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王淑霞平均数教学设计
集体备课
交流材料
《平均数》教学设计
莱阳市吕格庄中心小学王淑霞
学生如何学习平均数这一重要概念呢?
传统教学侧重于对所给数据(有时甚至是没有任何统计意义的抽象数)计算其平均数,即侧重于从算法的水平理解平均数,这容易将平均数的学习演变为一种简单的技能学习,忽略平均数的统计学意义。
因此,新课程标准特别强调从统计学的角度来理解平均数。
义务教育数学课程标准(2011版)提出“体会平均数的作用,能计算平均数,能用自己的语言解释其实际意义”。
然而什么是“从统计学的角度”理解平均数?
将平均数作为一个重要概念来教,重点是要解决三个问题:
为什么学习平均数?
平均数这个概念的本质以及性质是什么?
现实生活、工作等方面是怎样运用平均数的?
备课时我们就应从这三方面,并依据学生的认知特点和生活经验实现从概念的角度理解平均数。
教学目标:
1、在具体问题情境中,感受求平均数是解决一些实际问题的需要,通过操作和思考体会平均数的意义,学会求简单数据的平均数。
2、能运用平均数的知识解释简单的生活现象,解决简单实际问题,进一步积累分析和处理数据的方法,发展数据分析观念。
3、进一步发展学生的思维能力,增强与同伴交流的意识与能力,体验运用知识解决问题的乐趣,建立学好数学的信心。
教学重难点:
理解平均数的统计意义。
教学过程:
一、建立意义
师:
同学们喜欢体育运动吗?
你最喜欢哪项运动?
有喜欢打篮球的吗?
我们班也有3位篮球运动爱好者,上个周,我们进行了一场1分钟投篮比赛,想不想了解比赛情况?
师:
首先出场的是小宇,他1分钟投中了5个球。
(课件播放)可是,小宇对这一成绩似乎不太满意,觉得好像没有发挥出自己的真实水平,想再投两次。
如果你是老师,会同意他的要求吗?
(学生发表看法,师生讨论后决定:
为了能体现出水平,为了公平,每人都投三次)
(师出示小宇的后两次投篮成绩:
5个,5个。
)
师:
现在看来,要表示小宇1分钟投中的个数,用哪个数比较合适?
为什么?
(生:
他每次都投中5个,用5来表示他1分钟投中的个数最合适了。
)
师:
接着小璐出场了。
(课件出示小璐三次投中的个数:
3个、5个、4个)请学生用学具摆一摆小璐的三次投篮成绩。
师:
三次成绩各不相同。
想一想用几来代表小璐1分钟投篮的一般水平合适呢?
(学生交流各自的看法,展开辩论。
教师先让同意5个的学生发表意见,其他学生反驳。
这时教师可反问:
为什么给小宇记5个你同意,给小璐记5个你就不同意呢?
通过辩论达成一致:
小宇每次都投中5个,所以用5来代表他1分钟投篮的一般水平合适,但小璐另外两次分别投中3个和4个,如果也用5来表示对小宇来说不公平。
接着让同意3个的学生说说想法;最后让同意4个的学生说说想法,学生可能会说4在中间,这时教师可提出:
如果小璐不服气,她说:
“我毕竟还有一次投中5个,比4多1呀。
”那你怎么说服她?
)
学生此时就会想出:
一次比4多1,一次比4少1,可以把它们匀乎匀乎。
教师找一名学生上黑板演示。
(师结合学生的交流,呈现移多补少的过程,如图1)
师介绍:
数学上,像这样从多的里面移一些补给少的,使得每个数都一样多。
这一过程就叫“移多补少”。
移完后,小璐每分钟看起来都投中了几个?
师:
轮到小林出场了。
(出示图2)提问:
用几来代表他1分钟投篮的一般水平合理呢?
学生思考后交流想法。
(结合学生交流,师再次呈现移多补少过程,如图3)
师再设疑:
如果只给你3、7、2这三个数,没有学具让你移多补少,还有别的方法吗?
启发学生先合并再平分。
师:
其实,无论是移多补少,还是先合并再平均分,目的只有一个,那就是——
使原来几个不相同的数变得同样多。
师:
数学上,我们把通过移多补少后得到的同样多的这个数,就叫做原来这几个数的平均数。
(板书课题:
平均数)比如,在这里(出示图1),我们就说4是3、4、5这三个数的平均数。
那么,在这里(出示图3),哪个数是哪几个数的平均数呢?
在小组里说说你的想法。
学生交流后提问:
这里的平均数4能代表小林第一次投中的个数吗?
能代表小林第二次、第三次投中的个数吗?
思考:
这里的平均数4既不能代表小林第一次投中的个数,也不能代表他第二次、第三次投中的个数,那它究竟代表什么呢?
学生讨论交流后教师归纳:
平均数能比较好的反映一组数据的一个整体水平,也叫一般水平。
师:
最后,该我出场了。
知道自己投篮水平不怎么样,我主动要求投四次,他们三个议论了一会儿,最后同意了。
(师呈现前三次投篮成绩:
4个、6个、5个,如图4)
提问:
你们觉得老师最后会赢吗?
为什么?
学生思考后交流想法:
可能赢,也可能输。
要看第四次成绩才能确定输赢。
(师出示第四次成绩图5)
师:
不计算,大概估计一下,老师最后的平均成绩可能是几个?
为什么你们不估计最后的平均成绩可能是6个或1个呢?
学生回答后教师指出:
平均成绩应该比这组数据里最大的数小一些,比最小的数大一些。
估得准不准呢,让学生算一算。
提问:
我最后没赢,你们觉得问题主要出在哪儿?
假如老师最后一次投中5个,甚至更多一些,比如9个,那么我的平均成绩又会是多少呢?
(生估计或计算,随后交流结果)
二、深化理解
师:
请大家观察下面的三幅图,你有什么发现?
把你的想法在小组里说一说。
(师出示图6、图7、图8,三图并排呈现)
(生独立思考后,先组内交流想法,再全班交流)(此环节引导学生认识平均数的特性:
前三次成绩相同,只有第四次成绩不同,平均数就不同。
可见要使平均数发生变化,只需要改变其中的一个数。
也就是说平均数很敏感,任何一个数据的“风吹草动”,都会使平均数发生变化。
)
此环节还可引导学生观察比较前两幅图,总数每增加4,平均数并不增加4,而是只增加1。
那么,要是这里的每一个数都增加4,平均数又会增加多少呢?
课后,可以让学生继续展开研究。
关于平均数,还有一个非常重要的特点隐藏在这几幅图当中。
以图6为例。
仔细观察,有没有发现这里有些数超过了平均数,而有些数还不到平均数?
比较一下超过的部分与不到的部分,你发现了什么?
引导学生认识平均数的又一个重要特点:
超出平均数的部分和不到平均数的部分一样多。
三、拓展展开
1、李强所在的篮球队,队员的平均身高是160厘米。
那么,李强的身高可能是155厘米吗?
通过展开讨论进一步明确:
平均数只反映一组数据的一般水平,并不代表其中的每一个数据。
2、池塘的平均水深。
(师出示图11)冬冬身高130厘米,他看到池塘边标记的池塘平均水深是110厘米,他认为下水游泳一定没有危险,你同意他的想法吗?
(师出示池塘水底的剖面图帮助学生理解平均水深。
如图12)
3、假如你是主教练,下一场会派谁上场?
(出示课本情境图)让学生利用所学知识解决现实问题。
4、听故事:
平均出来的牛体重
1906年的一天,英国科学家弗朗西斯·伽尔顿在散步时,看到集市上正在举行“猜牛重,赢大奖”的比赛。
好几百人在对一头肥壮公牛的体重下赌注,其中有些是屠户和农民,但更多的是凑热闹的外行人。
他们只不过是想碰碰运气罢了。
当竞猜奖品分发完毕,伽尔顿找了张纸,记下了所有竞猜者估计的重量,然后准备计算这组数据的平均数。
伽尔顿想:
这个平均重量与实际重量一定相差很远,因为外行人占大多数,他们对牛的体重心中无数,猜的重量会很不靠谱。
结果,他完全错了。
事实上,牛的体重为1198磅,而猜测的平均体重为1197磅。
听完这个故事,你有什么感想?
(学了平均数,学生一般会说有的人猜得太高,有的人猜得太低,凑起来就很像了。
教师小结:
平均数就是移多补少得来的,有人猜得比牛的实际体重高,有人猜得低,那最后一算平均数,就差不多了。
这正像数学家马希文所说的——数学的研究说明,平均数总是更加接近实际。
)
四、课堂总结:
让学生谈一谈本节课的收获。
回归平均数的统计意义
——《平均数》教学设计思路
一、为什么学习平均数
1.凭直觉体验平均数的“代表性”
平均数的统计学意义是它能刻画、代表一组数据的整体水平。
平均数不同于原始数据中的每一个数据(虽然碰巧可能等于某个原始数据),但又与每一个原始数据相关,代表这组数据的平均水平。
要对两组数据的总体水平进行比较,就可以比较这两组数据的平均数,因为平均数具有良好的代表性,不仅便于比较,而且公平。
本节课的导入部分的问题——1分钟投篮挑战赛——虽然简单,但易于引发学生对平均数的“代表性”的理解:
是用一次投篮投中的个数来代表整体水平还是用几次投篮中的某一次投中个数来代表整体水平呢?
抑或是用几次投篮的总数来代表整体水平呢?
由于教师所选择的几组数据经过精心设计,同时各组数据的呈现方式伴随着教师的追问,使学生很好地理解了平均数的统计学意义。
这些数据并不是一组一组地同时呈现,然后让学生分别计算其平均数,而是动态呈现,并伴随教师的追问,以落实研究每一组数据的教学目标。
例如,先呈现小强第一次投中5个,然后追问:
“小强对这一成绩似乎不太满意,觉得好像没有发挥出自己的真实水平,想再投两次。
如果你是老师,会同意他的要求吗?
”这样就使学生直觉体验到由于随机误差的原因仅用一次的数据很难代表整体的水平,因此再给他两次投篮的机会。
而小强的投篮水平非常稳定,三次都是5个。
三次数据都是“5”,这是教师精心设计的,核心是让学生凭直觉体验平均数的代表性,避免了学生不会计算平均数的尴尬。
同样道理,第二组数据的呈现方式仍然先呈现一个,伴随教师的追问:
“如果你是小林,会就这样结束吗?
”这让学生体验一次数据,很难代表整体水平,但3、5、4到底哪个数据能代表小林的水平呢?
教师设计这些活动的核心是让学生体验平均数的代表性。
2.两种计算方法的背后仍强化概念理解
虽然会计算一组数据的平均数是重要的技能,但过多的、单纯的练习容易变成纯粹的技能训练,妨碍学生体会平均数在数据处理过程中的价值。
计算平均数有两种方法,每种方法的教育价值各有侧重点,其核心都是强化对平均数意义的理解,非仅仅计算出结果。
本节课中,利用直观形象的象形统计图(条形统计图也可以),通过动态的“割补”来呈现“移多补少”的过程,为理解平均数所表示的均匀水平提供感性支撑。
首先两次在直观水平上通过“移多补少”求得平均数,而不是先通过计算求平均数。
这样做,强化平均数“匀乎、匀乎”的产生过程,是对平均数能刻画一组数据的整体水平的进一步直观理解,避免学生原有思维定势的影响,即淡化学生对“平均分”的认识,强化对平均数意义而非算法的理解。
如何让学生理解平均数代表的是一组数据的整体水平,而不是平均分后某个体所获得的结果呢?
平均数与平均分既有联系更有区别,虽然二者的计算过程相同,但不同于前面所学的“平均分”,二者计算过程相同但各自的意义不同。
从问题解决角度看,“平均分”有两层含义:
一是已知总数和份数,求每份数是多少;二是已知总数和每份数,求有这样的多少份,强调的是除法运算的意义,解决的是“单位量”与“单位个数”的问题。
而平均数则反映全部数据的整体水平,目的是比较两组数据的整体水平,强化统计学意义,数据的“个数”不同于前面所说的“份数”,是根据需要所选择的“样本”的个数。
因此本课教学中没有单纯地求平均数的练习,而是将学习平均数放在完整的统计活动中,在描述数据、进行整体水平对比的过程中深化“平均数是一种统计量”的本质,实现从统计学的角度学习平均数。
例如,在通过两种方法求出平均数之后,追问:
“哪个数是哪几个数的平均数呢?
”“这里的平均数4能代表小林第一次投中的个数吗?
”“能代表小林第二次、第三次投中的个数吗?
”“那它究竟代表的是哪一次的个数?
”通过这样的追问,强化平均数的统计学意义。
当然,如果在此现实问题中出现平均数是小数的情形更有助于学生理解平均数只刻画整体水平而不是真正的其中某一次投中的个数(投中的个数怎么会是小数呢?
不强调小数的意义,只出现简单小数,例如3.5个),即有人所说的“平均数是一个虚幻的数”。
学生对此理解需要比较长的“过程”,不是一节课就能达成的。
可以在后续的练习中跟进设计。
如:
有4个篮子,平均每个篮子装13.5个鸡蛋,可能吗?
这样的后续练习有助于帮助学生体会平均数的统计意义。
二、进一步理解平均数的本质及性质
初步认识了平均数的统计学意义后,仍然需要进一步设计活动让学生借助于具体问题、具体数据初步理解平均数的性质,丰富学生对平均数的理解,也为学生灵活解决有关平均数的问题提供知识和方法上的支持。
算术平均数有如下性质:
1.一组数据的平均数易受这组数据中每一个数据的影响,“稍有风吹草动”就能带来平均数的变化”,即敏感性。
2.一组数据的平均数介于这组数据的最小值与最大值之间。
3.一组数据中每一个数与算术平均数之差(称为离均差)的总和等于0。
4.给一组数据中的每一个数加上一个常数C,则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数加上常数C。
5.一组数据中的每一个数乘上一个常数C,则所得到的新数组的平均数为原来数组的平均数乘常数C。
这些抽象的性质如何让小学生理解呢?
仍然需要在巧妙的数据设计以及适时的把握本质的追问中让学生进一步深化对平均数性质的认识。
首先,在统计老师自己的投球水平时,老师“搞特殊”,投四次。
基于前面学生对平均数的初步感知,学生认可用老师四次投中个数的平均数来代表老师的整体水平,这时教师可在第四次投中多少个球上做文章:
前三次的平均数是5,那么老师肯定是并列第一了?
一组数据中前三个数据大小不变,只是第四个数据发生变化,会导致平均数产生什么样的变化呢?
在疑问与困惑(当然有很多学生是“清醒”的)中,教师首先出示了“极端数据”(1个球),进一步深化学生对平均数代表性的理解,初步体验平均数的敏感性。
其次,假设老师第四次投中5个、9个,老师1分钟投球的平均数分别是多少?
根据统计图直观估计、计算或者根据平均数的意义进行推理都能求出平均数,多种方法求解发挥了学生的聪明才智,使学生的潜能得以发挥,体验成功感进而体验创造学习的乐趣。
再次,将老师1分钟投球的三幅统计图同时呈现,让学生对比分析、独立思考再小组讨论。
由于三幅统计图中前三个数据相同,只有第四个数据不同,学生能够进一步 理解平均数的敏感性:
任何一个数据的风吹草动,都会使平均数发生变化。
学生发现平均数总是介于最小的数与最大的数之间:
多的要移一些补给少的,最后平均数当然要比最大的小比最小的大了。
学生还发现:
“总数每增加4,平均数并不增加4,而是只增加1。
”教师适时追问:
“要是这里的每一个数都增加4,平均数又会增加多少呢?
还会是1吗?
”
再进一步观察三幅统计图中的第一幅图,教师迫问:
比较一下超过平均数的部分与不到平均数的部分,你发现了什么?
通过进一步观察其他几幅统计图,学生真正理解了“削峰填谷”。
在上述问题情境中,以“问题”为导向,借助于直观的统计图以及学生的估计或者计算,学生思维上、情感上经历一筹莫展、若有所思、茅塞顿开、悠然心会的过程,对平均数的意义以及性质都有了深切的体会。
有前述对平均数意义以及性质的了解,学生是否真正理解了平均数的概念呢?
叙述出概念的定义或者会计算不等于真正理解某个概念,还要看能否在不同情境中运用概念。
由于平均数这个概念对小学生而言是非常抽象的(如前所说,它是“虚幻的数”,学生不能具体看到),平均数的背景也很复杂,如果学生能在稍复杂的背景下运用平均数的概念解决问题,说明学生初步理解了平均数。
因此,本课设计了几个复杂程度不同的问题,“球员平均身高”“平均水深”“如果你是主教练”,这几个问题中的平均数的复杂程度不同。
“球员平均身高”问题不是让学生计算球员的平均身高而是让学生借助平均数的性质进行推理判断,深化对平均数的理解。
第二个情境的平均数是比较复杂的,是以样本的平均数代替总体的平均数。
例如,平均水深到底是什么意思呢?
可以是随机选取有限个点,测量这些点到水底的距离,再求这些距离的平均数作为池塘平均水深的代表值。
真正理解这些平均数的意义对小学生而言有难度。
因此在教学中呈现池塘的截面图,并标注出五个距离,将复杂的问题简单化,使学生仍能借助于平均数的性质理解冬冬下水游泳仍有危险。
通过平均数意义的强化,使学生能从数学的角度解释是否有危险,避免学生从其他角度解释。
数学课程标准中明确提出培养学生的“数据分析观念”,数据分析观念包括:
了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究,收集数据,通过分析作出判断,体会数据中是蕴涵信息的;了解对于同样的数据可以有多种分析的方法,需要根据问题的背景选择合适的方法;通过数据分析体验随机性,一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的,另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
数据分析观念应该是态度目标的重要组成部分,态度目标的落实是在基本知识、基本技能的教学过程中完成的,一定要有学生的质疑、讨论分析、探究交流等过程,否则就是“说教”,很难使学生产生积极的情绪、情感,态度的形成也就流于形式。
以概念为本,让学生充分经历前面所分析的“过程”,才能真正有态度的培养。
平均数练习的新设计
基于平均数的教学改革方向,为凸显它的统计意义,在练习设计中可考虑以下设计指向:
1、每个原始数据的“贡献”
平均数作为最常用的“集中量数”,在小学往往被描述为一组数据的“整体情况”或“一般水平”。
而诸如此类的概括性指称,也能用于其它的集中量数。
那么,平均数有别于中位数、众数的最本质特点是什么呢?
与中位数、众数相比,平均数最大的特点是它的敏感性。
由于它是每个数据都参与运算的结果,因此任何一个数据的微弱改变,都会影响到平均数。
而中位数(排序的结果)与众数(统计频次的结果)都不具有这样的特点。
所以,平均数在统计学中的地位,往往是其他集中量数所不及的。
其实,选用集中量数,主要不是根据数据,而是根据需要。
举一个简单的例子:
数学测验后的统计分析,无论个别学生的成绩多么极端,我们总是算平均分。
这不仅是因为习惯,更重要的原因是进一步统计分析的需要。
比如算标准差、标准分,或者对前后两次测验的某些样本组进行差异显著性检验等,目前常用的统计公式都要用到平均数。
但如果是为了让家长了解孩子的成绩是中等偏上还是中等偏下,那么满足这种需要的最佳选择就是告知中位数。
孩子的分数高于中位数,就是中等偏上;低于中位数,就是中等偏下。
对于小学生来说,我们可以通过具体的实例,让他们初步感悟,每个原始数据对平均数都有贡献,都会对平均数产生影响。
例如:
某次40人的测验,平均分为87.2分。
教师发卷后,有一个学生指出他的得分少算了十分。
该次测验的实际平均分是多少?
不难引导学生想到简便算法:
10÷40+87.2=0.25+87.2=87.45。
还可以进一步启发学生注意:
任何一个学生的成绩相差1分,40人的平均成绩就相差0.025分。
平均数的“敏感性”,已尽在不言中。
2、极端原始数据的“干扰”
我们经常以平均数容易受极端原始数据的干扰为理由,为引进中位数、众数制造“借口”。
事实上,极端数据的干扰,恰恰是平均数的敏感性使然。
平均数的“优点”与“缺点”源于它的同一特点。
尽管如此,我们还是可以凭借典型的现实情境,让学生看到极端数据的干扰与相应的对策。
例如:
歌唱比赛7名评委对甲乙两名参赛选手的评分是:
甲9.1,9.0,8.6,8.5,8.3,8.3,3.5;乙9.8,9.4,8.9,8.8,8.7,8.7,7.3。
分别计算7名评委的平均分和去掉最高分、最低分后的平均分。
比较两名选手的两个平均分,你有什么想法?
计算结果是:
甲7名评委的平均分是7.9分,去掉最高分、最低分后的平均分是8.54分;
乙7名评委的平均分是8.8分,去掉最高分、最低分后的平均分是8.9分;
显然,去掉最高分、最低分对甲选手影响比较大,对乙选手影响比较小。
通过观察数据,学生就会发现,有一位评委给甲的评分太低,给乙的评分比较正常。
由此可见,在常态下(无异常数据),因为最高分、最低分本来就会“移高补低”、相互抵消,所以去掉或不去掉两端的分数,差别不大。
实际上,很多赛事的评分规则之所以要去掉最高分、最低分,除了期望降低极端分数的影响之外,更主要的作用是心理制约,即让评委明白,刻意抬高、压低分数是徒劳的。
3、原始数据权重的“影响”
出示问题:
学校田径队男生的平均体重是42千克,女生的平均体重是38千克。
全体队员的平均体重可能是多少?
先让学生猜想,学生首先想到可能是42和38的平均数。
然后小组讨论,再全班交流,得出:
当男女队员人数相等时,是(42+38)÷2=40;当男生人数更多时,在40~42之间;当女生人数更多时,在38~40之间。
五年级学生一般都能通过讨论、交流,自行获得并理解上述三种情况下的结论。
4、平均数的推算(移多补少)
小学数学教师往往把“移多补少”作为平均数意义的直观描述,是不无道理的。
因为在统计学中,平均数的定义就是它的算法:
把n个数的总和除以n,所得的商叫做这n个数的平均数。
如此计算的实际效果,用“移多补少”来比喻,还是比较形象的,也适合小学生的理解水平。
确切的说,移多补少是平均数的一种直观求法。
当数据比较简单、个数不多时,可以通过观察,“削峰填谷”,求出这组数据的平均数。
引进移多补少的说法,对于开拓学生解决平均数问题的思路,常常是有益的。
例如,小雅的语文成绩比语、数、英三科平均分低7.5分,数学成绩比三科平均分高9分。
小雅的英语成绩比数学成绩低多少分?
学生有了移多补少的说法,就比较容易推算:
三门学科,数学比平均分高9分,语文比平均分低7.5分,移多补少,还多1.5分,是补给英语的,说明英语比平均分低1.5分,所以英语比数学低(1.5+9)分。
这样的练习题很多,选择一二,供学有余力的学生选做,比较合适。
5、用样本平均数估计总体
平均数的重要用途之一,就是用样本平均数估计、推断总体平均数。
这可以通过适当的练习题加以渗透。
例如,
一箱苹果共48个,随意取出5个称出重1260克。
这箱苹果大约重多少?
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