利用换元法解方程组.docx
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利用换元法解方程组
第6讲利用换元法解方程
、方法技巧
(一)换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分,达到化简的目的
(二)运用换元法解方程,主要有三种类型:
分式方程、无理方程、整式(高次)方程
解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式(高次)方程逐步降次
(三)换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的,不同的方程就有不同的换元方
法,因此,这种方法灵活性大,技巧性强•恰当地换元,可将复杂方程化简,以便寻求解题的途径.
常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等.
2fx'fx)亠一X
例如:
①If+5丨+6=0,可使用局部换兀法,设=y
lx+1丿lx+1丿x+1
2111
②x2x0,变形后也可使用局部换元法,设xt
xxx
x2x1
x21
x2119一
-飞--1=一时,就可使用局部换兀法
x2x16
—44(x+3)+(x+1)
4个x+3)+(x+1)=82,可设y=/=x+2,方程变成
2
44
y1y-U^82,使方程变得易解,这是均值换元法.
432
56x5x-38x5x0,符合与中间项等距离的项的系数相等,
22222222x-3x2j亠ix-3x23x-2x-d|亠13x-2x-1=4x-5x1
观察发现x2-3x23x2-2x-1=4x2-5xT,故可设x2-3x,2=u,
2222
3x-2x「1二v,原方程变为uuvv=uv,方程由繁变简,可得解.
(四)本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧•拓宽学生知识面,培养学生学习和
研究数学的兴趣.
二、应用举例
类型一局部换元
(高次方程)
【例题1】解方程:
X4-3x2•2=0
【答案】X!
=1,x2--1,x3=-、2,x4---2
【解析】
试题分析:
42222
通过观察发现X二x,故设x二y,原方程变形为y-3y•2=0,可把高次方程
降次,转化为可解的一元二次方程•
试题解析:
解:
设x2二y,则原方程变形为y2-3y•2=0,
解得,y1=1,^2=2,
2
由y1=1得x=1,解得%=1,X2=-1,
由y2=2得x2=2,解得x3=2,X4二-■2,
方程的解是%=1,X2=T,x^2,X4=72
【难度】较易
(分式方程)
【例题2】解方程:
—•5上•6=0
lx+1丿lx+1丿
32
[答案】X<|=-一,X2=__
43
【解析】
试题分析:
括号里的分式相同,由这个特点,可以用换元法来解
试题解析:
解:
设一xy,于是原方程变形为y•5y•6=0
x+1
解得yi--3,y2_-2
x3
当y1~-3时,—3,解得x1=-一,
x十14
x2
当y2=-2时,—2,解得X?
=-一
x+13
32
经检验x1,x2均为原方程的根.
43
32
方程的解是x<|=-一,x2=-—
43
【难度】较易
2111
【例题3】已知实数x满足x—x0,那么x的值是()
xxx
【答案】-2
【解析】
试题分析:
1(11
由于x22=X2,故设xt,可解.
xxx
试题解析:
1
解:
设xt,
x
(1¥1
原方程化简得lx•—-2*・一=0,
IX丿x
•••t2-2t=0,
x
点评:
方程中并无“相同”的部分时,可通过代数式间的关系变形构造出“相同”部分,设元.
【难度】一般
(无理方程)
【例题4】解方程:
12
10
:
x2一5
19
【答案】X1二—,X?
=-一
44
【解析】
试题分析:
x+2这是一个根号里含有分式的无理方程,也可通过换元后求解,通过变形发现r-
xx
xj12110
与互为倒数,可设“1y,则原方程变形为y,无理方程化为有理方程
x2■xy3
试题解析:
2iio
解:
设“1•二yy>0,则原方程变形为y•
Vxy3
整理得3y2-10y-3=0
1
解得y^i=3,y2:
23
当y*i=3时,+-=3,解得Xr=丄
¥x4
⑴11219
当y时,、1,解得x:
3x34
19
经检验x1,x2都是原方程的根
44
19
原方程的解是Xt=—,x2--—
44
【难度】一般
【例题5】解方程厂—•■厂x-1=0
【答案】捲=1—,x2=17
22
【解析】
试题分析:
注意到原方程可变为.^x=1,可设两个未知数,利用韦达定理求解
试题解析:
解:
设•、x•1=m,3-x二n,
原方程变为m•n=1
222
又-mn=m•n2mn
3
•••1=42mn,即mn二——
2
3
n是方程z-z0的根
2
…z2舍去
1.7
解得x1=17,
2
【难度】一般
类型二均值换元
【答案】x1=0,x2=-4
【解析】
x3x1=x2
试题分析:
观察方程可知x•3-x•1[=2,适合使用均值法换元,故设y二可达到降次目的
试题解析:
解:
设y
44
原方程变为y•1]亠[y-182
整理得[(y+l2+(y_l,_2(y+1j(y_1)=82
4y21彳_2y2一1i;=82y46y2_40=0
22
解得y10(舍),y=4
即yi=2,yi=-2
由x•2=-2,得x2=-4
原方程的解为Xi=0,X2=-4
44
点评:
一般形如x•aj亠[xc的方程可用均值法,设y
进行代换,化原方程为双二次方程求解
【难度】较难
类型三倒数换元
【例题7】解方程:
432
6x5x-38x5x6=0
1
【答案】捲=1,
2
【解析】
试题分析:
1
X2=2,X3--3,沧:
3
本题的特点是:
按x降幕排列后,与中间项等距离的项的系数相等,如6x4与6,5x3与5x
1
系数相等,可构造x-换元.
x
试题解析:
解:
显然x=0不是方程的解,故用x2除方程两边,
上式变为6y2_25y_38=0,
整理得6y25y_50=0
510
解得y1,y2:
23
丄151
由x,解得x,x2=2
x22
1101
由x,解得x3--3,x4:
x33
2
x除各项,构造
点评:
形如ax4bx3cx2bx0的方程称为倒数方程,其特点是,按某一字母降幕
排列后,与中间项等距离的项的绝对值相等,其解法是,用方程变为一元二次方程得解
【难度】较难类型四常数换元
【例题8】解方程x32、「3x23x、3-1=0
【解析】
x看作已知数,把,3设
试题分析:
这是三次方程,且系数中含无理数,不易求解,若反过来看,把设为设t,则方程就变成关于t的一元二次方程•试题解析:
解:
设、.3=t
则原方程变形为x3■2x3■xt2亠t-1=0
即xt22x21tx3-1=0
xtx2•x1厂(tx_1:
[
x-1=0
解得X!
=1-3,X2=「_3M,X3
2
一1一.3一412
2
【难度】困难三、实战演练
类型一局部换元
(高次方程)
1.已知x2y21x2y23=8,则x2y2的值为()
【答案】1
【解析】
试题分析:
解题时把x2y2当成一个整体考虑,再求解就比较简单.
试题解析:
解:
设x2■y2=t,t-0,则
原方程变形为t1t3=8,
整理得t5t-1=0,
解得t^-5,t2=1,
•••t-0
t=1
22
.xy的值是1
【难度】较易
2.解方程:
x22x-3x2-6x=0
【答案】x1=0,x2=-2,x3=-3,x4-1
【解析】
试题分析:
222
观察可知,方程整理后x22x-3x22x=0,可用换元法降次
试题解析:
解:
方程整理后x2x2-3x22x;=0
设x2•2x=y,贝U
原方程变为y2-3y=0
解得y^=0,y2=3
2
由y
由y2-3,得x2x=3,解得x3--3,x4=1
原方程的解是X"i=0,x2--2,x3--3,x4=1
【难度】较易
2222
3.方程x-3-53-x*2=0,如果设x-3二y,那么原方程可变形为()
2222
A.y_5y2=0B.y5y-2=0C.y-5y-2=0D.y5y2=0【答案】D
【解析】
试题分析:
注意到x2-3与3-x2互为相反数,只有符号要变化,可利用换元法变形
试题解析:
22解:
设x—3=y,贝U3—x--y
用y表示x2-3后代入方程得y2•5y•2=0
故选D.
【难度】较易
222
4.解方程:
xG-x3
【答案】x1=1,x2=T
【解析】
设X21=y,得y2_y_2=0,
解得y1=2,y2=-1
2
由x-1=2,解得Xi=1,X2--1
由x2,1--1,x--2无实根
•••方程的解是捲=1,x2=-1
解法二:
由方程得x4亠x2-2=0,
设x2=y
得yy-2=0,
解得%=1,y2=-2(舍去)
2
由X=1,解得X1=1,x2二―1
•方程的解是X^1,x2=T
点评:
换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元对象•在解方程的
过程中换元的方法常常不是唯一的,解高次方程时,只要能达到将次目的的换元方法都可以
应用•
【难度】较易
(分式方程)
5.解方程
62
2XX1
X2X
【答案】
x^i--2,x2=1
【解析】
试题分析:
方程左边分式分母为X2X,可将右边X2X看成一个整体,然后用换元法解试题解析:
26
解:
设x•x=y,则原方程变形为y•1
y
解得%--3,y2=2
当y_!
=一3时,x•x=-3,△<0,此方程无实根当『2=2时,xx=2,解得Xi--2,X2=1经检验,x<|--2,x2=1都是原方程的根•
【难度】较易
6.解方程:
【答案】Xi--1-'、一2,X2--1…2
【解析】试题分析:
.22
整理后发现xx2=x2x,故xx2x1,就可换元解题了
试题解析:
22
解:
方程整理后变为x2x2,
(X+1)
/22
两边加1得X•1二21
(X+1)
2
设x1y,则
2,
原方程变为y—•1
y
整理得y2_y_2=0
解得力=2,y^-1(舍去)
由%=2得x■n=2,解得%=T-丫2,x^-V2
经检验x<|=T—匕2,x2=T2是原方程的解
•••方程的解是x1--1-丁2,x2--V2
【难度】较易
7.解方程
22
xx12xx219
+
X21
x2
【答案】
X3
-315
X4
-3-.5
【解析】
试题分析:
2x2+x+2
观察到
2
X2X1
X2
X2
=1
X21
设x2X1
X21
y,原方程可化
19
由繁变简,
可解•
试题解析:
解:
原方程变形得
x2x1
X21
X21
+
X2X1
19
即x2x1
x21
X21
13
X2X1
设x2X1
X2
1
=y,则原方程变为y•—
13
整理得
6y2_13y6=0
解得y1=
2
由y1
x2x1
X21
解得X1
—X2二1
由y2
X21
解得x3
-35
2,X4
经检验x1
-3.5
X3一2
X4
亠5都是原方程的解.
•••原方程的解是为=x2=1,X3
-35
X4
【难度】一般
8.解方程:
2x2•g_7x-•2=0xx
1
【答案】x<|=1■2,x2=1-\2,x3,x^=2
2
【解析】
试题分析:
观察可发现2x2-7x-2=2xx2-7x-丄2,而
x2xIX2丿IX丿
1[1'X1
X2•二lx2,故可设x为辅助元,可得解
xxx
试题解析:
解:
将原方程转化为2'x—1I+2"―7"x—11+2=0止X丿」IX丿
设x_1二y,贝y
x
原方程转化为2y2_7y•6=0
解得yr=2,y2=3
2
当%=2时,x-丄=2,解得x^V.2,x2=1—2
x
3131
当y2时,x,解得X3,X4=2
2x22
经检验x^V2,X2=1「話2,X3=-1,X4=2都是原方程的解
2
所以,原方程的解是x^V2,X2-2,X3—丄,X4=2
2
【难度】一般
2X3x2_2
9.解方程:
一3X2=2
3x-22x
【答案】X1J-,X2—-
33
【解析】
试题分析:
这个方程左边两个分式互为倒数关系,抓住这一特点,可设
2x
y一3x2-2
试题解析:
解:
设y二孕,则原方程可化为
3x2-2
2
•••(y—1)
注意分子、分母互换时分式可以用一个新元和它的倒数来表示,即
形如aLfx——•c=0的方程,可设y=fxf(x)
【难度】较易
10.解方程:
122
222
x2x-7x2x—2x2x—1
【答案】x
x2=-1-5
【解析】
试题分析:
观察方程的分母,发现各分母均是关于x的二次三项式,仅常数项不同,抓住这一特点,可
设y=x22x
试题解析:
解:
设y=x2,2x,原方程可化为
即y2-y-12=0,
解得:
y^i=4,y2一-3
由x22^4,解得捲一-1•'、5,X2一-1-、5
2
由x2^-3,△<0,方程无解
经检验x1--V,5,X2=—1-.5,都是原方程的解
•••方程的解是%:
「1•5,x2=—1--、5
【难度】较难
11.解方程:
2121210
x11x10x2x10x-13x10
【答案】X1=5,X?
=2,X3=-5,X4=-2
【解析】
试题分析:
观察方程的分母,发现三个分母都是关于X的二次三项式,仅一次项不同,抓住
这一特点,可设y=x2•2x•10
试题解析:
111
则原方程可化为—1•一10
y+9xyy_15x
整理得:
y2-4xy-45x2=0
解得:
y
2
由x2x1^9x,解得x^5,x2=2
2由x2x1^-5x,解得X3=-5,X4=-2
经检验知,它们都是原方程的解•
点评:
以上三个例子可以看出,换元时必须对原方程仔细观察、分析,抓住方程的特点,恰当换元,花繁为简,达到解方程的目的•
【难度】较难
(双元换元)
12.解方程:
13x—x2x13-x=42
X1.X1
【答案】X1=1,X2=6,x3=3,2,%=3-•2
【解析】
试题分析:
Z13x-x2'
+
"x2+13、
Ix+1丿 本题整理后 ‘13x-x2,x2+13 1x+1人x+1 、几13x-x 设a, x1 x上二b,可得a•b=13,ab=42,利用韦达定理可求解• 1 试题解析: 解得Zr=6,z2=7 (a=61a=7 即或 b=7b=6 I 即』x十1 x1 【难度】较难 22 13x-3x2x2-3x23x2—2x—13x2—2x—1=4x^5x1 【解析】 试题分析: 2 =uV,方程由繁变简,可得解 —5x1 观察发现x2-3x2-3x2-2x-1二4x2-5x•1,故可设x2-3x•2=u, 3x2-2x-1=v,原方程变为u2uvv2 试题解析: 解: •••x2-3x2]亠i3x2-2x-1=4x2 设x2-3x2二u,3x2-2x-1=v 原方程变为u2■uv■v2=uv2 •'u22uvv2=uv •••uv=0,即卩u=0或v=0 即x2_3x2=0或3x2-2x-仁0 1 解得x<|=1,X2=2,X3=1,X4: 3 1 •方程的解是捲=x3=1,x2=2,x4--- 3 点评: 对于本题这样繁冗的方程,直接展开求解不可取,可通过观察,找到代数式间的联系,不妨设两个辅助元,将方程变形,目的是使方程有繁变简,可解 【难度】较难 (无理方程) 14.解方程: x,x1=1 【答案】X--1 【解析】 试题分析: 解无理方程的基本思想是将其转化为有理方程,通常是设根式为元,本题的两根式存在 x1+^x2的关系,故设一个辅助元即可. 试题解析: 解: 设y=、xT,则x•1=y2,即x2=y21 原方程可化为y21y=1 变形为.y21=1_y 两边平方,并整理得y=0 由'、x*1=0,解得X=-1 经检验X=-1是原方程的解 点评: 解无理方程时,常把方程中的一个含有未知数的根式作为整体换元,达到化去根号转 化为可解的方程的目的• 【难度】一般 xy=18 15.解方程组: .x-3-y2〉3 【解析】 试题分析: 解题时应从无理方程出发,将其化为有理方程求 此题是整式方程与无理方程合并的方程组, 解• 试题解析: 解: 设..x-^3二uy•2二v,贝H 由 (2)得,u=3•V,(3) 2o 将(3)代入 (1),得(3+v)+v2=17, 解得,w=1,v2--4(y2不能为负) x=19 经检验,知是原方程组的解 ly=—1 •••原方程组的解为x=19 [y=—1 点评: 妙用换元法,将无理方程组化为有理方程组,从而把繁杂而生疏的问题转化为简单而 熟悉的问题. 【难度】一般 16.解方程: 2x2-6x-5.x2-3x-1-5=0 【答案】禺=5,x2=-2 【解析】 试题分析: 由于根号里面x2-3x与根号外面2x2-6x,对应系数成比例,故可以将其变形 2x2-3x-1-5、x2-3x-1-3=0,不难找到辅助元• 试题解析: 解: 设x2-3x-1二y,则原方程可以化为2y2-5y-3=0 1 解得%--一(舍去), 2 解得X|=5,X2=-2 经检验%=5,X2=-2是原方程的解. .现在的换元法必须构造出根 点评: 以前学过的取平方去根号法解无理方程,是种普遍方法号内外两个相同的式子才行• 【难度】较难 类型二均值换元 17.解方程: x-2x1x4X・7]=19 5.85-5-、85-5一5-5-一5 【答案】X! ,X2,X3,X4: 2222 【解析】 试题分析: 方程的左边是四个二项式乘积,故展开求解不可取,应通过观察找突破口,左边重组后,|^x-2x•7〕ix1x4=X•5x-14X25x4,可设元求解. 试题解析: 解: 原方程变形后〔X-2x・7? lix・1x•4「=19 整理后得x25x-14x25x4=19 (x2+5x—14)+(x2十5x十4)2 设yx25x-5 2 方程可变为y-9y,9]=19,即y2=100 解得y1-10,y2=T0 由力=10得x「5x-5=10,解得x1=—85,x2 2 点评: 本题也可设x25x为辅助元,但没有均值法计算快捷,恰当的重组变形得到 gx-2xW.x1x4是解本题的关键• 【难度】一般 2 18.解方程: 6x73x4x•1]=6 25 【答案】x1=: 「2,x2=「5 33 【解析】 试题分析: 方程左边四个二次项的乘积,显然展开求解不可取,可尝试变形后 2 6x7
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