人教版八年级第二学期数学平行四边形练习2.docx
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人教版八年级第二学期数学平行四边形练习2
题型1运用平行四边形的性质求其角或边的大小
(1)在□ABCD中,∠A:
∠B=2:
3,求各角的度数.
(2)已知□ABCD的周长为28,AB:
BC=3:
4,求它的各边的长.
点拨:
本题考查了平行四边形邻角互补、对角相等,对边相等,关键要记住平行四边形的性质.
题型2运用平行四边形的性质进行推理论证
如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于O,EF过O与AD、CB分
别相交于E、F,求证:
OE=OF
点拨:
此题考查了平行四边形的对边平行、对角线互相平分的性质.
如图,在□ABCD中,点E、F分别在BC、AD上
,且∠1=∠2.
求证:
AE∥FC
点拨:
此题运用了平行四边形的对角相等、对边相等、对边平行的性质.
题型3运用平行四边形的判定性质进行推理论证计算
如图,E、F是□ABCD的对角线AC上的两点,且AF=EC.试说
明DE=BF
方法归纳作平行四边形的对角线为辅助线是证题的常用方法.大家一定要重视平行四边形的对角线的作用。
由于它们的长短、位置不同,就会得到不同的特殊四边形
如图,在□ABCD中,点E、F在AC上,且AF=CE,点G、H分别在
AB、CD上,且AG=CH,AC和cH相交于点O.
求证:
(1)EG∥FH;
(2)GH、EF互相平分。
点拨:
用平行四边形的判定和性质可解决有关角相等或互补、线段相等或倍分、两直线平行等问题。
一般是先判定一个四边形是平行四边形,然后用平行四边形的性质解决有关问题.能用平行四边形证明的问题最好不用三角形全等去证明.
已知△ABC的边AB=3,AC=6.求BC边上的中线AD的取值范围.
方法归纳:
与三角形的中线有关的问题,常将中线延长一倍,能构成平行四边形,就能利用平行四边形的有关知识去解决问题。
题型4与平行四边形面积有关的问题
如图,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若∠EAF=60°,
BE=2,DF=3,求AB、BC的长及□ABCD的面积.
点拨:
本题除了应用平行四边形的性质及勾股定理外,还应用了“直角三角形中,30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”这个直角三角形的性质
题型5三角形中位线定理的应用
如图,四边形ABCD四边上的中点分别足E、F、G、H
求证:
四边形EFGH为平行四边形.
方法归纳遇到中点时.常常构造三角形,应用三角形中位线定理的有关知识解决问题.
以□ABCD的两邻边BC、CD为边向外作等边△BCP和△CDQ.
求证:
△APQ为等边三角形.
点拔:
本题综合考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的定义、性质等.
如图,田村有一口呈四边形的池塘,在它的四个角处各种有一棵大核桃树.田村准备开挖池塘养鱼,想把池塘面积扩大一倍,又想保持核桃树不动,并要求扩建后池塘成平行四边形形状,请问田村能否实现这一设想?
若能请你设计并画出图形;若不能,请说明理由.能设计成矩形吗?
已知四边形ABCD,从①AB∥CD;②AB=CD;③AD∥BC;④AD=BC;⑤∠A=∠C;⑥∠B=∠D.从中取两个条件加以组合,能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形?
请具体写出这些组合.
如图,P是边长为10cm的等边△ABC内的任意一点.PD∥AB.PE∥BC.PF∥AC,D、E、F分别在AC.AB和BC上。
试求PD+PE+PF的值.
点拨:
本题考查了平行四边形、等边三角形的性质和判定.此题只作一条辅助线,同样也能得出结论,请你自己写出解题过程.
本章内容是中考考查的重点,热点问题是平行四边形的性质、判定的应用,进行边、角的计算或推理论证,多以填空题、选择题、证明题、综合题的形式出现.
(2006·黄冈)如图,在□ABCD中,∠DAB=60°,点E、F分别在CD、AB的延长线上,且AE=AD,CF=CB.
(1)求证:
四边形AFCE是平行四边形;
(2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°”,上述的结论还成立吗?
若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(2007·河北)若□ABCD与□EBCF关于BC所在直
线对称,∠ABE=90°,则∠F=___________________
(2005·南京)如图,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两
点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.求证:
(1)△AFD≌△CEB;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
知识要点
总结
注意问题
平行四边形的性质、判定
学习平行四边形的性质、判定
时要按照对边、对角、对角线的
顺序去理解记忆.同时平行四
边形的五种判别方法中有四种
是和性质互为逆命题的.综合
性较强的题同时用到平行四边
形的性质、判定
应用平行四边形的性
质可证明线段、角的相
等及线段的平行等,注
意寻找它们所在的平
行四边形
解题方法总结
作出对角线是平行四边形的有关问题中常用的辅助线,另外遇到中点问题常作出三角
形的中位线
基础强化
1.能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是().
A.AB∥CD,AD=BCB.∠A=∠B,∠C=∠D
C.AB=CD.AD=BCD.AB=AD,CB=CD2.在□ABCD中,点E、F分别在边BC、AD上,如果点E、F分别是由下列各种情况得
到的,那么四边形AECF不一定是平行四边形的是().
A.AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD
B.AE、CF使∠BEA=∠CFA
C.E、F分别是BC、AD的中点
3.如图,四边形ABCD与四边形CEFG均为平行四边形,
则下列等式中,错误的是().
A.∠1+∠7=180°B.∠4+∠8=180°
C.∠2+∠6=180°D.∠1+∠5=180°4.平行四边形的一个角比它的邻角的2倍还大15°,则相邻两个内
角为().
A.30°,75°B.40°,95°C.55°,125°D.50°,115°5.□ABCD的周长为60,对角线相交于点O。
△BOC的周长比△AOB的周长小8。
则
AB、BC的长为().
A.18.10B.20.12
C.34,26D.19,116.下列条件中,能判断四边形是平行四边形的是().
A.一组对角相等B.两条对角线互相垂直
c.两条对角线互相平分D.一对邻角和为180°7.从平行四边形的一个锐角的顶点引两条边的垂线,两垂线夹角为135°,由此知四
边形的四个内角分别是().
A.45°,135°,45°,135°B.50°,130°,50°,130°
c.35°,35°,135°,135°D.都不对8.平行四边形不具备的性质是().
A.对边平行B.对边平行且相等
c.对角线互相平分D.对角线垂直平分9.一个平行四边形的一边长是8,一条对角线长是6,则它的另一条对角线的取值范
围是______________10.已知等腰△ABC的一腰AC=9cm,过底边上任一点P作两腰平行线分别交AB于
M,交AC于N,则AN+PN=__________________11.已知平行四边形的周长是49cm,相邻两边长的比是2:
5,则平行四边形的相邻两
边长分别为___________12.如图,在□ABCD中,E是CD上一点,若S△AED:
S△BCE=4:
1,则S△AED:
s△ABE=___________________.
13.如图,在□ABCD中,过其对角线的交点引一直线交BC于E,交AD于
F,若AB=2.4,BC=4,OE=1.1,则四边形CDFE的周长为_________________.14.如图,在□ABCD中,AB=5,AD=8,∠BAD、∠ADC的平分线分别交BC
于E、F,则EF=______________________15.如图,在□ABCD中,E、F分别是AD、BC边上任意两点,s△APE=20,S△CDQ=30,则S阴影=___________________
16.一个四边形的边长依次是a、b、c、d,且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则此四边
形是_____________________四边形。
9.如图,在□ABCD中,E、F分别为AB、CD的中点,连接DE、EF、BF,则图中共有________个平行四边形.
18.如图,在□ABCD中,E、F是对角线BD上两点,且BE=FD,连接AE、
FC,则AE=FC,试说明理由.
19.如图,在□ABCD中,BA⊥AC,∠B=45°,AC=4,求□ABCD的面积和周长20.如图,在□ABCD中,E、F、G、H分别是四条边上的点,且满足AE=CF,
BG=DH.连接EF、GH.请说明EF和GH互相平分.
21.如图,已知在□ABCD中,CE∥BD,EF⊥AB,交BA延长线于点F,E、D、
A在一条直线上,那么有DF=
AE.请你说明理由.
22.如图,AD为△ABC的中线,E为AC上一点,连接BE
交AD于F,AE=EF,试说明BF=AC.
知识点1.矩形的定义:
有一个内角是直角的平行四边形是矩形
知识点2.矩形的性质1.具有平行四边形的一切性质.2.矩形的四个角都是直角.3.矩形的对角线相等.4.矩形是轴对称图形.
知识点3.矩形性质的作用可以证明线段相等或倍分,直线平分、角相等.
知识点4.矩形的判定方法1.定义:
有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.方法1:
有三个角是直角的四边形是矩形.3.方法2:
对角线相等的平行四边形是矩形.
知识点5.菱形的定义有一组邻过相等的乎行四边形是菱形;
知识点6.菱形的性质1.具有平行四边形的一切性质.2.菱形的四条边都相等.3.菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.4.菱形是轴对称图形.
知识点7.菱形的判定1.定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.判定方法1:
四条边都相等的四边形是菱形.3.判定方法2:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
知识点8.正方形的定义1.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2.正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.3.既是矩形又是菱形的四边形楚正方形.
知识点9.正方形的性质.正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行.2.角——四角都是直角.3.对角线——①相等;②互相垂直平分;③每条对角线平分一组对角.
4.是轴对称图形,有4条对称轴;又是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心.
知识点10.正方形的判定方法
1.一组邻边相等的矩形是正方形.
2.一个角是直角的菱形是正方形.
知识点11.正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,它们的包含关系如图.
题型1考查矩形、菱形、正方形的定义
如图,在□ABCD中,AC、BD交于O,AE⊥BC于E,EO延长线交
AD于F,求证:
四边形AECF足矩形.
点拨:
此题考查了平行四边形的性质、判定、矩形的定义等.
如图,在△ABC中,∠BAC=90°.AD⊥BC于D,CE平分∠ACB,交AD于G,交AB于E,EF⊥BC于F
求证:
四边形AEFG是菱形.
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB,试说明四边形BEDF是正方形.
题型2考查矩形、菱形的判定
如图,□ABCD的四个内角的平分线分别交于E、F、G、H四点.求证:
四边形EFGH为矩形.
如图,在□ABCD中,EF经过对角线的交点O,且EF⊥AC分别交CD、AB于E、F试说明四边形AECF是一个菱形.
题型3综合考查矩形、菱形、正方形的性质和判定
如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,点E在边DC上,且AE=AB,求∠EBC的度数.
方法归纳:
直角三角形中,有30°角时.通常用30°角所对的直角边等于斜边的一半来解题.其逆命题也成立.
如图,已知矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AE⊥BD.垂足为E,∠DAE:
∠BAE=3:
1。
那么∠EAC是多少度?
如图.E、F、G、H分别是矩形ABCD四边的中点.
求证:
四边形EFGH为菱形.
点拨:
遇到中点问题,经常创造条件应用三角形的中位线定理.
如图,四边形ABCD是正方形,△ADE是等边三角形.求∠BEC的大小.
题型4考查直角三角形斜边上的中线的性质
如图,在△ABC中,BD、CE是高,G、F分别是BC、DE的中点,试说明FG⊥DE.
方法归纳:
在直角三角形中,有斜边中点常作斜边中线.
二、综合创新探究
如图,已知在正方形ABCD中,M为AB的中点,MN⊥MD,BN平分∠CBE并交MN于N.
求证:
MD=MN
一位女士想买一条方纱巾,有一天她在商店里看到一块漂亮的纱巾,非常想买,但当她拿起来看时感觉纱巾不太方.商店老板看她犹豫不决的样子,马上过来拉起一组对角,让女士看另一组对角是否对齐(图1).女士还有些疑惑,老板又拉起另一组对角让女士检验.女士终于买下这块纱巾.你认为女士买的这块纱巾是正方形的吗?
当时采用什么方法可以检验出来?
如图,正方形ABCD中,M为BC上任一点,AN是∠DAM的平分线,交DC于N
求证:
DN+BM=AM.
给定一个正方形,将它分成大小和形状完全相同的四个部分,四名同学分别给出了分割方案:
甲:
分别连接正方形两组对边的中点.
乙:
作正方形的两条对角线.
丙:
过其中心任作两条互相垂直的直线.
丁:
作一条曲线连接正方形边上的任一点和其中心,再将这条曲线逆时针旋转90°.180°和270°.
你认为他们都能达到要求吗?
如果能达到要求,请你按分割方案画出图形.
三、相关中考信思
1.本节在中考题中的热点问题是考查矩形、菱形、正方形的性质和判定,有时和其他知识融合。
以选择题、填空题或解答题的形式出现.
2.这部分内容在今后的中考中仍属于重点考查范围,内容会更具有综合性.
(2007·金华)图家级历史文化名城——金华,风光秀丽,花木葱茏.某广场上一个形状是平行四边形的花坛。
如图,分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花.如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD,那么下列说法中错误的是().
A.红花、绿花种植面积一定相等B.紫花、橙花种植面积一定相等c.红花、蓝花种植面积一定相等D.蓝花、黄花种植面积一定相等
(2006·太原)如图,在四边形ABCD中,点E、F是对角线BD上的两点,且BE=DF
(1)若四边形AECF是平行四边形,求证:
四边形ABCD是平行四边形;
(2)若四边形AECF是菱形,那么四边形ABCD也是菱吗?
为什么?
(3)若四边形AECF是矩形,试判断四边形ABCD是否为矩形,不必写理由.
总结学习规律
知识要点
总结
注意问题
矩形,菱形、正方形的性质及
判定方法
要对照平行四边形的性质、判
定方法来学习矩形,菱形、正方
形的有关性质、判定.同时重
点记忆矩形、菱形、正方形所特
有的性质
矩形和菱形都是特殊
的平行四边形.具有平
行四边形的一切性质.
同时还有其独特的性
质.正方形同时具有矩
形和菱形的一切性质
解题方法总结
运用矩形、菱形、正方形的性质可以证明线段的相等、角的相等、线段的平行、垂直等问
题.关键要记住矩形、菱形、正方形的判定及性质.在分析已知条件的基础上,确定所应用
的定理,使问题得以解决。
基础强化
1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的性质是().
A.对角线相等B.对边相等
C.对角相等D.对角线互相平分2.下面说法中,正确的是().
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D.四个角都是直角的四边形是矩形3.能判定一个四边形是菱形的条件是().
A.对角线互相平分且相等
B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相垂直且两组对角相等
D.对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角4.四条边都相等,且对角线也相等的四边形是().
A.平行四边形B.矩形c.菱形D.正方形5.平行四边形、正方形、菱形、矩形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有().
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.如图,菱形ABCD与等边△AEF的边长相
等,且E、F分别在BC、CD上,则∠BAD的度数
是().
A.80°B.90°
C.100°D_120°
7.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一
边作菱形AEFC.则∠FAB等于().
A.22.5°B.45°
C.30°D.135°
8.如图,矩形ABCD沿AE折叠。
使D点落在BC
边上的F点处.如果∠BAF=60°,则∠DAE=().
A.15°B.30°
C.45°D.60°
9.四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,能判定
它是正方形的是().
A.AO=BO=OC=DO
B.AO=CO.BO=DO
C.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD
D.AC⊥BD.AO=BO=CO=DO
10.以线段AB的端点为顶点作位置不同的正方形,一共可
以作().
A.1个B.2个
C.3个D.4个
l】.已知正方形ABCD中,BD=16,P是AB上一点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF=________________
12.在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,M是AB的中点,
且OM=4cm,则菱形的周长为__________13.在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,∠AOB=2∠BOC,AC=20cm,则AD=_______________
14.如图,是四根木棒搭成的平行四边形框架,AB=8cm,
AD=6cm,使AB固定,转动AD,当∠DAB=___________时,□ABCD的面积最大,此时□ABCD是____________形,面积为__________________.
15.如图,菱形ABCD的一条对角线BD上一点
O,到菱形一边AB的距离OM为2,那么点O到另一边
BC的距离为____________
16.矩形的周长为28cm,它的两条对角线相交于O点,△BOC比△AOB的周长多2cm,则BC=______,AB=___________17.菱形的周长为16,相邻内角度数比为2:
1,则菱形的较短的对角线长为______________
菱形的面积为__________18.矩形的一个角的平分线分矩形的一边长为1cm和3cm两部分,则这个矩形的面
积为____________________
19.如图,某市拟在工业园内矩形区域的四个顶点
A、B、C、D处各建一个工厂,现要建造一个污水处理厂处理
这四个工厂排出的污水,如果要求这个污水处理厂到四个
工厂的距离相等,则污水处理厂应建在何处?
请在图
中确定.
20.如图,四边形ABCD是正方形,延长BC到点E,
使CE=AC,连接AE,交CD于F,求∠AFC的度数.
21.如图,正方形ABCD中,AC与BD相交于O,E、F分别是DB、BD延长线
上的点,且BE=DF,试说明∠E=∠F
22.如图,已知矩形ABCD的对角线相交于点O,PD∥AC,PC∥BD,PD、PC
相交于点P,请猜想四边形PCOD是什么特殊的四边形,并说明理由.
23.如图,已知正方形ABCD中,BE∥AC,AE=AC,试说明CE=CF.
24.如图,菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠B=∠EAF=
60°.∠BAE=18°,求∠CEF的度数.
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