初三数学圆的复习与整理.docx

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初三数学圆的复习与整理

中考总复习：

圆

一、目标与策略

学习目标：

●理解圆及其有关概念，掌握垂径定理和推论，了解弧、弦、圆心角的关系，并会利用这些性质解题；

●探索圆的性质，掌握过不在同一条直线上的三点画一个圆；

●了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征；

●探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；

●了解三角形的内心和外心，外接圆和内切圆；

●了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．

●会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积．

复习策略：

●本专题内容突出点在于知识点多，题目变化灵活，是中考的考查重点.复习时，应准确理解与本专题有关的所有概念、性质及有关的定理等.会利用圆心角、圆周角、弦切角解证与角、线段相等的几何问题；利用垂径定理、切线长定理证明一类与圆有关的几何问题；借助于分割与转化的思想方法巧解弧长、扇形面积、圆柱、圆锥有关的问题；综合运用圆、方程、函数、三角、相似等知识解决一类与圆有关的中考压轴题．

二、学习与应用

知识框图

知识点一：

圆的有关概念和性质

（一）圆的有关概念

（1）圆的定义：

①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转，另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做，线段OA叫做．

②圆可以看成是所有到的距离等于的点的.定点是，定长是．

圆心确定圆的，半径确定圆的．

（2）弦、弧、圆心角、圆周角

弦：

连接圆上任意两点的叫做弦．

直径：

经过的弦叫做直径．

弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．

半圆：

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

优弧：

大于的弧叫做优弧；

劣弧：

小于的弧叫做劣弧．

圆心角：

顶点在的角叫做圆心角．

圆周角：

顶点在，并且两边都与圆的角叫圆周角．

（二）圆的有关性质

（1）圆是轴对称图形，任何一条所在直线都是它的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心是．

（2）垂径定理：

①垂直于弦的直径弦，并且平分弦所对的；

②平分弦（不是直径）的垂直于，并且平分弦所对的．

（3）弧、弦、圆心角之间的关系

①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦也；

②同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量，它们所对应的其余各组量也．

（4）圆周角定理及推论

圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的，都等于这条弧所对的．

推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是．

知识点二：

与圆有关的位置关系

（一）点和圆的位置关系

设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d，则有：

（1）点P在圆外

dr；

（2）点P在圆上

dr；

（3）点P在圆内

dr．

（二）直线和圆的位置关系

直线和圆的位置关系有三种：

相交、相切、相离

直线和圆有个公共点，我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的．

直线和圆有个公共点，我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的，这个点叫做．

直线和圆公共点，我们说这条直线和圆相离．

（1）直线和圆公共点的个数：

①直线与圆相交

个公共点；

②直线与圆相切

个公共点；

③直线与圆相离

公共点．

（2）d与r的关系：

设⊙O的半径为r,圆心到直线的距离OP=d，则有：

①直线与圆相交

dr；

②直线与圆相切

dr；

③直线与圆相离

dr.

（三）切线的判定和性质

（1）切线长的概念：

经过圆外一点作圆的，这点和之间的长，叫做这点到圆的切线长；

（2）切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条，它们的切线长，这一点和圆心的连线平分两条切线的．

（四）圆和圆的位置关系

圆和圆的位置关系有五种：

外离、内含、相交、内切、外切

（1）两圆公共点的个数：

①两圆外离

公共点

②两圆内含

公共点

③两圆相交

个公共点

④两圆外切

个公共点

⑤两圆内切

个公共点

（2）圆心距、半径及两圆的位置关系

设两圆的半径分别为R、r（R＞r），圆心距为d，则

①两圆外离

dR+r；

②两圆内含

dR-r；

③两圆相交

R-rdR+r；

④两圆外切

dR+r；

⑤两圆内切

dR-r．

知识点三：

圆与正多边形

（一）三角形的外接圆和内切圆

（1）不在上的个点确定一个圆.

（2）三角形的外接圆：

经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做三角形.三角形外接圆的圆心是三角形三条边

线的交点，叫做这个三角形的．

（3）三角形的内切圆：

与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做三角形.三角形内切圆的圆心是三角形三条的交点，叫做三角形的．

（二）圆与正多边形

顺次连接圆上的n点得到的多边形是正n边形．

（1）一个正多边形的各个顶点都在圆上，这个圆是这个正多边形的圆；把一个正多边形的外接圆的叫做这个正多边形的中心；外接圆的

叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫正多边形的

角；中心到正多边形的一边的叫做正多边形的边心距．

（2）圆内接四边形的对角．

（3）圆内接正n边形都是图形，有条对称轴.圆内接正2n边形是

图形，对称中心是正多边形的，即外接圆的圆心．

（4）任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，它们是圆．

（5）常见圆的内接正多边形半径与正多边形边心距的关系：

设正n边形的半径为r，边心距为d．

（1）圆内接正三角形中，r=或d=r；

（2）圆内接正四边形中，r=d或d=r；

（3）圆内接正六边形中，d=r．

知识点四：

与圆有关的计算

（一）弧长公式：

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为

（二）扇形的定义：

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

在半径为R，

为扇形的弧长，n°的圆心角所对的扇形的周长：

．

扇形的面积：

．

（三）圆锥

（1）连接圆锥和底面上任意一点的线段叫做圆锥的母线．

（2）圆锥的侧面展开图是一个扇形，若

为圆锥母线长，r为底面半径，则

圆锥的母线

=扇形的半径R；圆锥底面圆周长2πr=扇形弧长.圆锥的侧面积：

圆锥的全面积：

经典例题-自主学习

考点一：

圆的有关概念和性质

例1．有下列四个命题：

①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

考点：

本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念．

例2．下列判断中正确的是（）

A．平分弦的直线垂直于弦

B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧

C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧

D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦

考点：

垂径定理．

例3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB=∠A′OB′=60°，则（）

A．

B．

C．

的度数=

的度数D．

的长度=

的长度

例4．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是（）

A．80°B．100°C．120°D．130°

考点：

同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的对角互补．

总结升华：

举一反三：

【变式1】某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为．

考点：

垂径定理．

思路点拨：

本题可用几何语言叙述为：

如图，AB为⊙O的弦，CD为拱高，AB=24米，半径OA=13米，求拱高CD的长．

解析：

【变式2】如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD=°．

考点：

同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是90°．

思路点拨：

AB是直径，则∠ADB=90°，∠ACD=∠ABD=15°，可求得∠BAD．

解析：

【变式3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE=1cm，EB=5cm，

∠DEB=60°，求CD的长．

思路点拨：

因为AE=1cm，EB=5cm，所以OE=

（1+5）-1=2（cm），半径等于3cm.在Rt△OEF中可求EF的长，再求OF的长，连结OD，利用勾股定理求得FD，可得CD的长．

解析：

考点二：

与圆有关的位置关系

例5．圆心O与直线AB上一点的距离等于半径，则直线AB与⊙O的位置关系是（）

A．相离B．相切C．相交D．相切或相交

考点：

直线和圆的位置关系．

解析：

例6．如图，AB、AC是⊙O的切线，将OB延长一倍至D，若∠DAC=60°，则∠D=．

解析：

例7．若两圆半径分别为R和r（R>r），圆心距为d，且R2+d2=r2+2Rd，则两圆的位置关系为（）

A．内切B．内切或外切C．外切D．相交

考点：

圆和圆位置关系的判定．

解析：

例8．OA平分∠BOC，P是OA上任一点，P不与点O重合，且以P为圆心的圆与OC相离，那么圆P与OB的位置关系是（）

A．相离B．相切C．相交D．不确定

考点：

直线和圆的位置关系．

解析：

例9．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（）

A．

（a+b+c）rB．2（a+b+c）　C．

（a+b+c）rD．（a+b+c）r

考点：

内心到三角形三边的距离相等．

解析：

举一反三：

【变式1】已知半径分别为r和2r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是（）

A．0＜d＜3r　B．r＜d＜3rC．r≤d＜3rD．r≤d≤3r

考点：

相交两圆的圆心距与两圆半径之间的关系．

解析：

【变式2】如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，试判断△AED的形状，并说明理由．

考点：

角平分线的性质和切线的性质．

解析：

【变式3】在射线OA上取一点A，使OA=4cm，以A为圆心，作一直径为4cm的圆，问：

过O的射线OB与OA所夹的锐角

取怎样的值时，⊙A与OB

（1）相离；

（2）相切；（3）相交．

考点：

直线与圆的位置关系的判定．

思路点拨：

判定直线与圆的位置关系，主要通过圆心到直线的距离与半径之间的比较：

设⊙O的半径为r，圆心到直线的距离OP=d，则有：

（1）直线与圆相交

d＜r；

（2）直线与圆相切

d=r；

（3）直线与圆相离

d＞r．

解析：

【变式4】⊙O2和⊙O1相交于点A、B，它们的半径分别为2和

，公共弦AB长为2，若圆心O1、O2在AB的同侧，则∠O1AO2=．

考点：

相交两圆的连心线垂直平分公共弦．

解析：

【变式5】⊙O2和⊙O1相交于点A、B，它们的半径分别为2和

，公共弦AB长为2，若圆心O1、O2在AB的同侧，则O1O2=．

考点：

相交两圆的连心线垂直平分公共弦和勾股定理．

解析：

【变式6】⊙O2和⊙O1相交于点A、B，它们的半径分别为2和

，公共弦AB长为2，则O1O2=．

考点：

相交两圆的连心线垂直平分公共弦和勾股定理．

思路点拨：

分两种情况：

1、圆心O1、O2在AB的同侧，如图1；2、圆心O1、O2在AB的两侧，如图2．

图1

图2

解析：

考点三：

圆与正多边形

例10．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA=4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则图中阴影部分的面积为．

考点：

切线的性质和扇形面积公式．

解析：

例11．扇形的半径为6cm，面积为9cm2，那么扇形的弧长为，扇形的圆心角度数为．

考点：

弧长公式和扇形面积公式．

解析：

例12．用一张面积为900cm2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径为．

思路点拨：

本题中圆柱的侧面展开图为正方形，圆柱底面圆的周长是正方形的边长．

解析：

例13．如图，已知扇形AOB的圆心角为60°，半径为6，C、D分别是弧AB的三等分点，则阴影部分的面积等于．

考点：

扇形面积公式．

思路点拨：

可将阴影部分通过旋转得到一个扇形．

解析：

例14．圆锥的母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是（）

A．180°B．200°C．225°D．216°

考点：

圆锥底面圆周长是侧面展开图的扇形的弧长．

解析：

举一反三：

【变式1】如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）

A．

B．1.5

C．2

D．2.5

思路点拨：

五个扇形（阴影部分）的面积之和可以看作是圆心角为五边形的内角和，半径为1的扇形面积．

解析：

【变式2】一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（）

A．60°B．90°C．120°D．180°

考点：

此题考查圆锥的侧面展开图的概念.注意理解圆锥、圆锥的侧面展开图的有关概念．

解析：

【变式3】如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=2，以AB为直径的圆交BC于D，求图形阴影部分的面积．

考点：

会把不可求的阴影面积转化为可求面积．

思路点拨：

连接AD，则阴影面积等于△ACD的面积，即等于△ABC面积的一半．

解析：

【变式4】在ABCD中，AB=4

，AD=2

，BD⊥AD，以BD为直径的⊙O交AB于E，交CD于F，则□ABCD被⊙O截得的阴影部分的面积为．

思路点拨：

本题考查了勾股定理、扇形面积公式、解直角三角形等知识.注意：

求不规则图形面积，往往转化为规则图形的面积的和或差的形式．

解析：

考点四：

与圆有关的计算

例15．边长为2a的正六边形的面积为．

考点：

正六边形的面积等于六个等边三角形的面积之和．

解析：

例16．下列命题正确的是（）

A．各边相等的多边形是正多边形

B．各内角分别相等的多边形是正多边形

C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形

D．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形

考点：

正多边形的概念及对称性．

解析：

例17．同一个圆的内接正方形和外切正六边形的边长之比为．

考点：

圆和正多边形的关系，边长都用圆的半径表示．

解析：

例18．边长为a的正n边形的外接圆与内切圆围成的圆环的面积为.

考点：

用正n边形的边长a分另表示外接圆与内切圆的半径．

解析：

举一反三：

【变式1】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）个．

①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形

A．3B．4C．5D．6

考点：

会判断轴对称图形和中心对称图形．

解析：

【变式2】如图所示，木工师傅从一块边长为60cm的正三角形木板上锯出一块正六边形木板，那么这块正六边形木板的边长为（）．

A．24cmB．22cmC．20cmD．18cm

思路点拨：

正六边形的边长为原正三角形边长的

．

解析：

【变式3】如图所示，图①，②，③，…，

，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…正n边形的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON．

（1）求图①中∠MON的度数；

（2）图②中∠MON的度数是，图③中∠MON的度数是；

（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．（直接写出答案）

考点：

正多边形和圆的有关计算

解析：

三、总结

结合圆的有关性质求角的度数和线段的长，利用弧长、扇形面积等公式求阴影部分的面积.都是结合图形的直观性解决数的抽象性，并进行形数互化．

（二）分类讨论思想

在判断和圆有关的位置关系时，要注意有几种情况，或在求圆中一条弦所对的圆周角、圆中平行两弦的弦心距等都是利用分类讨论的思想，在不同条件和图形下得到不同的结论．

（三）化归与转化思想

在解决有关圆的问题时，常需运用图中条件寻求线段间、角之间、弧之间的关系，从中探索出诸如等腰三角形、直角三角形、等信息，从而归结一个相对较容易解决的问题，达到解决问题的目的．

（四）注意观察、分析、总结

圆这一单元的知识点较多，要注重积累并会应用到实际问题中，总结各种题型之间的变化和联系，拓展解题思路，并会运用数学思想和方法及学会演绎推理的方法，提高推理和表达能力．