加(m)212m22
(2)|2(m22)V1m2,
因为△PAB为等边三角形,所以|PM|—|AB|,10分
所以2(m22),1m223.1m2m22,
所以Jm2273,所以m21,解得m1,
又m>0,所以m1,11分
则M(4,2),直线MP的方程为y2(x4),即yx6,
所以x2时,y8,
所以所求的点P的坐标为(2,8).12分
解法二:
(1)设A(x,y)B(X2,y2),M(xo,yo),
因为M为AB的中点,且直线l:
xmy2(m0),
所以2yoV1y2,m_x-x^,1分
y1y2
2,y14x1,22
由2得y1y24x14x2,
V24x2,
所以y1y22~x-x2-,所以2yo4m,即y02m.2分
y1y2
2mm1)11八
又因为mo,所以koM—2-2-、—j—,5分
2m2m1112
m-2.m
所以xomyo22m22,即M(2m22,2m),3分
m■1m
(当且仅当m2,即m1等号成立.)m
所以OM的斜率的最大值为-6分
2
⑵由x2my2、消去x得y24my80,y4x
所以16m232o,且y1y24m,y1y28.7分
,;22
ab|jxx2y1y2
my2my222%y?
2
1m2.(y1y2)24y1y2
1m216m232
4j~m2-ym2~2,8分
由
(1)知,AB的中点M的坐标为(2m22,2m),
所以线段AB的垂直平分线方程为:
y2mmx2m22.
令x2,得线段AB的垂直平分线与直线x2交点坐标为P2,2m36m,
c202cc
所以PM22m42m4m2(m2)J1m\9分
因为^PAB为等边三角形,所以|PM|—|AB|,10分
2
所以2(m22)^/1―才2用出m2而一2,
所以Jm22点,所以m21,解得m1.
因为m0,所以m1,11分
则M(4,2),直线MP的方程为y2(x4),即yx6,
所以x2时,y8,所以所求的点P的坐标为(2,8).12分
20.【命题意图】本题考查函数和导数及其应用、不等式等基础知识;考查抽象概括能
力、运算求解能力、推理论证能力与创新意识;考查函数与方程思想、分类与整合思想、化
归与转化、特殊与一般思想等思想;考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心
素养,体现综合性、应用性、创新性.满分12分.
2
【斛析】
(1)因为f(x)xax2lnx,
2x2ax2
所以f(x)x0.1分
x
令px2x2ax2,a216,
当W0即4WaW4时,p(x)>0,即f(x)>0,
所以函数fx单调递增区间为0,
若a4,则x1Vx2V0,所以px0,即f(x)0,所以函数fx单调递增区间
为0,.3分
若a4,则x2x1
0,由f(x)0,即px>0得0xx1,或xx2;由f(x)0,
即pxv0得x1xx2
所以函数fx的单调递增区间为0,X,x2,;单调递减区间为xnx2.…巧分
;当a4时,函数fx的单调
综上,当aw4时,函数fx单调递增区间为0,
递增区间为0,X1,X2,,单调递减区间为X1,X2.6分
2
(2)由
(1)得f(x)2x一ax■二x0,
x
若fX有两个极值点X1,x2,则&x2是方程2x2ax20的两个不等正实根,
由
(1)知a4.则x1x2a2,x1x21,故0x11x2,8分
2
fx1
要使fximx2恒成立,只需m恒成立.
*2
22c2
f(xi)xiaxi21nx1x〔2x〔221nx13八
因为一(-12-111-1三1x12x12x1lnx1,10分
x2x21
x1
令h(t)t32t2tlnt,则h(t)3t221nt,
当0t1时,ht<0,h(t)为减函数,所以h(t)h
(1)3.11分
由题意,要使fx1mx2恒成立,只需满足m<3.
所以实数m的取值范围,3.12分
21.【命题意图】本题主要考查超几何分布、二项分布、正态分布的概念等基础知识;考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识;考查概率与统计思想;考查数学建模、数据分析、数学运算等核心素养,体现基础性、综合性与应用性.
【解答】
(1)随机变量X的所有可能的取值为0,123,1分
根据条件得
P(X
0)
-0-3
C5c5
10
1
P(X
1)
-1-2
C5C5
50
5
-3
120
3
120
12
C10
12
C10
P(X
2)
21
C5C5
50
5
P(X
3)
30
C5C5
10
1
_3-
120
—,
-3-
120
12
C10
12
C10
3分
则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
12
5
12
5
12
1
12
15513
数学期望E(X)0-1—2-3--.4分
121212122
(2)①设该划线分为m,由Y~N(75.8,36)得75.8,6,
令Y——Y75.8贝uY675.8,5分
6
依题意,PY>m0.85,即P675,8>mP>m75,80.85,
因为当~N(0,1)时,P(,1.04)0.85,所以P(?
1.04)0.85,
所以m75.81.04,故m69.56,取m69.7分
6
②由①讨论及参考数据得
PY>71P675.8>71P>0.8P<0.80.788,
即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788,8分
故~B(800,0.788),P(k)C8000.788k(10.788)800k.9分
Pk>Pk1,
I
Pk>Pk1,
即C8000.788k(10.788)800k>C80;0.788k1(10.788)801k,
C8000788k(10.788)800k>C80010.788k1(10.788)799k,
解得630.188wk<631.188,又kN,所以k631,11分
所以当k63邛4P(k)取得最大值.12分
22.【命题意图】本题主要考查参数方程、曲线与方程等基础知识;考查运算求解能力、逻辑推理能力;考查数形结合思想、函数与方程思想;考查数学运算、直观想象等核心素养,体现基础性.满分10分.
【解答】解法一:
(1)消去参数t得11的普通方程为x33ky,1分
消去参数m得12的普通方程为kx33y.2分
x33ky.一
联立y,消去k得x3x39y2,4分
kx33y
2
所以C1的普通方程为—y21(x3).5分
9
(2)依题意,圆心C2的坐标为0,4,半径r73.6分
x3cos,
由
(1)可知,C1的参数方程为(为参数,且2k为kZ),…7分
ysin
设P3cos,sin(2k万kZ),则
2_2..2
PC23cossin4
_22__
91sinsin8sin162
8sin8sin25,8分
当sin;时,P02取得最大值8888253,3,9分
又|PQwPC2r,当且仅当P,Q,C2三点共线,且C2在线段PQ上时,等号成立.
3k21k212k
2^2,
k1
础性.
故原不等式成立.
aba
b2
解法二:
(1)消去参数t得11的普通方程为x33ky,1分
消去参数m得12的普通方程为kx33y.2分
x33ky,/曰
得
kx33y
3k21
25,7分
因为a2b2c215,
4
b2
10分
所以3:
1L的最小值为5.
7b2c21
解法二:
(1)依题意,当c1时,a2b23,且a>0,b>0,则
2一22
9a2b2
4422
ab2ab1分
333,3332,2
aaabbbababab2ab
a3b3ababab23分
所以aba3b3>9.5分 (2)同解法一.10分
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