初中数学组卷因式分解.docx
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初中数学组卷因式分解
初中数学组卷因式分解
一.选择题(共12小题)
1.分解因式:
16﹣x2=( )
A.(4﹣x)(4+x)B.(x﹣4)(x+4)C.(8+x)(8﹣x)D.(4﹣x)2
2.把多项式x2﹣6x+9分解因式,结果正确的是( )
A.(x﹣3)2B.(x﹣9)2C.(x+3)(x﹣3)D.(x+9)(x﹣9)
3.把8a3﹣8a2+2a进行因式分解,结果正确的是( )
A.2a(4a2﹣4a+1)B.8a2(a﹣1)C.2a(2a﹣1)2D.2a(2a+1)2
4.分解因式a2b﹣b3结果正确的是( )
A.b(a+b)(a﹣b)B.b(a﹣b)2C.b(a2﹣b2)D.b(a+b)2
5.把多项式a2﹣9a分解因式,结果正确的是( )
A.a(a﹣9)B.a(a+3)(a﹣3)C.(a+3)(a﹣3)D.(a﹣3)2﹣9
6.分解因式(2x+3)2﹣x2的结果是( )
A.3(x2+4x+3)B.3(x2+2x+3)C.(3x+3)(x+3)D.3(x+1)(x+3)
7.下列因式分解正确的是( )
A.9﹣b2=(3﹣b)(3+b)B.x2﹣1=(1+x)(1﹣x)
C.a2﹣2a+2=(a﹣1)2+1D.4a2﹣8a=2a(2a﹣4)
8.在实数范围内因式分解x3﹣2x的结果是( )
A.x(x2﹣2)B.x(x﹣1)2C.x(x﹣
)(x
)D.x(x﹣
)2
9.已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,判断△ABC的形状( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
10.四边形的四条边依次是a,b,c,d,其中a,c为对边且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则这个四边形是( )
A.任意四边形B.对角线相等的四边形
C.对角线垂直的四边形D.平行四边形
11.下列因式分解错误的是( )
A.x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)B.x2+y2=(x+y)2C.x2+xy=x(x+y)D.x2+6x+9=(x+3)2
12.下列分解因式中,正确的个数为( )
①x2+2xy+x=x(x2+2y);②x2+4x+4=(x+2)2;③﹣x2+y2=(x+y)(x﹣y).
A.3个B.2个C.1个D.0个
二.填空题(共9小题)
13.多项式3a2b2﹣6a3b3﹣12a2b2c的公因式是 .
14.分解因式:
x2+xy= .
15.若ab=2,a﹣b=﹣1,则代数式a2b﹣ab2的值等于 .
16.分解因式:
2m2﹣2= .
17.阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.
例如:
(1)am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)
=m(a+b)+n(a+b)
=(a+b)(m+n)
(2)x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣(y2+2y+1)
=x2﹣(y+1)2
=(x+y+1)(x﹣y﹣1)
试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2= .
18.分解因式:
x3﹣x2﹣20x= .
19.分解因式:
x2+2(x﹣2)﹣4= .
20.分解因式:
3x3﹣12x2﹣15x= .
21.已知x﹣2y=6,x﹣3y=4,则x2﹣5xy+6y2的值为 .
三.解答题(共9小题)
22.分解因式:
16x2﹣(x2+4)2.
23.分解因式:
(9x2+y2)2﹣36x2y2.
24.在实数范围内分解因式:
(1)6q(2p+3q)+4p(3q+2p);
(2)(x2+x)2﹣(x+1)2;
(3)16x8﹣8x4+1.
25.已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数,且满足a2+b2﹣6a﹣14b+58=0
(1)求a、b的值;
(2)求△ABC的周长的最小值.
26.已知4m+n=40,2m﹣3n=5.求(m+2n)2﹣(3m﹣n)2的值.
27.阅读与思考:
整式乘法与因式分解是方向相反的变形
由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq得,x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q);
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式,
例如:
将式子x2+3x+2分解因式.
分析:
这个式子的常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,所以x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2.
解:
x2+3x+2=(x+1)(x+2)
请仿照上面的方法,解答下列问题
(1)分解因式:
x2+7x﹣18=
启发应用
(2)利用因式分解法解方程:
x2﹣6x+8=0;
(3)填空:
若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积,则整数p的所有可能值是 .
28.下面是某同学对多项式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:
设x2﹣4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2﹣4x+4)2(第四步)
请问:
(1)该同学因式分解的结果是否彻底?
(填“彻底”或“不彻底”).若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果.
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解.
29.观察下表多项式分解因式的特征,并回答问题.
1
2
3
4
多项式
常数项
一次项系数
分解因式
x2+6x+8
8=2×4
6=2+4
x2+6x+8=(x+2)(x+4)
x2﹣6x+8
8=(﹣2)×(﹣4)
﹣6=(﹣2)+(﹣4)
x2﹣6x+8=(x﹣2)(x﹣4)
x2+2x﹣8
﹣8=4×(﹣2)
2=4+(﹣2)
x2+2x﹣8=(x+4)(x﹣2)
对于二次项系数为1的二次三项式,若符合上述表中
(2)(3)栏目的特征,就可以采用表中方法进行因式分解.
(1)分解因式:
x2﹣4x﹣60;
(2)若x2+px﹣60可分解为两个一次因式的积,则整数p的值有 个.
30.能被3整除的整数具有一些特殊的性质:
(1)定义一种能够被3整除的三位数
的“F”运算:
把
的每一个数位上的数字都立方,再相加,得到一个新数.例如
=213时,则:
213
36(23+13+33=36)
243(33+63=243).数字111经过三次“F”运算得 ,经过四次“F”运算得 ,经过五次“F”运算得 ,经过2016次“F”运算得 .
(2)对于一个整数,如果它的各个数位上的数字和可以被3整除,那么这个数就一定能够被3整除,例如,一个四位数,千位上的数字是a,百位上的数字是b,十位上的数字为c,个为上的数字为d,如果a+b+c+d可以被3整除,那么这个四位数就可以被3整除.你会证明这个结论吗?
写出你的论证过程(以这个四位数为例即可).
初中数学组卷因式分解
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.(2016•百色)分解因式:
16﹣x2=( )
A.(4﹣x)(4+x)B.(x﹣4)(x+4)C.(8+x)(8﹣x)D.(4﹣x)2
【解答】解:
16﹣x2=(4﹣x)(4+x).
故选:
A.
2.(2016•长春)把多项式x2﹣6x+9分解因式,结果正确的是( )
A.(x﹣3)2B.(x﹣9)2C.(x+3)(x﹣3)D.(x+9)(x﹣9)
【解答】解:
x2﹣6x+9=(x﹣3)2,
故选A
3.(2016•聊城)把8a3﹣8a2+2a进行因式分解,结果正确的是( )
A.2a(4a2﹣4a+1)B.8a2(a﹣1)C.2a(2a﹣1)2D.2a(2a+1)2
【解答】解:
8a3﹣8a2+2a
=2a(4a2﹣4a+1)
=2a(2a﹣1)2.
故选:
C.
4.(2016•梅州)分解因式a2b﹣b3结果正确的是( )
A.b(a+b)(a﹣b)B.b(a﹣b)2C.b(a2﹣b2)D.b(a+b)2
【解答】解:
a2b﹣b3
=b(a2﹣b2)
=b(a+b)(a﹣b).
故选:
A.
5.(2016春•重庆校级期末)把多项式a2﹣9a分解因式,结果正确的是( )
A.a(a﹣9)B.a(a+3)(a﹣3)C.(a+3)(a﹣3)D.(a﹣3)2﹣9
【解答】解:
原式=a(a﹣9).
故选:
A.
6.(2016•天门模拟)分解因式(2x+3)2﹣x2的结果是( )
A.3(x2+4x+3)B.3(x2+2x+3)C.(3x+3)(x+3)D.3(x+1)(x+3)
【解答】解:
(2x+3)2﹣x2
=(2x+3﹣x)(2x+3+x)
=(x+3)(3x+3)
=3(x+3)(x+1).
故选:
D.
7.(2016春•顺义区期末)下列因式分解正确的是( )
A.9﹣b2=(3﹣b)(3+b)B.x2﹣1=(1+x)(1﹣x)
C.a2﹣2a+2=(a﹣1)2+1D.4a2﹣8a=2a(2a﹣4)
【解答】解:
A、原式=(3+b)(3﹣b),正确;
B、原式=(x+1)(x﹣1),错误;
C、原式不能分解,错误;
D、原式=4a(a﹣2),错误,
故选A
8.(2013•温岭市校级模拟)在实数范围内因式分解x3﹣2x的结果是( )
A.x(x2﹣2)B.x(x﹣1)2C.x(x﹣
)(x
)D.x(x﹣
)2
【解答】解:
原式=x(x2﹣2)=x(x﹣
)(x+
),
故选C
9.(2016•清苑县一模)已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,判断△ABC的形状( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
【解答】解:
由a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,得
a4+b2c2﹣a2c2﹣b4
=(a4﹣b4)+(b2c2﹣a2c2)
=(a2+b2)(a2﹣b2)﹣c2(a2﹣b2)
=(a2﹣b2)(a2+b2﹣c2)
=(a+b)(a﹣b)(a2+b2﹣c2)=0,
∵a+b>0,
∴a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0,
即a=b或a2+b2=c2,
则△ABC为等腰三角形或直角三角形.
故选:
D.
10.(2016春•济南校级期末)四边形的四条边依次是a,b,c,d,其中a,c为对边且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则这个四边形是( )
A.任意四边形B.对角线相等的四边形
C.对角线垂直的四边形D.平行四边形
【解答】解:
∵a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,
∴a2﹣2ac+c2+b2﹣2bd+d2=0,
∴(a﹣c)2+(b﹣d)2=0,
∴a=c且b=d,
∵a,c为对边,b,d为对边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,
∴此四边形为平行四边形.
故选:
D.
11.(2016•枣阳市模拟)下列因式分解错误的是( )
A.x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)B.x2+y2=(x+y)2C.x2+xy=x(x+y)D.x2+6x+9=(x+3)2
【解答】解:
A、x2﹣y2=(x+y)(x﹣y),正确,不合题意;
B、x2+y2,无法分解因式,故此选项正确;
C、x2+xy=x(x+y),正确,不合题意;
D、x2+6x+9=(x+3)2,正确,不合题意;
故选:
B.
12.(2016•郓城县一模)下列分解因式中,正确的个数为( )
①x2+2xy+x=x(x2+2y);②x2+4x+4=(x+2)2;③﹣x2+y2=(x+y)(x﹣y).
A.3个B.2个C.1个D.0个
【解答】解:
①x2+2xy+x=x(x2+2y+1)故此选项错误;
②x2+4x+4=(x+2)2,正确;
③﹣x2+y2=﹣(x+y)(x﹣y),故此选项错误.
故选:
C.
二.填空题(共9小题)
13.(2016春•深圳校级期中)多项式3a2b2﹣6a3b3﹣12a2b2c的公因式是 3a2b2 .
【解答】解:
∵3a2b2﹣6a3b3﹣12a2b2c=3a2b2(1﹣2aba﹣4c),
∴多项式3a2b2﹣6a3b3﹣12a2b2c的公因式是3a2b2.
故答案为:
3a2b2.
14.(2016•柳州)分解因式:
x2+xy= x(x+y) .
【解答】解:
x2+xy=x(x+y).
15.(2016•黔南州)若ab=2,a﹣b=﹣1,则代数式a2b﹣ab2的值等于 ﹣2 .
【解答】解:
∵ab=2,a﹣b=﹣1,
∴a2b﹣ab2=ab(a﹣b)=2×(﹣1)=﹣2.
故答案为:
﹣2.
16.(2015•泸州)分解因式:
2m2﹣2= 2(m+1)(m﹣1) .
【解答】解:
2m2﹣2,
=2(m2﹣1),
=2(m+1)(m﹣1).
故答案为:
2(m+1)(m﹣1).
17.(2011•遂宁)阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.
例如:
(1)am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)
=m(a+b)+n(a+b)
=(a+b)(m+n)
(2)x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣(y2+2y+1)
=x2﹣(y+1)2
=(x+y+1)(x﹣y﹣1)
试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2= (a+b)(a+b+c) .
【解答】解:
原式=(a2+2ab+b2)+(ac+bc)
=(a+b)2+c(a+b)
=(a+b)(a+b+c).
故答案为(a+b)(a+b+c).
18.(2016•黔东南州)分解因式:
x3﹣x2﹣20x= x(x+4)(x﹣5) .
【解答】解:
原式=x(x2﹣x﹣20)
=x(x+4)(x﹣5).
故答案为:
x(x+4)(x﹣5).
19.(2016•株洲模拟)分解因式:
x2+2(x﹣2)﹣4= (x+4)(x﹣2) .
【解答】解:
x2+2(x﹣2)﹣4
=x2+2x﹣4﹣4
=x2+2x﹣8
=(x+4)(x﹣2).
故答案为:
(x+4)(x﹣2)
20.(2016•潍坊三模)分解因式:
3x3﹣12x2﹣15x= 3x(x+1)(x﹣5) .
【解答】解:
原式=3x(x2﹣4x+5)
=3x(x+1)(x﹣5).
故答案为:
3x(x+1)(x﹣5).
21.(2016春•张家港市校级期中)已知x﹣2y=6,x﹣3y=4,则x2﹣5xy+6y2的值为 24 .
【解答】解:
∵x﹣2y=6,x﹣3y=4,
∴原式=(x﹣2y)(x﹣3y)=24,
故答案为:
24.
三.解答题(共9小题)
22.(2016春•门头沟区期末)分解因式:
16x2﹣(x2+4)2.
【解答】解:
原式=(4x+x2+4)(4x﹣x2﹣4)
=﹣(x+2)2(x﹣2)2
23.(2016春•九江期末)分解因式:
(9x2+y2)2﹣36x2y2.
【解答】解:
(9x2+y2)2﹣36x2y2
=(9x2+y2+6xy)(9x2+y2﹣6xy)
=(3x+y)2(3x﹣y)2.
24.(2015秋•衡阳县校级月考)在实数范围内分解因式:
(1)6q(2p+3q)+4p(3q+2p);
(2)(x2+x)2﹣(x+1)2;
(3)16x8﹣8x4+1.
【解答】解:
(1)6q(2p+3q)+4p(3q+2p)=2(2p+3q)(2p+3q)=2(2p+3q)2;
(2)(x2+x)2﹣(x+1)2;=(x2+x+x+1)(x2+x﹣x﹣1)=(x+1)2(x+1)(x﹣1)=(x+1)3(x﹣1);
(3)16x8﹣8x4+1=(4x4﹣1)=(2x2+1)(2x2﹣1)=(2x2+1)(
x+1)(
x﹣1).
25.(2016春•相城区期末)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数,且满足a2+b2﹣6a﹣14b+58=0
(1)求a、b的值;
(2)求△ABC的周长的最小值.
【解答】解:
(1)∵a2+b2﹣6a﹣14b+58=(a2﹣6a+9)+(b2﹣14b+49)=(a﹣3)2+(b﹣7)2=0,
∴a﹣3=0,b﹣7=0,
解得a=3,b=7;
(2)∵a、b、c是△ABC的三边长,
∴b﹣a<c<a+b,
即4<c<10,
要使△ABC周长的最小只需使得边长c最小,
又∵c是正整数,
∴c的最小值是5,
∴△ABC周长的最小值为3+5+7=15.
26.(2016春•东海县校级期中)已知4m+n=40,2m﹣3n=5.求(m+2n)2﹣(3m﹣n)2的值.
【解答】解:
(m+2n)2﹣(3m﹣n)2
=(m+2n+3m﹣n)(m+2n﹣3m+n)
=(4m+n)(3n﹣2m)
=﹣(4m+n)(2m﹣3n),
当4m+n=40,2m﹣3n=5时,原式=﹣40×5=﹣200.
27.(2016•临清市二模)阅读与思考:
整式乘法与因式分解是方向相反的变形
由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq得,x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q);
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式,
例如:
将式子x2+3x+2分解因式.
分析:
这个式子的常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,所以x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2.
解:
x2+3x+2=(x+1)(x+2)
请仿照上面的方法,解答下列问题
(1)分解因式:
x2+7x﹣18= (x﹣2)(x+9)
启发应用
(2)利用因式分解法解方程:
x2﹣6x+8=0;
(3)填空:
若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积,则整数p的所有可能值是 7或﹣7或2或﹣2 .
【解答】解:
(1)原式=(x﹣2)(x+9);
(2)方程分解得:
(x﹣2)(x﹣4)=0,
可得x﹣2=0或x﹣4=0,
解得:
x=2或x=4;
(3)﹣8=﹣1×8;﹣8=﹣8×1;﹣8=﹣2×4;﹣8=﹣4×2,
则p的可能值为﹣1+8=7;﹣8+1=﹣7;﹣2+4=2;﹣4+2=﹣2.
故答案为:
(1)(x﹣2)(x+9);(3)7或﹣7或2或﹣2.
28.(2016春•芦溪县期末)下面是某同学对多项式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:
设x2﹣4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2﹣4x+4)2(第四步)
请问:
(1)该同学因式分解的结果是否彻底?
不彻底 (填“彻底”或“不彻底”).若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果.
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解.
【解答】解:
(1)∵(x2﹣4x+4)2=(x﹣2)4,
∴该同学因式分解的结果不彻底.
(2)设x2﹣2x=y
原式=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=(x2﹣2x+1)2
=(x﹣1)4.
故答案为:
不彻底.
29.(2016春•沛县期中)观察下表多项式分解因式的特征,并回答问题.
1
2
3
4
多项式
常数项
一次项系数
分解因式
x2+6x+8
8=2×4
6=2+4
x2+6x+8=(x+2)(x+4)
x2﹣6x+8
8=(﹣2)×(﹣4)
﹣6=(﹣2)+(﹣4)
x2﹣6x+8=(x﹣2)(x﹣4)
x2+2x﹣8
﹣8=4×(﹣2)
2=4+(﹣2)
x2+2x﹣8=(x+4)(x﹣2)
对于二次项系数为1的二次三项式,若符合上述表中
(2)(3)栏目的特征,就可以采用表中方法进行因式分解.
(1)分解因式:
x2﹣4x﹣60;
(2)若x2+px﹣60可分解为两个一次因式的积,则整数p的值有 12 个.
【解答】解:
(1)x2﹣4x﹣60=(x﹣10)(x+6);
(2)﹣60=(±1)×60=(±2)×30=(±3)×20=(±4)×15=(±5)×12=(±6)×10,
所以p=(±1)+60或(±2)+30=或(±3)+20或(±4)+15或(±5)+12或(±6)+10,
则整数p的值有12个.
故答案是:
12.
30.(2016•重庆校级模拟)能被3整除的整数具有一些特殊的性质:
(1)定义一种能够被3整除的三位数
的“F”运算:
把
的每一个数位上的数字都立方,再相加,得到一个新数.例如
=213时,则:
213
36(23+13+33=36)
243(33+63=243).数字111经过三次“F”运算得 351 ,经过四次“F”运算得 153 ,经过五次“F”运算得 153 ,经过2016次“F”运算得 153 .
(2)对于一个整数,如果它的各个数位上的数字和可以被3整除,那么这个数就一定能够被3整除,例如,一个四位数,千位上的数字是a,百位上的数字是b,十位上的数字为c,个为上的数字为d,如果a+b+c+d可以被3整除,那么这个四位数就可以被3整除.你会证明这个结论吗?
写出你的论证过程(以这个四位数为例即可).
【解答】
(1)解:
111
3(13+13+13=3)
27(33=27)
351(23+73=351)
153(33+53+13=153)
153(13+53+33=153)
153(33+53+13=153).
故数字111经过三次“F”运算得351,经过四次“F”运算得153,经过五次“F”运算得153,经过2016次“F”运算得153.
(2)证明:
设a+b+c+d=3e(e为整数),
这个四位数可以写为:
1000a+100b+10c+d,
∴1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3(333a+33b+3c)+3e,
∴
=333a+33b+3c+e,
∵333a+33b+3c+e是整数,
∴1000a+100b+10c+d可以被3整除.
故答案为:
351,153,153,153.
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