届高三数学一轮第六章 不等式推理与证明 第3节.docx
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届高三数学一轮第六章不等式推理与证明第3节
第六章第3节
[基础训练组]
1.设A={(x,y)|x,y,1-x-y是三角形的三边长},则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )
解析:
A [由已知得即]
2.(导学号14577524)已知O为坐标原点,A(1,2),点P的坐标(x,y)满足约束条件则z=·的最大值为( )
A.-2 B.-1
C.1D.2
解析:
D [如图作可行域,
z=·=x+2y,显然在B(0,1)处zmax=2.故选D.]
3.(导学号14577525)(2018·海口市模拟)已知实数x,y满足,则z=3x-y的取值范围为( )
A.B.
C.D.
解析:
A [画出的可行域,如图所示.
由解得A(1,3),由
解得B.
把z=3x-y变形为y=3x-z,则直线经过点A时z取得最小值;经过点B时z取得最大值.
所以zmin=3×1-3=0,zmax=3×-=.
即z的取值范围是.故选A.]
4.(导学号14577526)(理科)(2018·日照市一模)已知变量x,y满足,则z=()2x+y的最大值为( )
A.B.2
C.2D.4
解析:
D [作出不等式组所对应的平面区域如图(阴影部分):
设m=2x+y得y=-2x+m,平移直线y=-2x,
由图可知当直线y=-2x+m经过点A时,
直线y=-2x+m的截距最大,此时m最大.
由解得即A(1,2),
代入目标函数m=2x+y得z=2×1+2=4.
即目标函数z=()2x+y的最大值为z=()4=4.故选D.]
4.(导学号14577527)(文科)(2018·太原市三模)设实数x,y满足约束条件,则23x+2y的最大值是( )
A.64B.32
C.2D.1
解析:
B [设z=3x+2y,由z=3x+2y得y=-x+.
作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分).
平移直线y=-x+由图象可知当直线y=-x+经过点B时,直线y=-+的截距最大,此时z也最大.
由,解得,即B(1,1),
代入z=3x+2y,得z=3×1+2×1=5.
则23x+2y的最大值是25=32,故选B.]
5.(导学号14577528)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( )
A.1800元B.2400元
C.2800元D.3100元
解析:
C [设生产甲产品x桶,乙产品y桶,每天利润为z元,
则z=300x+400y.
作出可行域,如图阴影部分所示.
作直线300x+400y=0,向右上平移,过点A时,
z=300x+400y取最大值,
由得
∴A(4,4),
∴zmax=300×4+400×4=2800.]
6.(导学号14577529)(2018·怀化市二模)若x,y满足,则点(x,y)所在的平面区域的面积为 ________ .
解析:
x、y满足的可行域如图三角形ABO,
则A(1,2),B(3,1),C(5,0),所求三角形的面积为S△AOC-S△OBC=×5×2-×5×1=.
答案:
7.(导学号14577530)若不等式组,表示的平面区域的面积为3,则实数a的值是 ________ .
解析:
作出可行域,如图中阴影部分所示,区域面积S=××2=3,解得a=2.
答案:
2
8.(导学号14577531)(2018·天门市5月模拟)如果实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx-y的最大值为6,最小值为0,则实数k的值为 ________ .
解析:
由约束条件作出可行域如图.
联立,得C(1,2).
由题意可知,使目标函数取得最大值的最优解为B(3,0),取得最小值的最优解为C(1,2),
则,解得k=2.
答案:
2
9.(导学号14577532)已知关于x,y的二元一次不等式组求函数z=x+2y+2的最大值和最小值.
解:
作出二元一次不等式组表示的平面区域,如图所示.
由z=x+2y+2,得y=-x+z-1,得到斜率为-,在y轴上的截距为z-1,随z变化的一组平行线,
由图可知,当直线经过可行域上的A点时,截距z-1最小,即z最小,
解方程组得A(-2,-3),
∴zmin=-2+2×(-3)+2=-6.
当直线与直线x+2y=4重合时,截距z-1最大,
即z最大,∴zmax=4+2=6.
∴z=x+2y+2的最大值是6,最小值是-6.
10.(导学号14577533)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.
(1)若++=0,求||;
(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.
解:
(1)法一:
∵++=0,
++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),
∴解得
即=(2,2),故||=2.
法二:
∵++=0,
则(-)+(-)+(-)=0,
∴=(++)=(2,2),
∴||=2.
(2)∵=m+n,
∴(x,y)=(m+2n,2m+n),
∴
两式相减,得m-n=y-x,
令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.
[能力提升组]
11.(导学号14577544)(2018·许昌市监测)设实数x,y满足则的最小值是( )
A.-5B.-
C.D.5
解析:
B [作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示,则w=的几何意义是区域内的点P(x,y)与定点A(1,1)所在直线的斜率,由图象可知当P位于点时,直线AP的斜率最小,此时w=的最小值为=-,故选B.]
12.(导学号14577545)(2017·湖北黄冈模拟)在平面直角坐标系中,已知平面区域A={(x,y)|x+y=1,且x≥0,y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为( )
A.2B.1
C.D.
解析:
B [对于集合B,令m=x+y,n=x-y,
则x=,y=,由于(x,y)∈A,
所以有即
因此平面区域B的面积即为不等式组所以对应的平面区域的面积,画出图形可知该平面区域面积为2×=1,故选B.]
13.(导学号14577546)(2018·烟台市一模)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最小值为-6,
则k= ______ .
解析:
作出不等式组对应的平面区域(阴影部分).由z=2x+y,得y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,由图可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线y=-2x+z的截距最小,此时z最小,目标函数2x+y=-6.
由,解得,即A(-2,-2).
∵点A也在直线y=k上,∴k=-2.
答案:
-2
14.(导学号14577547)(2018·天津河北区三模)某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟.
(1)用x,y列出满足条件的数学关系式,并在坐标系中用阴影表示相应的平面区域;
(2)该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大,最大收益是多少?
解:
(1)设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,
则x,y满足的数学关系式为,
即,
作出二元一次不等式组所表示的平面区域:
(2)设公司的收益为z元,则目标函数为z=3000x+2000y.
∴y=-x+.
由图可知,当直线y=-x+经过可行域上的点A时,截距最大,即z最大.
解方程组得A(100,200),
∴zmax=3000×100+2000×200=700000.
答:
该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大,最大收益是70万元.
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