奥数581数字谜语算式谜综合题库.docx
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奥数581数字谜语算式谜综合题库
5-8数字迷与算式迷综合
教学目标
数字迷从形式上可以分为横式数字迷与竖式数字迷,从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字迷。
横式与竖式亦可以互相转换,本讲中将主要介绍数字迷的一般解题技巧。
主要涉及小数、分数、循环
小数的数字迷问题,因此,会需要利用数论的知识解决数字迷问题
知识点拨
一、数字迷加减法
1.个位数字分析法
2.加减法中的进位与错位
3.奇偶性分析法
二、数字迷乘除法
数字乘法个位数字的规律--最大值最小值的考量--加减法进位规律--合数分解质因数性质--奇偶数性质规律--余数性质
三、数阵图
1.从整体和局部两种方向入手,单和与总和
2.区分数阵图中的普通点(或方格),和关键点(方格)
3.在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围
4.运用已经得到的信息进行尝试(试数)
四、数字谜问题解题技巧
1.解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处,例如首位、个位以及位数的差异;
2.要根据不同的情况逐步缩小范围,并进行适当的估算;
3.题目中涉及多个字母或汉字时,要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性;
4.注意结合进位及退位来考虑;
5.有时可运用到数论中的分解质因数等方法.
例题精讲
模块一、数字迷
【例1】下面算式
(1)是一个残缺的乘法竖式,其中□≠2,那么乘积是
【解析】如式
(2),由题意a≠2,所以b≥6,从而d≥6.由22□÷c≥60和c>2知c=3,所以22□是225
或228,de75或76.因为75×399<30000,所以de76.再由乘积不小于30000和所有的□≠2,推出唯一的解76×396=30096.
【巩固】每个方框内填入一个数字,要求所填数字都是质数,并使竖式成立?
7
x
【解析】一位质数只有
2、3、5、7,且两位数乘以三位数都需要进位,
相乘个位为质数的只有
3-5
和5-7,
逐步递推,答案
775X33.
【巩固】下面残缺的算式中,只写出了
3个数字
1,其余的数字都不是
1,那么这个算式的乘积是?
【解析】为了说明的方便,这个算式中的关键数字用英文字母表示.很明显e=0.从cab的个位数是1,
b可能是3,7,9三数之一,两位数ab应是(100+f)的因数.101,103,107,109是质数,f=0
或5也明显不行.102=17×6,则ab=17,C只能取3,cab317,不是三位数;104=13×8,
则ab13,c可取7,c×ab=7×13,仍不是三位数;108=27×4,则ab=27,c是3.cab327,
还不是三位数.只有106=53×2,ab53,c=7,cab753是三位数.
因此这个乘法算式是故这个算式的乘积是3816。
【例
2】在右边的算式中,相同的符号代表相同的数字,不同的符号代表不同的数字,根据这个算式,可以推算出:
☆=_______.
☆☆
【解析】比较竖式中百位与十位的加法,如果十位上没有进位,那么百位上两个“□”相加等于一个“□”,
得到“□”0,这与“□”在首位不能为0矛盾,所以十位上的“□□”肯定进位,那么百位上有“□□110□”,从而“□”9,“☆”8。
再由个位的加法,推知“○△8”.从而“☆98825”.
【巩固】在右边的竖式中,相同字母代表相同数字,不同字母代表不同数字,则四位数
tavs
________?
st
va
vt
st
t
t
vt
t
【解析】两个四位数相加得到一个五位数,显然这个五位数的首位只能为
1,所以可以确定
t
1,那么百
位不可能向千位进位,所以
sv11,十位向百位进了
1位,所以vtt
1
3,可得
s1138.又因为at
t,所以a0,四位数tavs为1038。
【巩固】下图是一个正确的加法算式,其中相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字.已
知BAD不是3的倍数,GOOD不是8的倍数,那么ABGD代表的四位数是多少
BAD
BADGOOD
【解析】首先可以确定D的值一定是0,G的值一定是1,所以GOOBABA,可见GOO为偶数,只能
是122、144、166、188,由于BAD不是3的倍数,GOOD不是8的倍数,所以GOO不是3的倍数,也不是4的倍数,可以排除144和188,再检验122和166可知只有166符合,此时BAD为
830,所以ABGD的值为3810。
【例3】下面算式中,相同汉字代表相同数字,不同汉字代表不同数字
爱好真知
数学更好
数学真好玩
【解析】题中竖式为两个四位数相加得到一个五位数,这个五位数的首位只能为
1,所以“数”
1。
再看
千位,由于百位至多进
1位,而“爱”
“数”
1最大为911
11,所以“学”不超过
1,而
“数”为1,所以“学”只能为0.竖式变为
爱
好
真
知
1
0
更
好。
10
真
好
玩
那么“真”至少为2,所以百位不可能进位,故“爱”1019。
由于“好”和“真”不同,
所以“真”“好”1,十位向百位进1位。
如果个位不向十位进位,则“真”“更”“好”
10,得到“更”9,不合题意,所以个位必定向十位进1位,则“真”“更”1“好”10,
得到“更”8。
现在,“真”“好”1,“知”“好”10“玩”.“真”、“好”、“知”、“玩”
为2,3,4,5,6,7中的数。
由于“玩”至少为2,而“知”“好”最大为6713,所以
“玩”为2或3。
若“玩”为3,则“知”与“好”分别为6和7,此时无论“好”为6还是7,
“真”都会与已有的数字重复,不合题意。
若“玩”为2,则“知”与“好”分别为5和7,只
能是“知”7,“好”5,“真”6。
此时“数学真好玩”代表的数是10652。
【巩固】(2019年清华附中入学测试题)如图,在加法算式中,八个字母“QHFZLBDX”分别代表0到9
中的某个数字,不同的字母代表不同的数字,使得算式成立,那么四位数“QHFZ”的最大值是
多少?
2009
QHFZ
QHLB
1QHDX
【解析】原式为2009QHFZQHLB
1QHDX,即QHFZ
QHDX1QHLB2009
7991DXLB
.为
了使QHFZ最大,则前两位
QH先尽量大,由于
DXLB小于100,所以QH最大可能为80.若
QH80,则继续化简为FZ
DX
LB9.现在要使FZ尽量大.由于8
和0已经出现,所以
此时DXLB9最大为97
12
9
76,此时出现重复数字,可见FZ小于
76.而96129
75
符合题意,所以此时FZ最大为
75,QHFZ的最大值为8075.
【巩固】(2019年“迎春杯”高年级组复赛)将数字1至9分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数
字恰好使用一次),那么加数中的四位数最小是多少?
1
2008
【解析】9个方框中的数之和为45.三个加数的个位数字之和可能是8,18;十位数字之和可能是9,10,
19,20;百位数字之和可能是8,9,10,其中只有1819845.所以三个加数的个位数字之
和为18,十位数字之和为19,百位数字之和为8.要使加数中的四位数最小,尝试在它的百位填
1,十位填2,此时另两个加数的百位只能填3,4;则四位数的加数个位可填5,另两个加数的十
位可填8,9,个位可填6,7,符合条件,所以加数中的四位数最小是1125.
【例4】如图所示的算式中,不同的汉字表示不同的数字,相同的汉字表示相同的数字.求使算式成立的汉字所表示的数字.
学
数
学
爱
数
学
喜
爱
数
学
2
0
0
8
【解析】将竖式化为横式就是:
1000
喜
200
爱
30
数
4
学=2008,从“喜”到“学”依次考虑,
并注意到“喜”、“爱”、“数”都不能等于
0,可以得到:
喜
1,爱
4,数
6,学
7。
【巩固】下面的算式中,同一个汉字代表同一个数字,不同的汉字代表不同的数字团团
圆圆
大熊猫.
则“大熊猫”代表的三位数是
【解析】由于团团
团
11
,圆圆圆
11
,所以大熊猫
团团
圆圆
团
圆
,也就是说“大熊猫”
121
这个三位数是
121的倍数,那么“团
圆”应小于
9(否则团
圆
121为四位数),所以“团
圆”
最大为8.因为“团圆”为一位数,如果该数为质数,即
2、3、5、7,则“团
圆”中必有一
个数为1
,则会使“猫”和“团”或“圆”中的一个数字相同,与题意不符,所以“团
圆”为
合数,即
4、6、8,如果团
圆
4,则只有2
2,与题意不符,所以“团
圆”只能为
6或8,
如果团
圆
6,则“团”和“圆”一个为
2,一个为3,而2233
726,与题意不符,则团
圆
8,因此“团”和“圆”一个为2,一个为4,
22
44
968,符合题意,因此“大熊猫”为
968
。
.
【例5】将0、1、2
、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格内,每个数字恰好出现一次,组成只
有一位数和两位数的整数算式.问填在方格内的数是多少?
【解析】题目要求用七个数字组成
5个数,说明有
3个数是一位数,有
2个数是两位数.很明显,方框里
的数和被除数是两位数,其余的被乘数、乘数和除数是
1
位数.看得出来,0不能做被乘数和乘
数,更不能做除数,因而
0是两位数的个位数字,但不能是商的个位数字,即不能是方框里的两
位数的个位数字,否则会使除数的个位也为
0,从而只能是被除数的个位数字;乘数如果是
1,
不论被乘数是几,都将在算式出现两次,与题意不符,所以,乘数不是1
.同样乘数也不能是
5.乘
数如果有
2,则被乘数只能是
6,才能保证方格里的数是不含偶的两位数,但此时
2出现重复,
所以乘数里面也没有2.被除数是
3个一位数的乘积,其中一个是
5,另两个中没有
1,也不能有
2,因而被除数至少是
34
560.由于没有比
6
大的数字,所以被除数就是
60
,而且算式是
3412605.于是方格中的数是
12
【巩固】在算式:
2
的六个方框中,分别填入
2
,3,4,5,6,7这六个数字,使算式
成立,并且算式的积能被
13整除,那么这个乘积是
?
【解析】先从个位数考虑,有2
24
、2
3
6、26
12、2
7
14四种可能;再考虑乘数的百位只
能是2或3,因此只有三种可能的填法:
2
273
546,2
327
654,2
267
534,其中只有546
能被13整除,所以这个积是546。
【例6】如图所示的乘法竖式中,“学而思杯”分别代表0~9中的一个数字,相同的汉字代表相同的数
字,不同的汉字代表不同的数字,那么“学而思杯”代表的数字分别为
学而思杯
学而思杯
________(
【解析】首先从式子中可以看出“思”
0,另外第三个部分积的首位只能为
9,所以“学”只能为3.由
于3个部分积都是四位数,而且第三个部分积的首位为
9,所以它比其它两个部分积要大,从而
“学”比“而”和“杯”都大,所以“而”和“杯”只能分别为
1和2,这样“学而思杯”就可
能为
3102
或3201.分别进行检验,发现31023102
9622404,与算式不相符,而
3201
3201
10246401符合,所以“学而思杯”代表的数字分别为
3、2、0、1.
【巩固】在右边的乘法算式中,字母
A
、和C分别代表一个不同的数字,
每个空格代表一个非零数字.
求
B
A、B和C分别代表什么数字?
A
B
C
A
B
C
9
4
1
【解析】第一个部分积中的
9是C
C的个位数字,所以C要么是3
,要么是7.如果C
3,第二个部分
积中的
4是积3B的个位数字,所以B
8.同理,第三个部分积中的
1是积3
B的个位数字,
因此A
7.检验可知A
7,B8,C
3满足题意.如果
C7,类似地可知
B2,A3,
但这时第二个部分积
327
2不是四位数,不合题意.所以
A、B和C代表的数字分别是
7、8、
3.
【例7】在如图所示的乘法算式中,汉字代表1至9这9个数字,不同汉字代表不同的数字.若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”,求出“华杯赛”所代表的整数.
祝贺
华杯赛第十四届
【解析】根据题意可知“祝”、“贺”、“华”、“杯”、“赛”、“第”、“十”、“四”、“届”这
9个汉字恰好代表
1~9这9个数字,那么它们的和为
45.由于“祝”、“贺”分别代表4和8,那么“祝贺”
48是
3的倍数,则“第十四届”也是3的倍数,这样它的各位数字之和之和也是
3的倍数,可知“祝”、
“贺”与“第”、“十”、“四”、“届”这
6个数的和也是3的倍数,那么“华”、“杯”、“赛”这3
个数和也是3的倍数,从而“华杯赛”这个三位数是3的倍数.由于“第十四届”等于48与“华
杯赛”这两个3的倍数的乘积,所以它是
9的倍数.从而“第”、“十”、“四”、“届”这4个数的
和是9的倍数.由于“华”、“杯”、“赛”、“第”、“十”、“四”、“届”的总和为
4548
33,所
以“第”、“十”、“四”、“届”这4个数的和可能为27或18(它们的和显然大于
9),对应的“华”、
“杯”、“赛”这3个数和是6或15.⑴如果“华”、“杯”、“赛”这3个数和是
6,则“华”、“杯”、
“赛”分别为1、2、3,如果“华”为2,则“华杯赛”至少为
213,则48213
10224,不是
四位数,所以“华”只能为
1,这样“华杯赛”可能为
123
和132,分别有48
1235904,
481326336,都不符合;⑵如果“华”、“杯”、“赛”这3
个数和是15,根据上面的分析可知
“华”只能为1,这样“杯”、“赛”之和为14,可能为9
5或
8
6,由于“贺”为8,所以“杯”、
“赛”分别为5和9,显然“赛”不能为5,则“华杯赛”为
159。
【巩固】右边算式中,(大数减小数
A表示同一个数字,在各个□中填入适当的数字,使算式完整.
)是?
那么两个乘数的差
A
1A
A1
【解析】由1AA1能被11整除及只有11,37,99的个位是
1,所以
A可能为
1,3,7或
9,而且
1AA1
可分解成11与1个一位数和一个两位数的乘积.分别检验1111、1331、1771、1991,只有满足:
177111723,可知原式是77231771.所以两个乘数的差是772354。
1771
【例8】“迎杯×春杯=好好好”在上面的乘法算式中,不同的汉字表示不同的数字,相同的汉字表示相同
的数字。
那么“迎+春+杯+好”之和等于多少?
【解析】好好好=好×111=好×3×37,100以内37的倍数只有37和74,所以“迎杯”或“春杯”中必有
1个是37或74,判断出“杯”是7或4。
若杯=7,则好=9,999/37=27,所以,迎+春+杯+好
=3+2+7+9=21若杯=4,则好=6,666/74=9,不是两位数,不符合题意。
迎+春+杯+好=3+2+7+9=21。
【例9】电子数字0~9如图所示,右图是由电子数字组成的乘法算式,但有一些模糊不清,请将右图的电子数字恢复,并将它写成横式形式:
【解析】⑴可以看出乘积的百位可能是2或8,由于被乘数的十位和乘数都不能是9,最大可能为8,所以
它们的乘积不超过898712,故乘积的首位不能为8,只能为2;⑵被乘数的十位和乘数要与
图中相符,只能是0、2、6或8,0首先可以排除,所以可能为2、6或8;⑶如果被乘数的十
位是6或8,那么乘数无论是2、6或8,都不可能乘出百位是2的三位数.所以被乘数的十位是
2,相应得出乘数是8;⑷被乘数应大于200825,可能为27、28或29,检验得到符合条件
的答案:
288
224
【巩固】电子数字0~9如图1所示,图2是由电子数字组成的乘法算式,但有一些已经模糊不清.请将
图2的电子数字恢复,并将它写成横式:
:
a
b
c
d
e
【解析】设竖式如
f
i
g,那么各个字母可以代表的数如下表
h
j
k
l
m
n
o
a
13456789
b
268
c
0268
d
268
e
2356789
f
68
i
01234789
g
08
h
268
j
45689
k
0489
l
23489
m
0235689
n
2345689
o
013456789
⑴f
j
64
10
l
h1
h2或者h
8;⑵若h8,那么l
9,并且a
d一定是1
8
、
16或4
2,如果是1
8
,那么由于b2,所以bd进位,导致h
8
,产生矛盾;如果是1
6
,
那么b
2时hjk百位小于
8,b
6时hjk百位大于
8,也产生矛盾;所以只有可能
a4,d
2
,
并可以得到b
2,考虑到fig是三位数,所以
e
2,再根据g
0或8
,得到c
0,所得到的数
4
2
0
2
2
式为
8
4
0.⑶若h
2,则可以得到l
3,a1,d2
,b
2
(因为b
d10);⑷由于
8
4
0
9
2
4
0
1
2
2
1
2
0
2
5
2
7
f6或8,所以e
5或者e7.当e
5时,竖式
6
1
0成立;当e
7时,竖式
8
4
0
2
4
4
2
4
0
3
0
5
0
3
2
4
0
成立。
【例10】在方框中填入适当的数字,使得除法竖式成立.已知商为奇数,那么除数为:
efe
abc1022
29d2
00
00
99d2
9d2
00
【解析】先看除式的第二、三行,一个三位
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