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正方形专题培优3
正方形专题培优
(1)
专题四旋转的思想与正方形问题
一利用边作为旋转的入手点
例1、如图,在正方形
中,
分别是边
上的点,满足
的周长等于正方形
的周长的一半,
分别与对角线
交于
,试问线段
、
、
能否构成三角形的三边长?
若能,指出三角形的形状,并给出证明;若不能,请说明理由。
例2、如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
(1)求证:
CE=CF;
(2)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?
为什么?
(3)根据你所学的知识,运用
(1)、
(2)解答中积累的经验,完成下列各题:
①如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB的中点,且∠DCE=45°,求DE的长;
②如图3,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC,BD=2,CD=3,求△ABC的面积。
例3、正方形ABCD中,E为直线AB上任意一点,DF⊥DE交直线BC的延长线于点F,直线EF、AC交于点H,连接DH
(1)如图1当,点E在AB上时,1、判断线段DH与EF之间的位置关系与数量关系,并证明;2、AH-HC与AE之间的数量关系,并证明;
3求证:
AB+AE=
AH
(2)当点E在AB的反向延长线上时,如图2。
1、判断线段DH与EF之间的位置关系与数量关系,并证明;
2、AH-HC与AE之间的数量关系,并证明;3求证:
AB+AE=
AH
(3)当点E在AB的延长线上时,完成图3,1、判断线段DH与EF之间的位置关系与数量关系,并证明;2、AH、HC与AE之间是否存在类似的数量关系,并证明;3、AB、AE与AH之间是否存在类似的数量关系,写出你的结论并证明
例4、已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:
EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.
问
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立?
通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).
例5
(1)已知:
如图1,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F为DC上一点,且∠1=∠2,求证:
AF=BC+FC;
(2)已知:
如图2,把三角尺的直角顶点落在矩形ABCD的对角线交点P处,若旋转三角尺时,它的两条直角边与矩形的两边BC、CD分别相交于M、N,试证:
MN2=BM2+DN2.
二利用对角线作为旋转的入手点
例1、如图,正方形OEFG绕着正方形ABCD的对角线的交点O旋转,边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N.
(1)求证:
OM=ON;
(2)设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P,连接PM.若正方形ABCD的边长为12,且PM=5,试求AM的长.
例2、如图,在正方形ABCD中,O是两对角线的交点,E、F分别为BC、CD上一点,且FC+CE=AB。
点P为△EFC的内角平分线的交点
(1)求证:
OE=OP=OF
(2)如图,线段CP,CB、EF之间存在一个等量关系式,写出你的结论,并证明。
(3)若FC=3,EF=EC+1,直接写出PC的长_____________。
例3、如图,在正方形ABCD中,点O是正方形对角线的交点,∠MON=45°。
(1)如图1,当点M在BC边上,ON与CD的延长线交于N点,写出BM、MN、CN之间的数量关系并证明你的结论。
(2)如图2,当点M在BC边上,ON与CD交于点N,写出BM、MN、CN之间的数量关系,并证明。
(3)在
(2)中,若正方形的边长为4,MC=1,求CN的长。
例4、如图,正方形ABCD中对角线AC、BD交于点O,直线a经过点A,过D作DE⊥a于E点,连接OE。
(1)如图1,当直线a在正方形内部时,求证:
AE-DE=
OE
(2)如图2,当直线a在正方形外部时,DE⊥a于E点,连接OE,写出AE、DE、OE三者之间的数量关系____________________(不证明)
(3)在
(2)的条件下,若OE=
AE:
DE=4:
3,连接BE,求线段BE的长
专题四正方形中探究问题
例1、已知正方形ABCD的边长AB=k(k是正整数),正△PAE的顶点P在正方形内,顶点E在边AB上,且AE=1.将△PAE在正方形内按图1中所示的方式,沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、…连续地翻转n次,使顶点P第一次回到原来的起始位置.
(1)如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上,那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动.图2是k=1时,△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图.请你探索:
若k=1,则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n=_________时,顶点P第一次回到原来的起始位置;
(2)若k=2,则n=__________时,顶点P第一次回到原来的起始位置;若k=3,则n=时,顶点P第一次回到原来的起始位置;
(3)请你猜测:
使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系(请用含k的代数式表示n).
例2、
(1)如图1,正方形CGEF的边上有一点D,以CD为边在外部作正方形CDAB。
连接AE取线段AE的中点M.试探究线段MD、MF的关系,并加以证明.
(2)将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°(如图2),其他条件不变,
(1)中的结论成立吗?
说明理由。
(3)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图3),其他条件不变.试探究线段MD、MF的关系,并加以证明.
例3、正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F.如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF.
(1)如图2,若点P在线段AO上(不与点A、O重合),PE⊥PB且PE交CD于点E.
①求证:
DF=EF;
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论;
(1)若点P在线段OC上(不与点O、C重合),PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图3并判断
(1)中的结论①、②是否分别成立?
若不成立,写出相应的结论.(所写结论均不必证明)
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1、设正方形ABCD的边CD的中点为E,F是CE的中点(图).求证:
∠DAE=
∠BAF.
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