浙江高考一轮 第1章 第1节 集 合.docx

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浙江高考一轮第1章第1节集合

　第一章　集合与常用逻辑用语

[深研高考·备考导航]　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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[五年考情]

考点

2016年

2015年

2014年

2013年

2012年

集合的基本运算

1,5分（理）

1,5分（文）

1,5分（理）

1,5分（文）

1,5分（理）

1,5分（文）

2,5分（理）

1,5分（文）

1,5分（理）

1,5分（文）

命题及其关系

8,5分（理）

7,5分（文）

6,5分（理）

8,5分（文）

8,5分（理）

10,5分（理）

4,5分（文）

5,5分（理）

7,5分（理）

9,5分（理）

充分条件与必要条件

6,5分（文）

3,5分（文）

2,5分（理）

2,5分（文）

4,5分（理）

3,5分（文）

3,5分（理）

4,5分（文）

[重点关注]

综合近5年浙江卷高考试题，我们发现单独考查集合的运算的可能性较大，命题及其关系与充要条件是高考的必考内容，复习时应加以重视．

第一节　集　合

1．元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.

（3）集合的三种表示方法：

列举法、描述法、Venn图法．

2．集合间的基本关系

（1）子集：

若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.

（2）真子集：

若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则AB或BA.

（3）相等：

若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

（4）空集的性质：

∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3．集合的基本运算

并集

交集

补集

图形表示

符号表示

A∪B

A∩B

∁UA

意义

{x|x∈A或x∈B}

{x|x∈A且x∈B}

{x|x∈U且x∉A}

4.集合关系与运算的常用结论

（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．

（2）子集的传递性：

A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.

（3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

（4）∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）任何集合都有两个子集．（　　）

（2）已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{（x，y）|y＝x2}，则A＝B＝C.（　　）

（3）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　　）

（4）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　　）

[解析]　

（1）错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．

（2）错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝（－∞，＋∞）；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞）；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．

（3）错误．当x＝1时，不满足互异性．

（4）错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2．（教材改编）若集合A＝{x∈N|x≤

}，a＝2

，则下列结论正确的是

（　　）

A．{a}⊆AB．a⊆A

C．{a}∈AD．a∉A

D　[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2

，知a∉A.]

3．设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝（　　）

A.

B.

C.

D.

D　[∵x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3，∴A＝{x|1＜x＜3}．

∵2x－3＞0，∴x＞

，∴B＝

.

∴A∩B＝{x|1＜x＜3}∩

＝

.

故选D.]

4．（2017·金华十校第一学期调研）已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－2x－3≤0}，N＝{y|y＝－x2＋1}，则M∩（∁UN）＝（　　）

A．{x|－1≤x≤1}B．{x|－1≤x<1}

C．{x|1≤x≤3}D．{x|1

D　[依题意，M＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，N＝{y|y≤1}，故∁UN＝{y|y>1}，故M∩（∁UN）＝{x|1

5．已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________．

2　[集合A表示圆心在原点的单位圆上的点，集合B表示直线y＝x上的点，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素．]

集合的基本概念

（1）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1　　　　B．3　　　　

C．5　　　　D．9

（2）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝（　　）

A.

B.

C．0D．0或

（1）C　

（2）D　[

（1）当x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；

当x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；

当x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.

根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1,0,1,2，共5个．

（2）若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

当a＝0时，x＝

，符合题意；

当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0得a＝

，

所以a的取值为0或

.]

[规律方法]　1.研究集合问题，首先要抓住元素，其次看元素应满足的属性；特别地，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性，如题

（1）．

2．由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想，如题

（2）．

[变式训练1]　已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________.【导学号：

51062000】

　[∵A＝∅，∴方程ax2＋3x－2＝0无实根，

当a＝0时，x＝

不合题意；

当a≠0时，Δ＝9＋8a＜0，∴a＜－

.]

集合间的基本关系

（1）已知集合A＝{x|y＝

，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则（　　）

A．ABB．BA

C．A⊆BD．B＝A

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．

（1）B　

（2）（－∞，4]　[

（1）易知A＝{x|－1≤x≤1}，

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，

因此BA.

（2）当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图．

则

解得2＜m≤4.

综上，m的取值范围为m≤4.]

[规律方法]　1.B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．

2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解．

[变式训练2]　

（1）（2017·安吉质检）若集合A＝{x|x＞0}，且B⊆A，则集合B可能是（　　）

A．{1,2}B．{x|x≤1}

C．{－1,0,1}D．R

（2）（2017·宁波一中）已知集合A＝{x|

＝

，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为（　　）

A．2B．－1

C．－1或2D．2或

（1）A　

（2）A　　[

（1）因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确．

（2）由

＝

，得x＝2，则A＝{2}．

因为B＝{1，m}，且A⊆B，

所以m＝2.]

集合的基本运算

角度1　求集合的交集或并集

（1）已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）

A．5B．4

C．3D．2

（2）（2017·嘉兴调研）设集合M＝{x|x2＝x}，

N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝（　　）【导学号：

51062001】

A．[0,1]B．（0,1]

C．[0,1）D．（－∞，1]

（1）D　

（2）A　[

（1）集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．

（2）M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lgx≤0}＝{x|0

角度2　集合的交、并、补的混合运算

（1）（2016·浙江高考）已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3），Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）＝（　　）

A．[2,3]

B．（－2,3]

C．[1,2）

D．（－∞，－2]∪[1，＋∞）

（2）（2017·嘉兴期末测试）已知全集U＝R，集合A＝

，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）

图111

A．{x|x≤0}

B．{x|2≤x≤4}

C．{x|0

D．{x|0≤x<2或x>4}

（1）B　

（2）D　[

（1）

（1）∵Q＝{x∈R|x2≥4}，

∴∁RQ＝{x∈R|x2<4}＝{x|－2

∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，

∴P∪（∁RQ）＝{x|－2

（2）因为A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，则阴影部分表示的集合∁A（A∩B）＝{x|0≤x<2或x>4}，故选D.]

[规律方法]　1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性，然后利用交集和并集的定义求解．

2．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．

易错警示：

在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定要先考虑∅是否成立，以防漏解．

[思想与方法]

1．在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，对求出的字母的值，应检验是否满足集合元素的互异性，以确保答案正确．

2．求集合的子集（真子集）个数问题，需要注意的是：

首先，过好转化关，即把图形语言转化为符号语言；其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决．

3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn图求解．

（1）对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围，关键在于转化成关于参数的方程或不等式关系．

（2）对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的又一体现．

[易错与防范]

1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简．

2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，以防漏解．

3．解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．

4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．

课时分层训练

（一）　集　合

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|（x＋1）（x－2）＜0，x∈Z}，则A∪B＝（　　）

A．{1}　　　　B．{1,2}

C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}

C　[B＝{x|（x＋1）（x－2）＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}．又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．]

2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则（　　）【导学号：

51062002】

A．A＝B　　　　　　　B．A∩B＝∅

C．ABD．BA

D　[∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1∉B，∴BA.]

3．（2017·湖州模拟）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）

A．1　　　　B．2　　　　

C．3　　　　D．4

D　[由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，

∴A＝{1,2}．

由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．]

4．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝（　　）

A．（－1,1）B．（0,1）

C．（－1，＋∞）D．（0，＋∞）

C　[由已知得A＝{y|y>0}，B＝{x|－1－1}．]

5．（2017·杭州第一次质检）设集合A＝{x|x2－2x≥0}，B＝{x|－1

A．{x|－1≤x≤0}B．{x|0

C．{x|－1

B　[因为A＝{x|x≥2或x≤0}，所以∁RA＝{x|0

6．若x∈A，则

∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝

的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（　　）【导学号：

51062004】

A．1B．3

C．7D．31

B　[具有伙伴关系的元素组是－1，

，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：

{－1}，

，

.]

7．设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则集合（∁RS）∪T＝（　　）

A．（－2,1]B．（－∞，－4]

C．（－∞，1]D．[1，＋∞）

C　[∵S＝{x|x＞－2}，∴∁RS＝{x|x≤－2}，

又T＝{x|－4≤x≤1}，

∴（∁RS）∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]

二、填空题

8．已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.

【导学号：

51062005】

（－∞，1]　[∵1∉{x|x2－2x＋a＞0}，

∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.]

9．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝________.

{1,4}　[因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；

当x＝2时，y＝3×2－2＝4；

当x＝3时，y＝3×3－2＝7；

当x＝4时，y＝3×4－2＝10.

即B＝{1,4,7,10}．

又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．]

10．集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|y＝lg[x（x＋1）]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________.【导学号：

51062006】

[－1,0）　[由x（x＋1）＞0，得x＜－1或x＞0，

∴B＝（－∞，－1）∪（0，＋∞），

∴A－B＝[－1,0）．]

B组　能力提升

（建议用时：

15分钟）

1．设集合A＝

，B＝

，则（∁RA）∩B＝

（　　）

A．{x|－1≤x≤1}B．{x|－1＜x＜1}

C．{－1,1}D．{1}

C　[集合A＝

＝{x|－1＜x＜1}，B＝

＝{x|－1≤x≤1}，

∴∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}．

因此（∁RA）∩B＝{－1,1}．]

2．（2017·诸暨调研）设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是（　　）

图112

A．[0,1]

B．（－∞，－1]∪[2，＋∞）

C．[－1,2]

D．（－∞，－1）∪（2，＋∞）

D　[A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cosx，x∈R}＝[－1,1]．

图中阴影部分表示∁U（A∪B）＝（－∞，－1）∪（2，＋∞）．]

3．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．

（－∞，－2]　[由4≤2x≤16，得2≤x≤4，则A＝[2,4]，又B＝[a，b]，且A⊆B.

∴a≤2，b≥4，故a－b≤2－4＝－2.

因此a－b的取值范围是（－∞，－2]．]

4．设集合A＝{x|x2－x－6＜0}，B＝{x|x－a≥0}．若存在实数a，使得A∩B＝{x|0≤x＜3}，则A∪B＝________.

{x|x＞－2}　[A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x≥a}．

如图，由A∩B＝{x|0≤x＜3}，得a＝0，A∪B＝{x|x＞－2}．]