【解】设儿:
输入的是“101”,生:
输入的是“010”,输出的是“000”,贝IJP(AJ=l/2,P(A2)=l/2,肉P{B\A2)=a~(y-ay从而由全概率公式得
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
=丄(1一0)匕+丄/(1一a)=-a(l-a).
222
4、试卷屮的一道选择题有4个答案可供选择,其屮只有1个答案是正确的.某考生如果会做这道题,则一定能选出正确答案;若该考生不会做这道题,则不妨随机选取一个答案.设该考生会做这道题的概率为0.85.
(1)求该考生选出此题正确答案的概率;
(2)已知该考生做对了此题,求该考生确实会做这道题的概率.
【解】设A表示“该考生会解这道墅,B表示“该考生选出正确答睾”,则P(A)=0.85,P(A)=0.2,P(B|A)=1,P(B|A)=0.25.
(1)由全概率公式得
P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B[A)
=0.85x1+0.2x0.25=0.9.
(2)由贝叶斯公式得
遡业2=鸣=口“.944.
1P(B)0.918
【第二章】随机变量及其分布
5、设连续随机变量X的分布函数为
F(兀)=A+Barctanx,一8v兀v・
(1)求系数A及B;
(2)求X落在区间(-1,1)内的概率;(3)求X的概率密度.【解】
(1)由分布函数的性质可知
F(-oo)=limF(x)=A+B・(--)=0,
XTp2
F(+oo)=limF(x)=A+B~=lf
XTW2
由此解得a=-9B=~.
271
(2)X的分布函数为
F(x)=+arctanx(一8271
于是所求概率为
P(-l(3)X的概率密度为
]
龙(1+兀2)
6、设随机变量X的概率密度为
0求:
(1)常数a;
(2)P(0.5【解】
(1)由概率密度的性质可知
c+°°p1a
jf(x)dx=J()axdx=—=1
由此得
(2)
1
P(O.5VXV1.5誌加+
3/20
Odx=x^i
1/2
+0=0.75.
(3)当兀vO吋,有当OSxv1时,有当x>l时,有所以,X的分布函数为
F(x)=JOdx+J()2xdx=x2;
f0f1f-t
F(x)=jQdx^2xdx-\rQdx=1.
0,x<0,
F(x)=<01,x>1.
7、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
A(1+xy\
0,
W
求:
(1)系数A;
(2)X的边缘概率密度fx(x):
(3)概率P(Y(1)由联合概率密度的性质可知
8r1N
/(x,y^dxdy=Jdx^〔A(1+xy)dy=4A=1,
由此得
A=丄.
4
(2)当一lvxv1时,有
fx(兀)=匚[¥dy=|:
当x<-\或xni时,显然有
所以X的边缘概率密度
P(Yyfx(%)=0・
1/2,
0,
-18、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
1,0,<2x;
0,其它
/(兀,y)=
求:
(1)(X,Y)的边缘概率密度Wfy(y);
(2)概率P(X<-,y独立.
【解】
(1)当0vxv1时,有
fx(兀)=匸/(兀,dy=2x;
当x<0或兀ni时,显然有
于是X的边缘概率密度为
2x,00,其它
fY(y)=匚f(x.y)dx=^Ldx=1-y
当y人(刃=0.
于是y的边缘概率密度为
1-厶020,其它.
⑵P{(X<|,r(3)容易验证f(x,y)fxMfY(y)>故x与y不独立.
fY(y)=
9、设X和丫是两个相互独立的随机变量,X〜t/[0,0.2],Y的概率密度函数为5宀,y〉0,0,y50.
(2)求X和Y的联合概率密度/(兀,y);
(2)求概率P(Y【解】
(1)由题意知,X的概率密度函数为恥)七因为X和丫相互独立,故X和丫的联合概率密度
A(y)=<
0
/Uo?
)=AWA(y)=<
25e~5y,00;
0,其它.
(2)
P(YA)6Zx=e~l.
y【第三章】数字特征
10、设随机变量X的概率密度为
(a-b)x+b,0•0,其它,
已知£(%)=-,求:
(1)的值;
(2)E(2X+3).
【解】
(1)由概率密度的性质可知
Jo[(g—b)x+b]xdx+j^(2-x)xclx
b1
=ci—=—•
62
jf(x)dx-J:
[(Q—b)x+b]dx+Ja(2-x)dx=a+—=0\
E(X)=「xf(x)dx
J—8
联立方程组
a—=1,
2
b1
d+—二一,
62
解得
2
(2)由数学期望的性质,有
E(2X+3)=2E(X)+3=2・*+3=4.
11、设随机变量X的概率密度为
/⑷屮宀%>°?
[0,x<0.
求:
(1)常数A;
(2)E(X)和D(X).
【解】
(1)由概率密度的性质可知
rr+8A
jf(x)dx-£Ae~^xdx=—=\f
由此得
A=2.
(2)由数学期望公式得
f+oo<■,2x=t1p+oo||
E(X)=\x-2e^dx=-Ite'!
dt=~r
(2)=-.
Jo2Jo22
由于
故利用方差讣算公式得
D(X)=E(X2)-[E(X)]2=|-
(1)2
12、设(X,Y)的联合概率分布如下:
(1)求X,Y的数学期望E(X),E(r),方差D(X),D(Y).
(2)求X,Y的协方差cov(X,Y)与相关系数
【解】由(X,丫)的联合概率分布知X,丫服从”0-1”分布:
p(x=0)=l/4,=1)=3/4,
p(y=0)=l/2,P(Y=l)=l/2,
由”0-1”分布的期望与方差公式得
£(X)=3/4,D(X)=3/4x(l—1/4)=3/16,
E(y)=l/2,D(y)=l/2x(l-l/2)=l/4,
由(X,Y)的联合概率分布知
£(%/)=0x0xl/4+0xlx0+lx0xl/4+lxlxl/4=1/2,从而
cov(X,y)=E(Xy)-E(X)E(y)=l/2-3/4xl/2=l/8,
c'jD(X)jD(y)V3716V1743•
【第四章】
正态分布
P(X>95)=
95-7520
=1P(X<95)=10()=10()=2.3%,
(J(J
13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X(百分制)近似服从正态分布,己知满分为100分平均成绩为75分,95分以上的人数占考生总数的2.3%.
(1)试估计本次考试的不及格率(低于60分为不及格);
(2)试估汁本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例.[已知⑦⑴=0.8413,0(1.5)«0.9332,0
(2)=0.9772]
【解】由题意,可设X近似服从正态分布N(75,夕).已知P(Xn95)=2.3%,即
于是—-2,
“10,从而近似有X〜N(75,102).
由此得0(—)=0.977,
(J
P(X<60)=0(60_75)=0(1.5)=10(1.5)-10.9332=0.0668,
1
由此可知,
(2)
本次考试的不及格率约为6.68%.
(1)
(7
P(651010
=0
(1)-0(-1)=20
(1)-1=2x0.8413-1=0.6826,
由此可知,
成绩在65分至85分之间的考生人数约占考生总数的68.26%.
14、两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量X(单位:
mm)表示轴的直径,随机变量丫(单位:
mm)表示轴衬的内径,已知X〜N(50,0.3j,丫〜7V(52,0.42),显然X与丫是独立的.如果轴衬的内径与轴的直径之差在1〜3mm之间,则轴与轴衬可以配套使用.求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率.[已知0⑵-0.9772]
【解】设Z=Y-Xf由X与卩的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知,
z=丫-X〜2(52-50,0.32+0.42),
即Z〜N(2,0.52).于是所求概率为
3-21-2
P(i=20
(2)-l«2x0.9772一1=0.9544.
【第五章】数理统计基本知识
15、设总体X〜N(0,l),X”X2「・,X5是来自该总体的简单随机样本,求常数£>0使
丁二3+2X2)
Jx;+x:
+x;
〜”3).
【解】由X〜N(0,l)知X1+2X2〜N(0,5),于是
X]+2X?
~7T^
〜2(0,1),
又由力2分布的定义知
Xj+Xj+X;〜Z2(3),所以
T=(X、+2XZ二匸•—〜”3)
J(X;+X;+X;)/3V5Jx;+X:
+X;
比较可得比=
16、设总体X〜"(40,52),从该总体中抽収容量为64的样本,求概率P(|X-4O|<1).【解】由题设“=40,<7=5,/?
=64,于是
从而
P(|X-40|X—40
5/8
X—40
5/8
〜/V(04)
Q
P(\wI<-)=20(1.6)-1
«2x0.9452-1=0.8904.
【第六章】参数估计
17、设总体X的概率密度为
/(兀;2)=
{Ae~2(x~2),x>2,I0,其艺
西,兀2,…,暫为样本观测值•
其中参数久〉0.设是取自该总体的一组简单随机样本,
(1)求参数久的矩估计量.
(2)求参数久的最大似然估计量.
【解】
(1)E(X)=^xf(x,A)dx=xe^{x-2}dxX~=+Z^dt=+2,
———1
令X=E(X),即X=-+2,解得参数久的矩估计量为X
X-2
(2)样本似然函数为
nn-2(工£-2”)
厶仇)=n/(^U)=Y[^eAx2)=无£"
上式两边取对数得
n
In厶
(2)=nInA一兄(£X,—2n),
/=i
上式两边対A求导并令导数为零得
呼Uj(b_2“)=0,uAA/=i
H1
解得2=—,从而参数2的最大似然估计量为
Hc
乞Xi_2nx_2
/=i
A1
A==■
X-2
18、设总体X的概率密度为
1--
/(x;A)=牙壮\兀>0;
0,x<0,
其中参数久>0.设X|,X2「・,X”是取自该总体的一组简单随机样本,几花,£为样本观测值.
(1)求参数久的最大似然估计量.
(2)你得到的估计量是不是参数2的无偏估计,请说明理由.
【解】
(1)样本似然函数为
厶(刃=fl.几兀屛,/=1
=n^^e~=^Lnx/e■
/=!
儿儿?
=1
上式两边取对数得
n1n
In厶仇)=一2〃In久+工In兀一〒工兀,
;=i/t;=i
求导数得
d12h1&
—In厶
(2)=1—―/X-
dAJ2才幺’
A1nY
令三InL(A)=0解得A=于是参数久的极大似然估计量为
2nf=i2
一x=2t
dA2nz=i2
(2)E(X)=广-^x2e'x/Adx=「(j)2e~AUrfr'=dx=2厂(3)=2/1,
八X1—11
E(/l)=E(y)=-E(X)=-E(X)=-^2A=Af
1nV
于是花石y「是免的无偏估计.
【第七章】假设检验
19、矩形的宽与长之比为0.618(黄金分割)时将给人们视觉上的和谐美感.某工艺品厂生产矩形裱画专用框架.根据该厂制定的技术标准,一批合格产品的宽与长Z比必须服从均值为心=0.618的正态分布•现从该厂某日生产的--批产品屮随机抽収25个样品,测得其宽与长Z比的平均值为1=0.646,样本标准差为0.093.试问在显著性水平a二0.05水平上能否认为这批产品是合格品?
【解】由题意,待检验的假设为
关于的拒绝域为
ld>心2(〃-1)=也25(24)=2.06・
现在1=0.646,s=0.093,所以统计量f的观测值为
心5(0.646-0.618)=-os.
因为|/1=1.505<2.06=仏25(24),即/的观测值不在拒绝域内,从而援学原假设,即可以认为这批产品是合格品.
20、己知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用.临床统计表明,在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为“()=22(单位:
mmHg,毫米汞柱)的正态分布.现在研制了一种新的替代药品,芳对一批志愿者进行了临床试验•现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值,计算得到样本均值x=19.5(mmHg),样本标准差5=5.2(mmHg).试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论(取显著性水平a=0.05)•
【解】由题意,待检验的假设为
Hq:
“=〃()=22;%:
“v22・
因为<7未知,所以取统计量
X-Ao_4(X-22)
I—f=^—〜
月•关于Ho的拒绝域为
t<一4(〃一1)=一心.05(15)=-1・753・
现在1=19.5,5=5.2,所以统计量/的观测值为
4(19.5-22).923.
5.2
因为r--1.923<-1.753=-^005(15),即f的观测值在拒绝域内,从而拒络原假设,即认为这次试验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论.