版高考数学理一轮总复习层级快练第十一章 计数原理和概率 作业87.docx
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版高考数学理一轮总复习层级快练第十一章计数原理和概率作业87
题组层级快练(八十七)
(第一次作业)
1.随机变量X的分布列为
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
则E(5X+4)等于( )
A.15 B.11
C.2.2D.2.3
答案 A
解析 ∵E(X)=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2,∴E(5X+4)=5E(X)+4=11+4=15.
2.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若X表示取到次品的个数,则E(X)等于( )
A.B.
C.D.1
答案 A
解析 离散型随机变量X服从N=10,M=3,n=2的超几何分布,∴E(X)===.
3.一套重要资料锁在一个保险柜中,现有n把钥匙依次分给n名学生依次开柜,但其中只有一把真的可以打开柜门,平均来说打开柜门需要试开的次数为( )
A.1B.n
C.D.
答案 C
解析 已知每一位学生打开柜门的概率为,∴打开柜门需要试开的次数的平均数(即数学期望)为1×+2×+…+n×=,故选C.
4.某运动员投篮命中率为0.6,他重复投篮5次,若他命中一次得10分,没命中不得分;命中次数为X,得分为Y,则E(X),D(Y)分别为( )
A.0.6,60B.3,12
C.3,120D.3,1.2
答案 C
解析 X~B(5,0.6),Y=10X,∴E(X)=5×0.6=3,D(X)=5×0.6×0.4=1.2.D(Y)=100D(X)=120.
5.(2019·银川一模)已知随机变量X的分布列如表所示,其中α∈(0,),则E(X)=( )
X
-1
0
2
P
cosα
A.2B.1或2
C.0D.1
答案 D
解析 由随机变量的分布列的性质,得++cosα=1,即sinα+2cosα=2,由得5cos2α-8cosα+3=0,解得cosα=或cosα=1(舍去),则sinα=,则E(X)=-+2cosα=-×+2×=1.故选D.
6.(2018·浙江)设0
ξ
0
1
2
Ρ
则当p在(0,1)内增大时,( )
A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小
答案 D
解析 由题可得E(ξ)=+p,所以D(ξ)=-p2+p+=-(p-)2+,所以当p在(0,1)内增大时,D(ξ)先增大后减小.故选D.
7.(2019·衡水中学调研卷)已知一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当成功次数的标准差的值最大时,p及标准差的最大值分别为( )
A.,5B.,25
C.,5D.,25
答案 A
解析 记ξ为成功次数,由独立重复试验的方差公式可以得到D(ξ)=np(1-p)≤n()2=,当且仅当p=1-p=时等号成立,所以D(ξ)max=100××=25,==5.
8.(2019·山东潍坊模拟)已知甲、乙两台自动车床生产同种标准件,X表示甲车床生产1000件产品中的次品数,Y表示乙车床生产1000件产品中的次品数,经考察一段时间,X,Y的分布列分别是:
X
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
Y
0
1
2
P
0.5
0.3
0.2
据此判定( )
A.甲比乙质量好B.乙比甲质量好
C.甲与乙质量相同D.无法判定
答案 A
解析 E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,E(Y)=0×0.5+1×0.3+2×0.2=0.7.由于E(Y)>E(X),故甲比乙质量好.
9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)=( )
A.B.
C.D.
答案 B
解析 由题意知X=0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,∴E(X)=0×+1×+2×+3×==.
10.(2019·合肥一模)已知袋中有3个白球,2个红球,现从中随机取出3个球,其中每个白球计1分,每个红球计2分,记X为取出3个球的总分值,则E(X)=( )
A.B.
C.4D.
答案 B
解析 由题意知,X的所有可能取值为3,4,5,且P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,所以E(X)=3×+4×+5×=.
11.(2019·山东潍坊期末)某篮球队对队员进行考核,规则是①每人进行3个轮次的投篮;②每个轮次每人投篮2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为,如果甲各次投篮投中与否互不影响,那么甲3个轮次通过的次数X的期望是( )
A.3B.
C.2D.
答案 B
解析 在一轮投篮中,甲通过的概率为P=,未通过的概率为.由题意可知,甲3个轮次通过的次数X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=()3=,P(X=1)=C31××()2=,P(X=2)=C32×()2×=,P(X=3)=()3=.
∴随机变量X分布列为
X
0
1
2
3
P
数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
12.(2017·课标全国Ⅱ,理)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=________.
答案 1.96
解析 依题意,X~B(100,0.02),所以D(X)=100×0.02×(1-0.02)=1.96.
13.(2015·重庆,理)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率;
(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.
答案
(1)
(2)
解析
(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)==.
(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==.
综上可知,X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)=0×+1×+2×=(个).
14.(2019·《高考调研》原创题)为了评估天气对某市运动会的影响,制定相应预案,衡水市气象局通过对最近50多年的气象数据资料的统计分析,发现8月份是该市雷电天气高峰期,在31天中平均发生雷电14.57天(如图).如果用频率作为概率的估计值,并假定每一天发生雷电的概率均相等,且相互独立.
(1)求在该市运动会开幕(8月12日)后的前3天比赛中,恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0.01);
(2)设运动会期间(8月12日至23日,共12天),发生雷电天气的天数为X,求X的数学期望和方差.
答案
(1)0.35
(2)5.64,2.9892
解析
(1)设8月份一天中发生雷电天气的概率为p,由已知,得p==0.47.因为每一天发生雷电天气的概率均相等,且相互独立,所以在运动会开幕后的前3天比赛中,恰好有2天发生雷电天气的概率P=C32×0.472×(1-0.47)=0.351231≈0.35.
(2)由题意,知X~B(12,0.47).
所以X的数学期望E(X)=12×0.47=5.64,
X的方差D(X)=12×0.47×(1-0.47)=2.9892.
15.(2019·福建龙海二中摸底)某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区,已知从新校区到老校区有两条公路,汽车走公路①堵车的概率为,不堵车的概率为;汽车走公路②堵车的概率为p,不堵车的概率为1-p若甲、乙两辆汽车走公路①,丙汽车由于其他原因走公路②,且三辆车是否堵车相互之间没有影响.
(1)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为,求走公路②堵车的概率;
(2)在
(1)的条件下,求三辆汽车中被堵车辆的个数X的分布列和数学期望.
答案
(1)
(2)
解析
(1)依题意,“三辆汽车中恰有一辆汽车被堵”包含只有甲被堵,只有乙被堵和只有丙被堵三种情形.
∴C21×××(1-p)+()2×p=,即3p=1,∴p=.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=××=,P(X=1)=,P(X=2)=××+C21×××=,
P(X=3)=××=,
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.
16.(2019·湖北潜江二模)现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下表:
投资股市:
投资结果
获利40%
不赔不赚
亏损20%
概率
购买基金:
投资结果
获利20%
不赔不赚
亏损10%
概率
p
q
(1)当p=时,求q的值;
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于,求p的取值范围;
(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种,已知p=,q=,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学期望较大?
结合结果并说明理由.
答案
(1)
(2)
解析
(1)因为“购买基金”后,投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种,且三种投资结果相互独立,所以p++q=1.
又因为p=,所以q=.
(2)记事件A为“甲投资股市且盈利”,事件B为“乙购买基金且盈利”,事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”.
则C=AB∪AB∪AB,且A,B独立.
由题表可知,P(A)=,P(B)=p.
所以P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=·(1-p)+p+p=+p.
因为P(C)=+p>,所以p>.
又因为p++q=1,q≥0,所以p≤,所以
(3)假设丙选择“投资股市”方案进行投资,且记X为丙投资股市的获利金额(单位:
万元),
所以随机变量X的分布列为
X
4
0
-2
P
则E(X)=4×+0×+(-2)×=.
假设丙选择“购买基金”方案进行投资,且记Y为丙购买基金的获利金额(单位:
万元),
所以随机变量Y的分布列为
Y
2
0
-1
P
则E(Y)=2×+0×+(-1)×=.
因为E(X)>E(Y),所以丙选择“投资股市”,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.
(第二次作业)
1.(2019·广东七校联考)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘,下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示:
周一
无雨
无雨
有雨
有雨
周二
无雨
有雨
无雨
有雨
收益
20万元
15万元
10万元
7.5万元
若基地额外聘请工人,可在下周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元;有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.
已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.
(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益;
(2)该基地是否应该额外聘请工人,请说明理由.
答案
(1)
X
20
15
10
7.5
P
0.36
0.24
0.24
0.16
预期收益为14.4万元.
(2)当额外聘请工人的成本高于1.6万元时,不额外聘请工人;成本低于1.6万元时,额外聘请工人;成本恰为1.6万元时,额外聘请或不聘请工人均可以.
解析
(1)设下周一无雨的概率为p,由题意得,p2=0.36,解得p=0.6,
基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5,则P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16.
∴基地收益X的分布列为
X
20
15
10
7.5
P
0.36
0.24
0.24
0.16
E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4(万元),
∴基地的预期收益为14.4万元.
(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元,
则其预期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=16-a(万元),E(Y)-E(X)=1.6-a(万元),
综上,当额外聘请工人的成本高于1.6万元时,不额外聘请工人;成本低于1.6万元时,额外聘请工人;成本恰为1.6万元时,额外聘请或不聘请工人均可以.
2.某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X依次为1,2,…,8,其中X≥5为标准A,X≥3为标准B,已知甲厂执行标准A生产该产品,产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B生产该产品,产品的零售价为4元/件.假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下表所示:
X1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
且X1的数学期望E(X1)=6,求a,b的值;
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数X2的数学期望;
(3)在
(1),
(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?
说明理由.
注:
①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价;
②“性价比”大的产品更具可购买性.
答案
(1)a=0.3,b=0.2
(2)4.8 (3)乙厂的产品更具可购买性,理由略.
解析
(1)∵E(X1)=6,∴5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即6a+7b=3.2,又0.4+a+b+0.1=1,即a+b=0.5,由得
(2)由已知,用这个样本的分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数X2的概率分布列如下:
X2
3
4
5
6
7
8
P
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
∴E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8,即乙厂产品的等级系数X2的数学期望等于4.8.
(3)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:
∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件,∴其性价比为=1,
∵乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件,∴其性价比为=1.2,
又1.2>1,∴乙厂的产品更具可购买性.
3.(2019·武昌调研)某机构随机询问了72名不同性别的大学生,调查其在购买食物时是否看营养说明,得到如下列联表:
男
女
合计
看营养说明
16
28
44
不看营养说明
20
8
28
合计
36
36
72
(1)根据以上列联表判断,能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别和看营养说明有关系?
(2)从被询问的28名不看营养说明的大学生中,随机抽取2名学生,求抽到女生的人数ξ的分布列及数学期望.
附:
P(K2≥k0)
0.010
0.005
0.001
k0
6.635
7.879
10.828
K2=.
答案
(1)能
(2)分布列为
ξ
0
1
2
P
期望值为
解析
(1)由计算可得K2的观测值k=≈8.416.
因为8.416>7.879,
所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与看营说明有关系.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×=.
4.某中学共开设了A,B,C,D四门选修课,每个学生必须且只能选修1门选修课,现有该校的甲、乙、丙3名学生.
(1)求这3名学生选修课所有选法的总数;
(2)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率;
(3)求A选修课被这3名学生选择的人数X的分布列和数学期望.
答案
(1)64
(2) (3)E(X)=
解析
(1)每个学生有四个不同选择,根据分步计数原理,选法总数N=4×4×4=64.
(2)设“恰有2门选修课没有被这3名学生选择”为事件E,则P(E)==,所以恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率为.
(3)方法一:
X的所有可能取值为0,1,2,3,且
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
方法二:
因为A选修课被每位学生选中的概率均为,没被选中的概率均为.
所以X的所有可能取值为0,1,2,3,且X~B(3,),
P(X=0)=()3=,P(X=1)=C31××()2=,P(X=2)=C32×()2×=,
P(X=3)=()3=,
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以X的数学期望E(X)=3×=.
5.某手机游戏研发公司为进行产品改进,对游戏用户每天在线的时间进行调查,随机抽取50名用户对其每天在线的时间进行了调查统计,并绘制了如图所示的频率分布直方图,其中每天的在线时间4h以上(包括4h)的用户被称为“资深玩家”,根据频率分布直方图回答下列问题:
(1)从所调查的“资深玩家”中任取3人再进行每天连续在线时间的调查,求抽取的3人中至少有2人的在线时间在[5,6]内的概率;
(2)为响应社会要求,公司拟对“资深玩家”进行防沉迷限时,使其每天的在线时间小于4h,而公司每天对一个玩家限时0.5h就会损失1元,在频率分布直方图中以各组区间的中点值代表该组的数据,以游戏用户在线时间的频率作为在线时间的概率,现从所有“资深玩家”中任取3人进行一天的限时试验,记该公司因限时试验损失的钱数为X,求X的分布列和数学期望.
答案
(1)
(2)分布列为
X
3
5
7
9
P
期望值E(X)=
解析
(1)由题易知a=1-0.10-0.20-0.30-0.20-0.08=0.12,所以50名用户中,在线时间是[4,5)内的人数为0.12×50=6,在线时间在[5,6]内的人数为0.08×50=4,所以在所调查的50人中有10人是“资深玩家”.
从“资深玩家”中任取3人共有C103=120种情况,其中抽取的3人中至少有2人的在线时间在[5,6]内的共有C42C61+C43=40种情况,记在所调查的“资深玩家”中任取3人,至少有2人的在线时间在[5,6]内为事件A,则P(A)==.
(2)“资深玩家”中每天的在线时间在[4,5)内的概率P1==,公司限时一天损失×1=1(元);
“资深玩家”中每天的在线时间在[5,6]内的概率P2==,公司限时一天损失×1=3(元).
所以从“资深玩家”中任取3人进行一天的限时试验,X的所有可能取值为3,5,7,9,则P(X=3)=C33()3=,P(X=5)=C32()2×=,
P(X=7)=C31××()2=,P(X=9)=C30()3=.
X的分布列是
X
3
5
7
9
P
所以X的数学期望E(X)=3×+5×+7×+9×=.
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