第3章理解货币的时间价值.docx
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第3章理解货币的时间价值
第3章理解货币的时间价值
学习目标
1.解释复利的运作方式。
2.了解在复利情况下时间的力量。
3.计算货币未来预期收益的现值。
4.定义年金并计算其复利和终值。
影响货币时间价值的主要因素
•时间
•收益率或通货膨胀率
收益率是决定一笔货币在未来增值程度的关键因素,而通货膨胀率则是使货币购买力缩水的反向因素。
•单利和复利
单利的计算始终以最初的本金为计算收益的基数,而复利则以本金和利息为基数计算,从而产生利上加利、息上加息的收益倍增效应。
如,将100万元存入银行,如果按年利率5%单利计息,则每年固定增值5万元,20年后变成200万元(100+5*20=200);如果按年利率5%复利计息,20年后这100万元就变成了2653298元[100*(1+5%)20=2653298],比单利多653298元。
单利终值和单利现值
现值:
P
终值:
F
时间:
n
利率:
i
(1)单利终值:
指按单利计算出来的资金未来的价值。
我国银行一般按单利计算利息。
单利终值=本金×(1+利率×期数)
如李四第一年初存入银行100元,期限3年,年利率4%,则期满后,本利和=100×(1+4%×3)=112元。
(2)单利现值:
指按单利计算出来的资金终值的现在价值。
单利现值=终值÷(1+利率×期数)
如张三想在5年后买一套115万元的房子,银行1年期的单利年利率为3%,问张三现在应该存入多少钱?
答案:
115÷(1+3%×5)=100万元。
复利终值和复利现值
(1)利息I=P[(1+i)n-1]
(2)复利终值F=P(1+i)n=现值*终值系数
(3)复利现值P=F(1+i)-n=终值*现值系数
【例】1月1日存入10000元活期存款,年利率0.35%,利息按季度支付。
一年后本利和为多少?
【答案】
季度利率=0.35%÷4=0.0875%
第1季度本利和=10000*(1+0.0875%)=10008.75元
第2季度本利和=10008.75*(1+0.0875%)=10017.51元
第3季度本利和=10017.51*(1+0.0875%)=10026.28元
第4季度本利和=10026.28*(1+0.0875%)=10035.05元
或:
第4季度本利和=10000*(1+0.0875%)4=10035.05元
【例】张三想3年后得到100000元收入,当前平均市场收益率为10%,则现在必须投资多少资金?
【答案】P=100000×(1+10%)~3
=100000×0.751=75100(元)
【例】假设现有一个富家子弟迫不及待地想继承父母的遗产。
他被许诺在40年后得到50万元的遗产。
如果按贴现率6%计算,那么现值是多少?
【解答】现值=500000*复利现值系数0.097=48500(元)
即该富家子弟40年后得到的50万元只相当于今天的48500元。
看待这一问题的另外一种方法是假设现在向银行账户存入48500元,每年收益率6%,那么40年后,你最终将获得50万元。
【例】一项投资5年后能给你带来50000元的收入,10年后能给你带来100000元的收益,假设贴现率为4%。
那么这项投资的现值等于多少元?
【解答】现值=50000*0.822+100000*0.676=108700元
可见,现值既可比又可相加。
复利期间和有效年利率的计算
(1)复利期间
一年内对金融资产计m次复利,n年后得到的价值是:
F=P*[1+(i/m)]mn
【例】将50万元进行投资,年利率12%,每半年计息一次,3年后的终值为多少?
F=50*[1+(0.12/2)]2×3=70.93(万元)
(2)有效年利率(EAR)
【例】沿上例,该投资的有效年利率是多少?
F=50*[1+EAR]3=70.93
EAR=12.36%
同样的年名义利率,不同的复利频率,将会得出不同的有效年利率。
复利终值系数(见“复利终值系数表”)
【例】2003年一场婚礼大约平均花费22000元。
假设通货膨胀率为4%,那么10年后这样一场婚礼要花费多少钱?
终值=22000*终值系数1.480=32560元
也就是说,10年后的今天,平均一场婚礼要花费32560元。
72法则
72法则是很好用的投资法则。
用72除以每年的投资收益率就可以算出投资价值翻倍所需要的时间。
投资价值翻倍的年限=
如:
运用72法则,如果你以每年12%的复利率进行投资,那么多长时间以后你的投资价值会翻番?
投资价值翻倍的年限=
=6(年)
年金(A)
年金是指一定时期内,每期等额发生的系列收付款项,包括普通年金和先付年金。
(1)已知(普通)年金,求终值
F=A[(1+i)n-1]/i
年金终值系数:
(F/A,i,n)或,[(1+i)n-1]/i
【例】有一对夫妇每月出去看4次电影,每次花费75元,后来他们把次数减少到2次/月,他们每年将省下1800元,如果每年年底他们将省下的钱以10%的利率用于投资,30年后他们将积累到多少钱?
【答案】1800*年金终值系数164.490=296082(元)
【习题】假设你每天从零花钱里拿出1元存起来,然后每年末将这一年存起来的零钱进行投资,能获得12%的年收益率。
如果你从18岁时就开始这样做,那么50年后(即68岁)你会积累到多少钱?
如果你从38岁才开始这么做,到68岁你会积累到多少钱?
【解答】
从18岁起存并投资(50年):
365元*年金终值系数2400=876000元
从38岁起存并投资(30年):
365元*年金终值系数241.330=88085.45元
可见,18岁开始与38岁开始才动手之间的差别有多大。
18~38岁期间,实际上你只投资了7300元(365*20年)。
原理15:
开始行动吧。
在投资领域,时间是你最好的朋友。
假设按年收益率5%计算:
从18岁起存并投资50年:
365元*年金终值系数209.35=76412.75元
从38岁起存并投资30年:
365元*年金终值系数66.439=24250.24元
可见,时间和收益率是决定货币增长的两个至关重要因素。
(2)已知(普通)年金,求现值
P=A[1-(1+i)-n]/i
年金现值系数:
(P/A,i,n)或,[1-(1+i)-n]/i
【例】小张打算为三年后购买一套100万的房产准备两成的首付资金,若他每年资金的增值率为10%(复利),则小张每年(年金)至少需要留存多少资金用于购房资金的储备?
【答案】x3.310(年金终值系数)=1000000×20%
x=60422.96(元)
【例】王鑫想购买一辆汽车,汽车经销商为客户提供了三种付款方法:
立即支付150000元;或分5年付款,每年年末付40000元;5年后一次性付260000元。
社会平均报酬率为18%。
王鑫选用哪种付款方式付出代价最低?
【答案】需将第二、三种方式折现。
40000×3.90197=156078.8(元);
260000×0.43711=113648.6(元)√
【例】如果你从21岁起开始每年定期投资,年收益率12%,一直持续到60岁生日,希望在60岁生日的时候攒够500万元。
问每月需储蓄多少元?
如果是31岁或51岁开始呢?
【解答】
(1)从21岁开始储蓄,年金终值系数[(1+i)n-1]/i
x*[(1+1%)40*12-1]/1%=5000000
x*[118.648-1]/1%=5000000
x*11764.773=5000000
x=425元/月
425元*12个月=5100元
如果按年计算:
y*年金终值系数767.090=5000000
y=6518元/年
(2)从31岁开始储蓄
x*[(1+1%)30*12-1]/1%=5000000
x*3494.964=5000000
x=1431元/月
(3)从51岁开始储蓄
x*[(1+1%)10*12-1]/1%=5000000
x*230.039=5000000
x=21735元/月
让孩子或者你自己成为百万富翁,慢慢来不要急
尽管你现在没有很多钱,但是实际上你可以很轻松地把100万元甚至更多的遗产留给你的孩子、孙子们,甚至你喜欢的慈善机构。
所有这些你渴望的目标只需要一点点初始投资额和漫长的时间。
A.终值的计算
假设你在16岁的时候~21岁六年间每年年末以10%的收益率投资2000元,当你21岁的时候(n=6年,i=10%):
终值=2000*年金终值系数7.716=15432元
然后可以利用21岁时这笔投资的价值作为基数,向后推44年,即可算出65岁时这笔投资的终值是多少元?
(n=44年,i=10%)
终值=15432*复利终值系数(1+10%)44
=15432*66.264=1022586.05元
B.现值的计算
在16岁的时候,为了计算49年后获得的这笔1022586.05元的现值是多少,我们可以用3%的贴现率计算其现值:
现值=1022586.05*复利现值系数(1+3%)-49
=1022586.05*0.2350=240307.72元
可见,由于受到通货膨胀的影响,假设每年物价水平上涨3%,这100万元的购买力将只相当于现在的1/4。
你可以改变投资收益率和通货膨胀率的赋值以及其他一些变量的值,但是有一样东西不会改变——那就是复利拥有强大的力量!
【举例·复利现值与年金现值】(假定折现率5%)
01234
6000600060006000
6000×0.952=5712元
6000×0.907=5442元
6000×0.863=5178元
合计=6000+5712+5442+5178=22332(元)
或:
6000+6000×年金现值系数2.723=22338(元)
&&&&&&&
【举例·复利终值与年金终值】(假定折现率5%)
01234
6000600060006000
6000×1.050=6300元
6000×1.103=6618元
6000×1.158=6948元
第3年末终值合计=6000+6300+6618+6948=25866(元)
或:
6000×1.158+6000×年金终值系数3.153=25866(元)
第4年末终值=?
01234
6000600060006000
6000×1.050=6300元
6000×1.103=6618元
6000×1.158=6948元
6000×1.216=7296元
第4年末终值=6300+6618+6948+7296=27162(元)
或:
6000×1.216+6000×4.310年金终值系数(4年,5%)-6000
=7296+25860-6000=27156(元)
分期付款
分期付款,即每期以相等的数额归还贷款。
假设你为了买车以15%的年利率从银行借了60000元,你希望在未来4年里以每年偿还固定金额的方式还清这笔贷款。
问每年还多少元?
【分析】
设每年还x元,n=4年,i=15%
x*年金现值系数2.854=60000
x=21023.13元/年
如果按月偿还的话,则:
设每月还y元,月利率(i)=15%÷12=1.25%,n=4*12=48(个月)
y*年金现值系数[1-(1+i)-n]/i=60000
y*[1-(1+1.25%)-48]/1.25%=60000
y*35.931=60000
y=1669.87元/月
等额本息还款法和等额本金还款法
等额本息还款法:
即借款人每月以相等的金额偿还贷款本息。
等额本金还款法:
即借款人每月等额偿还本金,贷款利息逐月递减。
等额本金还款法在整个还款期内每期还款额中的本金都相同,偿还的利息逐月减少;本息合计逐月递减。
这种还款方式前期还款压力较大,适合收入较高或想提前还款人群。
等额本息还款法每期还款额中的本金都不相同,前期还款金额较少,本息合计每月相等。
这种还款方式由于本金归还速度相对较慢,占用资金时间较长,还款总利息较相同期限的等额本金还款法高。
等额本息与等额本金还款比较表(见资料)。
【案例】李先生夫妇3年前购买了一套总价112万元的新房,首付40万元,贷款72万元,利率6.39%,期限为20年。
采用等额本息还款方式还款3年后,李先生夫妇想用父母资助的20万元提前还款,李先生夫妇在提前还款后保持每月同样的还款额,想提前结束还款,问还需多长时间才能还清住房贷款?
【解答】设每月还款数额为A,则:
(1)年金现值系数=[1-(1+
)-240]/
=135.3052
A×135.3052=720000
A=5321.30(元)
(2)还款3年后,还剩17年(即204个月)未还,将204个月的还款数额(每月5321.30元)折现,就是3年后尚欠的本金。
年金现值系数=[1-(1+
)-204]/
=124.2441
5321.30×124.2441=661140.13(元)
(3)提前还款20万元后,尚欠本金
=661140.13-200000=461140.13(元)
(4)提前还款后,每月仍按5321.30元还贷,设n期可以还清,则:
5321.30×[1-(1+
)-n]/
=461140.13
1.005325n=1.8570
n=
=116.87≈117(月)
【作业】
1.解释分期付款的概念?
并举出两个常见的例子。
2.张三刚从学校毕业,他找到了一份年薪40000元的工作。
如果年均通货膨胀率是3.5%,那么在未来10年以后,他的收入水平要增加到多少元才能维持相同的购买力?
【讨论】
杨林与李立刚结婚不久,他们收到了30000元的礼金,如果他们将50%的钱以每年12%的固定复利率进行投资,那么等到结婚25周年的时候,这笔投资的价值会变成多少元?
如果复利周期为6个月,投资的终值是多少?
复利期为6个月与复利期为12个月相比,投资价值的差额有多大?
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