概率统计简明教程的课后习题答案.docx

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概率统计简明教程的课后习题答案

1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A:

（1）抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A｛两次出现的面相同｝；

⑵记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A｛一分钟内呼叫次数不超过3次｝；（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A｛寿命在2000到2500小时之间｝。

解

（1）

{（,）,（,）,（,）,（,）}，A{（,

）,（,

）}.

⑵

记X为一分钟内接到的呼叫次数，则

{Xk|k0,1,2,}，

A

{Xk|k0,123}

（3）

记X为抽到的灯泡的寿命（单位：

小时）

，则

{X（0,）}，A

{X

（2000,2500）}.

2.袋中有10个球，分别编有号码1至10,从中任取1球，设A｛取得球的号码是偶数｝,B｛取得球的号码是奇数｝，C｛取得球的号码小于5｝，冋下列运算表示什么事件：

（1）AB;

（2）AB;（3）AC;⑷AC;（5）AC;（6）BC;（7）AC.

解

（1）AB是必然事件；

（2）AB是不可能事件；

（3）AC｛取得球的号码是2，4｝;

（4）AC｛取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10｝;

（5）AC｛取得球的号码为奇数，且不小于5｝｛取得球的号码为5，7，9｝;

（6）B—CBC｛取得球的号码是不小于5的偶数｝｛取得球的号码为6，8，10｝;

（7）ACAC｛取得球的号码是不小于5的偶数｝=｛取得球的号码为6，8，10｝

3.在区间［0,2］上任取一数，记A

3

2，求下列事件的表达式:

（1）AB;

（2）AB;

AB

1

3

x

x—；

4

2

Abx

0

x

1

—或1x2B

x

1

1

x-x

2

4

2

⑶AB;⑷A

B.

解

（1）

⑵

x

7

1

因为AB，所以AB

1卡3

x或—

42

Ax0

x0

x24.用事件A,B,C的

运算关系式表示下列事件:

（1）

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹

⑺

E1）;

E2）;

A出现，B,C都不出现（记为A,B都出现，C不出现（记为所有三个事件都出现（记为E3）;三个事件中至少有一个出现（记为E4）;三个事件都不出现（记为E5）;不多于一个事件出现（记为E6）;不多于两个事件出现（记为E7）;

（8）三个事件中至少有两个出现（记为E8）

解（応

ABC；

⑵E2

ABC

7

（3）E3

ABC；

⑷E4

AB

C；

⑸E5

ABC；

⑹e6

ABC

ABCABCABC；

（7）E7

ABCA

BC；（8）E8

AB

ACBC.

5.一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次

抽到废品”，i1,2,3，试用A表示下列事件：

（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品；

（2）只有第一次抽到废品；

（3）三次都抽到废品；

（4）至少有一次抽到合格品；

（2）只有两次抽到废品。

解

（1）AA2；⑵AiA；a3；（3）AAA3；

⑷AiA?

A3；（5）AiA?

A3AiA2A3AiA2A3.

6.接连进行三次射击，设A=｛第i次射击命中｝，i1,2,3，B｛三次射击恰好命中二次｝，

C｛三次射击至少命中二次｝;试用Ai表示B和C。

解BAA2A3AiA2A3AiA2A3

CA,A2

AA3

A2A3

习题二解答

1.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。

这是不放回抽取，样本点总数

50

，记求概率的事件为A，则有利于A的样本点数

3

45k

2

455

21

50

3

一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后,

P（A）

n

454453!

99

5049482!

392

2.

再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。

求

（1）

（2）

（3）

（4）

解

第一次、第二次都取到红球的概率；

第一次取到红球，第二次取到白球的概率;二次取得的球为红、白各一的概率；第二次取到红球的概率。

本题是有放回抽取模式，

样本点总数

72•记

（1）

（2）（3）⑷题求概率的事件分别为

a,b,c,d.

（i）有利于A的样本点数kA

52，故P（A）

25

49

（ii）有利于B的样本点数kB

52，故P（B）

5210

7249

20

（iv）有利于D的样本点数kD75，故

P（D）

72

35

49

3.一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取小号码是3的概率；

（2）最大号码是3的概率。

2只球，试求：

⑴最

解本题是无放回模式，样本点总数n65.

（i）最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只，且有一次抽到3,因而有利

样本点数为23，所求概率为

（ii）最大号码为3,只能从1,2,3号球中取，且有一次取到

3,于是有利样本点数为22,

所求概率为

2

15

（逍）有利于C的样本点数kc252，故P（C）49

4.一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次,

每次取1只，试求下列事件的概率：

（1）2只都合格；

（2）1只合格，1只不合格；

（3）至少有1只合格。

解分别记题

（1）、

（2）、（3）涉及的事件为A,B,C，贝U

4

P（A）

24

3

2

2

66

5

2

5

2

42

P（B）

11

4

2

2

8

6

6

5

15

2

注意到CAB，且A与B互斥，因而由概率的可加性知

P（C）P（A）P（B）

2_814

51515

5.掷两颗骰子，求下列事件的概率：

（1）点数之和为7;

（2）点数之和不超过5;（3）点数之和为偶数

解分别记题

（1）、

（2）、（3）的事件为A,B,C,样本点总数n62

（i）A含样本点（2,5）,（5,2）,（1,6）,（6,1）,（3,4）,（4,3）

P（A）

（i）B含样本点（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（3,1）,（1,4）,（4,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）

P（B）

10_5

6218

（込）C含样本点（1,1）,（1,3）,（3,1）,（1,5）,（5,1）;（2,2）,（2,4）,（4,2）,（2,6）,（6,2）,（3,3）,（3,5）,（5,3）;（4,4）,（4,6）,（6,4）;（5,5）;（6,6）,一共18个样本点。

181

P（C）

362

6.把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，

试求这三名学生住不同宿舍的概率。

P（A）

7.

（1）

⑵

⑶

记求概率的事件为A，样本点总数为53，而有利A的样本点数为543，所以54312

5"25.

总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：

事件A:

“其中恰有一位精通英语”；事件B:

“其中恰有二位精通英语”；事件C:

“其中有人精通英语”

5

3

样本点总数为

（1）

P（A）

P（B）

3

2

5—

3

23

21

5

3

AB，

233!

543

33!

543

P（C）

P（A）

且A与B互斥，

33

P（B）

51010

因而

9

8.

角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线1解记求概率的事件为A，则SA

为图中阴影部分，而||1/2，

2

11215

22329

设一质点一定落在xOy平面内由x轴、y轴及直线sx

y1所围成的三角形内，而落在这三1/3的左边的概率。

5_

18最后由几何概型的概率计算公式可得

|Sa|

ISAI5/185

y

1/3

O

图2.3

⑸P（AB）.

解

（1）P（A）

1P（A）

10.40.6，P（B）1P（B）1

0.60.4;

（2）P（AB）P（A）P（B）

P（AB）P（A）P（B）P（A）P（B）

0.6;

⑶P（AB）

P（A）

0.4;

⑷P（BA）

P（A

B）P（）

0,P（AB）P（AB）1P（AB）10.60.4;

⑸P（AB）

P（B

A）0.6

0.40.2.

11.设A,B是两个事件，

已知P（A）0.5，P（B）0.7，P（A

B）0.8，试求P（A

B）及P（BA）.

解

注

意到

P（AB）P（A）P（B）P（AB）

，因而P（AB）P（A）P（B）

P（AB）

0.5

0.70.8

0.4.于是，P（AB）P（AAB）

P（A）P（AB）

0.50.40.1;

P（BA）

P（B

AB）P（B）P（AB）0.70.40.3.

0.6，求

0.4，P（B）

B）；（3）P（AB）；（4）P（BA）,P（AB）；

P（A）.

||1/29

9.（见前面问答题2.3）

10.已知AB，P（A）

（1）P（A）,P（B）;

（2）P（A

习题三解答

1.已知随机事件A的概率P（A）0.5，随机事件B的概率P（B）0.6，条件概率P（B|A）0.8,试求P（AB）及P（AB）.

解P（AB）P（A）P（B|A）0.50.80.4

P（AB）P（A__）1P（AB）1P（A）P（B）P（AB）

10.50.60.40.3

2.一批零件共100个,品的概率。

次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正

解p10990

1009998

819

99981078.

3.某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项投资都做的概

率为0.19

（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？

（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？

解记A｛基金｝，B｛股票｝，贝UP（A）0.58,P（B）0.28,P（AB）0.19

（1）

P（B|A）

P（AB）

0.19

0.327.

P（A）

0.58

P（AB）

0.19

⑵

P（A|B）

0.678.

P（B）

0.28

4.

给定P（A）

0.5,P（B）0.3,P（AB）

0.15,:

验证下面四个等式：

P（A|B）

P（A）,

P（A|B）

P（A）,P（B|A）

P（B）,P（B|A）P（B）.

解

P（A|B）

P（AB）

0.15

1

-P（A）

P（B）

0.3

2

P（A|B）

P（AB）

P（A）

P（AB）

0.50.15

0.35

0.5P（A）

P（B）

1

P（B）

0.7

0.7

P（B|A）

P（AB）

0.15

0.3P（B）

P（A）

0.5

P（B|A）

P（AB）

P（B）

P（AB）

0.30.15

0.15

P（B）

P（A）

1

P（A）

0.5

0.5

5.

有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为

0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火车,

迟到的概率是0.25,若坐船，迟到的概率是0.3,若坐汽车，迟到的概率是0.1,若坐飞机则不会迟到。

求他最后可能迟到的概率。

4解B｛迟到｝,A｛坐火车｝,人｛坐船｝,A3｛坐汽车｝,A｛乘飞机｝，则BBAi,

i1

且按题意

P（B|AJ0.25,P（B|A2）0.3,P（B|A3）0.1,P（B|A4）0.

由全概率公式有：

4

P（B）P（A）P（B|AJ0.30.250.20.30.10.10.145

i1

6.已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。

求下列事件的概率：

（1）随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；

（2）合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。

解

（1）记B｛该球是红球｝,A1｛取自甲袋｝,A2｛取自乙袋｝，已知P（B|A）6/10,

P（B|A?

）8/14，所以

P（B）P（AJP（B|AJP（A2）P（B|A2）

10

14

41

70

147

（2）P（B）

2412

7•某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,

40%,各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%,求该厂产品的次品率。

解0.250.050.350.040.40.02

0.01250.01400.0080.03453.45%

8.发报台分别以概率0.6，0.4发出"?

"和""，由于通信受到干扰，当发出"?

"时，分别以概率0.8和0.2收到"?

"和""，同样，当发出信号""时，分别以0.9和0.1的概率收到""和"?

"。

求

（1）收到信号"?

"的概率；

（2）当收到"?

"时，发出"?

"的概率。

解

（1）

9.

记B｛收到信号"?

"｝，A｛发出信号"?

"｝

P（B）P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）

0.60.80.40.10.480.040.52

P（A）P（B|A）0.60.812

P（A|B）.

P（B）0.5213

设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，

40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间A,B,C生产的概率。

解为方便计，记事件A,B,C为代B,C车间生产的产品，事件D｛次品｝，因此

P（D）P（A）P（D|A）P（B）P（D|B）P（C）P（D|C）

0.250.050.350.040.40.02

0.01250.0140.0080.0345

P（A）P（D|A）

0.250.05

P（D）

0.0345

0.362

P（B）P（D|B）

0.350.04

P（D）

0.0345

0.406

P（C）P（D|C）

0.40.02

0232

P（D）

0.0345

P（A|D）

P（B|D）

P（C|D）

10.

设A与B独立，且P（A）

p,P（B）q,求下列事件的概率：

P（A

解

P（A

B）

P（A）P（B）

P（A）P（B）

pqpq

P（A

B）

P（A）P（B）

P（A）P（B）

p1qp（1q）1q

P（A

B）

P（AB）1

P（A）P（B）1

pq

B），P（AB），P（AB）.

pq

11.已知A,B独立，且P（AB）1/9,P（AB）P（AB），求P（A）,P（B）.解因P（AB）P（AB），由独立性有

P（A）P（B）P（A）P（B）

从而P（A）P（A）P（B）P（B）P（A）P（B）导致P（A）P（B）

再由P（AB）1/9，有1/9P（A）P（B）（1P（A））（1P（B））（1P（A））2所以1P（A）1/3。

最后得到P（B）P（A）2/3.

12.甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2,2/3,求目标

被命中的概率。

3

解记B｛命中目标｝,A｛甲命中｝,A2｛乙命中｝,A3｛丙命中｝，贝UBAi,因

3

P（B）1PA

i1

1P（A）P（A2）P（A3）

9.

13.设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为p，求这个装置通达的概率。

假定各个元件通达与否是相互独立的。

解记A｛通达｝，

A｛元件i通达｝，i1,2,3,4,5,6则AA1A2A3A4A5A6，所以

1I图3.11

P（A1A2A5A6）P（A1A2A3A4A5A6）

P（A）P（AA2）p（A3A0p（A5A6）

P（A1a2A3A4）卩（人人4乓代）3（1p）23（1p）4（1p）6

14.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五

个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。

5

解p（0.2）3（0.8）20.0512.

3

15.灯泡耐用时间在一个坏了的概率。

1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用

1000小时以后最多只有

3解p3（°.2）3

依假设19P

27

所以，（1p）3

0.8（0.2）20.0080.0960.104.

16.设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27,求事件A在每次试验中出现的概率P（A）.

解记A｛A在第i次试验中出现｝，i1,2,3.pP（A）

33

A1P（A1A2A3）1（1p）

i1

—，此即p1/3.

27

17.加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。

解注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。

记A｛第i道工序为次品｝，i1,2,3.则次品率

3__

pPAi1P（A1）P（A2）P（A3）10.980.970.9510.903070.097

i1

18.三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4.求此密码被译出的概率。

解记A｛译出密码｝，A｛第i人译出｝，i1,2,3.贝U

3___

P（A）PA1P（A；）P（A；）P（A；）

1

10.750.650.610.29250.7075

19.将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？

有4次至6次出

现正面的概率是多少？

解

（1）:

210

63；

256；

6101

T,各电梯正在运行的概率均为

0.75,

20.某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻求：

（1）在此时刻至少有1台电梯在运行的概率;

（2）在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；

（3）在此时刻所有电梯都在运行的概率

255解

（1）1（10.75）41（0.25）4——

256

（2）4（0.75）2（0.25）26

2

1_27

4128

⑶（0-75）4

4

3_8£

4256

习题四解答

1.下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。

（1）Pi,i0,1,2,3,4,5；

15

5i2

（2）Pi,i0,123；

6

1

（3）pi,i2,3,4,5；

4

i1

（4）pi!

」，i1,2,3,4,5。

25

解要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证Pi是否满足下列二个条件:

其一条件为Pi0,i1,2,，其二条件为pi1

i

依据上面的说明可得

（1）中的数列为随机变量的分布律;

因为P3

这是因为

59

6

5

Pi

i1

4

-0；（3）中的数列为随机变量的分布律;

6

却1。

25

（2）中的数列不是随机变量的分布律,

（4）中的数列不是随机变量的分布律,

2•试确定常数C,使PXi斗，i0,1,2,3,4成为某个随机变量X的分布律，并求：

PX2；

2i

16；

31；

4

解要使亍成为某个随机变量的分布律'必须有鳥X由此解得c

（2）

PX2

PX

0

PX1

PX2

此1

1

1

28

31

2

4

31

1

5

1611

12

（3）

PX

P

X

1

PX

2

2

2

3124

31

3.一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3,-3,1,一球，设各个球被取到的可能性相同，

解X可能取的值为-3,1,

求取得的球上标明的数字

2,

1,1,2这样的数字。

从这袋中任取X的分布律与分布函数。

11

1-「-1，即X的分布律为

6

X

1-3

1

2

概率

1

1

1

3

2

6

X的分布函数

0

1

3

5

6

1

2

1,2,3,4,5,个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。

解依题意X可能取到的值为3,4,5,

4.一袋中有5个乒乓球，编号分别为

从中随机地取

3个，以X表示取出的3

则另两个球的只能为

1号,2号，即卩PX3

事件

1

5

3

X3表示随机取出的

1

亦；事件X

3个球的最大号码为3,

4表示随机取出的3个球的最大

号码为4,因此另外

2个球可在1、

2、3

号球中任选，此时

3

1

42345；同理可得

510

3

4

1

26

PX5

5

0.6,求击中目标的次数X

0.6k0.45k,k0,1,,5,

10

3

X的分