最新北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细答案.docx

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最新北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明及详细答案

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明

一.选择题（共12小题）

1.（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中NBAC的角平分线，DEJLAB于点E,SAabc=7,DE=2,AB=4,则AC长是（）

2.（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为NABC的角平分线，L与M相交

于P点.若NA=60。

，ZACP=24°,则NABP的度数为何？

（）

3.（2014•安顺）己知等腰三角形的两边长分别为a、b,且a、b满足也三b+5+（2a+3b-13）2=0,则此等腰三

角形的周长为（）

A.7或8B.6或IOC.6或7D.7或10

4.（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1,CE=3,H是AF的中点，那么

A.2.5B.近C.g如D.2

5

.（2014•甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线,AE=4cm,△ABD的周长为14cm,则4ABC

6

.（2014•本溪一模）如图，ABC,ZC=90°,ZB=15°,AB的中垂线DE交BC于D,E为垂足，若BD=10cm,

7

.（2013•西宁）如图，已知OP平分NAOB,ZAOB=60%CP=2,CPUOA,PD^OA于点D,PEJLOB于点E.如

8.（2013•滨城区二模）如图，△ABC中，ZB=40°,AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,且NEAB：

ZCAE=3：

1,则NC等于（）

9.（2013•澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88。

，则它的顶角是（）

A.88。

或2°B.4。

或86。

C.88°或4°D.4。

或46。

10.

（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、0,连接CE,则CE的长为（）

11.（2011•成华区二模）如图，在RbABC中，ZACB=30°,CD=4,BD平分NABC,交AC于点D,则点D到

BC的距离是（）

在仆ABC中，ZC=90%AB=10,AD是^ABC的一条角平分线.若CD=3,则^ABD的

14.（2013•泰安）如图，在Rt/kABC中，ZACB=90%AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若

15.（2013•沈阳模拟）如图，△ABC的外角NACD的平分线CE与内角NABC平分线BE交于点E,若NBAC=70%则NCAE=.

16.（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,贝ljSaabo：

Sabco：

Sacao=・

................................亲斤*声品1资............................................................

17.（2012•广东模拟）在^ABC中，已知AB=AC,DE垂直平分AC,ZA=50。

，则NDCB的度数是

18.（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，ZADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接

CP,则nCPB=——一度・

三.解答题（共12小题）

19.（2014•翔安区质检）如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cnnBC=llcm＞求△ABD的周长.

20.（2014•长春模拟）如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA,E是AD的中点，CF平分NACB交AB于点F.求证：

CEJLCF.

21.（2014•顺义区一模）如图，在四边形ABCD中,ZB=ZD=90°,D

BC

22.（2013•湘西州）如图,R3ABC中,ZC=90%AD平分NCAB,

（1）求DE的长：

（2）求aADB的面积.

A

;

CZ）B

23.（2012•重庆模拟）如图，己知△ABC和△ABD均为直角三角形,求证：

CE=DE.

C

AEB

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ZC=60%BC=4,CD=3,求AB的长.

DE_LAB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.

其中NACB=ZADB=90%E为AB的中点,

5

24.（2010•攀枝花）如图所示，在△ABC中，BC>AC,点D在BC上，且DC=AC,NACB的平分线CF交AD于点F.点E是AB的中点，连接EF.

（1）求证：

EFIIBC：

（2）若△ABD的面积是6,求四边形BDFE的面积.

25.（2009•大连二模）如图，四边形ABCD中，ADllBC,ZA=90°,BD=BC,CEJLBD于点E.求证：

AD=BE.

26.（2007•宜宾）己知：

如图，在^ABC中，AB=BC,ZABC=90度.F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF,连接AE、EF和CF.

（1）求证：

AE=CF：

（2）若NCAE=30°,求NEFC的度数.

27.（2006•韶关）如图，在△ABC中，ABMC,NBAC的外角平分线交直线BC于D,过D作DEJ_AB,DF±AC分别交直线AB,AC于E,F,连接EF.

（1）求证：

EF±AD：

（2）若DEIIAC,且DE=1,求AD的长.

28.如图，RSABC中，ZC=90°,AC=6,ZA=30%BD平分NABC交AC于点D,求点D到斜边AB的距离.

..................................................................nn资木'l—......................

29.如图，在△ABC中，ZCAB=90%AB=3,AC=4,AD是NCAB的平分线，AD交BC于D,求BD的长.C

30.如图，四边形ABCD中，AB=BC,ABIICD,zD=90%AE_LBC于点E,求证：

CD=CE.

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题）

1.（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中/BAC的角平分线，DEJLAB于点E,SAAbc=7,DE=2,AB=4,则AC

长是（）

考点：

角平分线的性质.

专题：

几何图形问题.

分析：

过点D作DFJ_AC于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再根据

Saabc=Saabd+Saacd列出方程求解即可.

解答：

解：

如图，过点D作DFJ_AC于F,

・・•AD是△ABC中NBAC的角平分线，DE_LAB,

DE=DF,

由图可知，Saabc=Saabd+Saacd，

—x4x2+-ixACx2=7♦

22

解得AC=3.

故选：

A.

点评：

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.

2.（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为NABC的角平分线，L与M相交

于P点.若NA=60。

，ZACP=24°,则NABP的度数为何？

（）

考点：

线段垂直平分线的性质.

分析：

根据角平分线的定义可得NABP=ZCBP,根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP,再

根据等边对等角可得NCBP=/BCP,然后利用三角形的内角和等于180。

列出方程求解即可.

解答：

解：

•.・直线M为NABC的角平分线，

・•・ZABP=ZCBP.

•.・直线L为BC的中垂线，

BP=CP,

zCBP=zBCP,

zABP=ZCBP=ZBCP,

在△ABC中，3/ABP+NA+NACP=180。

，

即3zABP+600+24°=180%

解得NABP=32°.

故选：

c.

点评：

本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理,熟记各性质并列出关于NABP的方程是解题的关键.

3.（2014•安顺）己知等腰三角形的两边长分别为a、b,且a、b满足也&二部+5'+（2a+3b-13）2=0,则此等腰三

角形的周长为（）

A.7或8B.6或IOC.6或7D.7或10

考点：

等腰三角形的性质；非负数的性质：

偶次方：

非负数的性质：

算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系.

分析：

先根据非负数的性质求出a,b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长.

解答:

解：

•・,12a-3b+5l+（2a+3b-13）2=0,

f2a-3b+5=0

"[2a+3b-13=0，

解得产2,

lb二3

当a为底时，三角形的三边长为2,3,3,则周长为8：

当b为底时，三角形的三边长为2,2,3,则周长为7；

综上所述此等腰三角形的周长为7或8.

故选：

A.

点评：

本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握.

4

.（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=l,CE=3,H是AF的中点，那么

D.2

考点：

直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理.

专题：

几何图形问题.

分析：

连接AC、CF,根据正方形性质求出AC、CF,ZACD=ZGCF=45%再求出NACF=90。

，然后利用勾股定

理列式求出AF,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.解答：

解：

如图，连接AC、CF,

:

正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1,CE=3,

・・.AC=V^,CF=36,

zACD=zGCF=45。

，

zACF=90%

由勾股定理得，af=Vi\C2+CF2=7V22+（372）

・・,H是AF的中点，

CHjAF」x2a/^=V^.

22b

点评：

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.

5.（2014•甘井子区一模）如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线，AE=4cm,△ABD的周长为14cm,则4ABC的周长为（）

A.18cmB.22cmC.24cmD.26cm

考点：

线段垂直平分线的性质.

分析：

根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD,然后求出^ABD的周长=AB+BC,再求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解.

解答：

解：

:

DE是AC的垂直平分线，

AD=CD,

:

•&ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC,

・「AE=4cm,

AC=2AE=2x4=8cni,

△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm.

故选B.

点评：

本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键.

6.（2014•本溪一模）如图，在aABC,ZC=90°,zB=15%AB的中垂线DE交BC于D,E为垂足，若BD=10cm,

则AC等于（）

考点：

线段垂直平分线的性质：

勾股定理.

专题：

探究型.

分析：

连接AD,先由三角形内角和定理求出NBAC的度数，再由线段垂直平分线的性质可得出NDAB的度数，根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及NDAC的度数，最后由直角三角形的性质即可求出AC的长.

解答：

解：

连接AD,

「DE是线段AB的垂直平分线，BD=15,ZB=15%

AD=BD=10,

ZDAB=ZB=15。

，

zADC=ZB+zDAB=150+15°=30%

•・,ZC=90°,

AC」AD=5cm.2

故选C.

点评：

本题考查的是直角三角形的性质及线段垂宜平分线的性质，熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键.

7.（2013•西宁）如图，已知OP平分NAOB,ZAOB=60%CP=2,CPUOA,PDJLOA于点D,PEJLOB于点E.如

果点M是OP的中点，则DM的长是（）

A.2B.^2C.MD.273

考点：

角平分线的性质：

含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线：

勾股定理.

分析：

由OP平分NAOB,ZAOB=60%CP=2,CPUOA,易得△OCP是等腰三角形，ZCOP=30°,又由含30。

角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长.

解答：

解：

・・・0P平分NAOB,ZAOB=60°,

，zAOP=ZCOP=30。

，

cpiioa,

「.ZAOP=ZCPO,zCOP=zCPO,

OC=CP=2,

•；ZPCE=ZAOB=60%PEJLOB,

•・.ZCPE=30%

CE=lcP=h2

•1-PE=VcP2-CE^^,

••.OP=2PE=2\^,

•.・PDJ_OA,点M是OP的中点，

DM」OP=V^.

2b

故选：

c.

点评：

此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30。

直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

8.（2013•滨城区二模）如图，△ABC中，ZB=40。

，AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,且NEAB：

ZCAE=3：

1,则NC等于（）

考点：

线段垂直平分线的性质.

专题：

计算题.

分析：

设NCAE=x,则NEAB=3x.根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE,再根据等边对等角，得NC=ZCAE=x,然后根据三角形的内角和定理列方程求解.

解答：

解：

设NCAE=x,则nEAB=3x.

1/AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,

AE=CE.

zC=zCAE=x.

根据三角形的内角和定理，得

zc+zBAC=180°-zB,

即x+4x=140°,

x=28°.

则NC=28°.

故选A.

点评：

此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理.

9.（2013•澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88。

，则它的顶角是（）

A.88。

或2°B.4°或86°C.88。

或4°D.4°或46°

考点：

等腰三角形的性质.

分析：

分88。

内角是顶角和底角两种情况讨论求解.

解答：

解：

88。

是顶角时，等腰三角形的顶角为88。

，

88。

是底角时,顶角为180°-2x88°=4°,

综上所述，它的顶角是88。

或4。

.

故选C.

点评：

本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论.

10.（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE,则CE的长为（）

AED

考点：

线段垂直平分线的性质：

勾股定理；矩形的性质.

专题：

计算题.

分析：

根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE,设CE=x,表示出ED的长度，然后在R3CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解.

解答：

解：

:

EO是AC的垂直平分线，

AE=CE,

设CE=x,则ED=AD-AE=4-x,

在RSCDE中，CE2=CD2+ED2,

即x2=2?

+（4-x）2,

解得x=2.5,

即CE的长为2.5.

故选：

C.

点评：

本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键.

11.

（2011•成华区二模）如图，在RbABC中，ZACB=30°,CD=4,BD平分NABC,交AC于点D,则点D到

BC的距离是（）

考点：

角平分线的性质；含30度角的直角三角形：

勾股定理.

分析：

根据直角三角形两锐角互余求出NABC=60。

，再根据角平分线的定义求出NABD=NDBC=30。

，从而得到zDBC=zACB,然后利用等角对等边的性质求出BD的长度，再根据直角三角形30。

角所对的直角边等于斜边的一半求出AD,过点D作DE±BC于点E,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可.

解答:

解：

.比△ABC中，ZACB=30°,

zABC=60%

・・•BD平分NABC,

zABD=ZDBC=30°,

ZDBC=ZACB,

BD=CD=4,

在Rt/kABD中，・・・NABD=30。

AD」BD」x4=2,

22

过点D作DEJLBC于点E,则DE=AD=2.

故选B.

点评：

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30。

角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等角对等边的性质，小综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键.

12.

（2006•威海）如图，在△ABC中，NACB=100°,AC=AE,BC=BD,则NDCE的度数为（）

考点：

等腰三角形的性质.

专题：

几何图形问题.

分析：

根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程.

解答：

解：

・.AC=AE,BC=BD

设NAEC=ZACE=x。

，ZBDC=ZBCD=y。

，

.\ZA=180°-2x°,

zB=180°-2y°,

•ZZACB+ZA+ZB=180。

，

100+（180-2x）+（180-2y）=180,得x+y=140,

.\zDCE=180-（ZAEC+ZBDC）=180-（x+y）=40°.故选D.

点评：

根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180。

的定理，列出方程，解决此题.

二.填空题（共6小题）

13.（2014•长春）如图，在△ABC中，ZC=90%AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为15.

考点：

角平分线的性质.

专题：

几何图形问题.

分析：

要求aABD的而积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DEJ_AB于E.根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解.

解答：

解：

作DELAB于E.

•・・AD平分nBAC,DE±AB,DC±AC,DE=CD=3.

△ABD的面积为1x3x10=15.

2

故答案是：

15.

点评：

此题主要考查角平分线的性质：

熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键.

14.（2013•泰安）如图，在RSABC中，ZACB=90%AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若

考点：

含30度角的直角三角形：

线段垂直平分线的性质.

分析：

根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知NDBE=30。

，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度.

解答：

解：

・・・NACB=9O。

，FD±AB,

zACB=ZFDB=90°,

•・,zF=30。

，

.•.nA=nF=30。

（同角的余角相等）.

又二AB的垂直平分线DE交AC于E,

••・zEBA=ZA=30。

，

•・直角△DBE中,BE=2DE=2.

故答案是：

2.

点评：

本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形.解题的难点是推知NEBA=30。

.

5（2013•沈阳模拟）如图，△ABC的外角NACD的平分线CE与内角NABC平分线BE交于点E,若NBAC=70%则NCAE=55。

.

考点：

角平分线的性质.

分析：

首先过点E作EFJ_BD于点F,作EG_LAC于点G,作EH_LBA于点H,由△ABC的外角NACD的平分

线CE与内角/ABC平分线BE交于点E,易证得AE是NCAH的平分线，继而求得答案.解答：

解：

过点E作EFJ_BD于点F,作EG_LAC于点G,作EH_LBA于点H,

1.•△ABC的外角/ACD的平分线CE与内角NABC平分线BE交于点E,

・・・EH=EF,EG=EF,

EH=EG,

AE是NCAH的平分线，

ZBAC=70。

，

ZCAH=11O%

AzCAE=lzCAH=55°.

2

点评：

此题考查了角平分线的性质与判定.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

16.（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,贝ijabo：

Sabco：

Sacao=4：

5：

6.

考点：

角平分线的性质.

专题：

压轴题.

分析：

首先过点。

作OD_LAB于点D.作OE_LAC于点E,作OFJLBC于点E由OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF,又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60,即可求得Saabo：

Sabco：

Sacao的值.

解答：

解：

过点O作OD_LAB于点D,作OE_LAC于点E,作OFJ_BC于点F,

.,OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线，OD=OE=OF,

•・•一ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60,

ASaabo：

Sabco：

Sacao=（°AB・OD）：

（^BOOF）：

（』AOOE）=AB：

BC：

AC=40：

50：

60=4：

5：

6.

222

故答案为：

4：

5：

6.

点评：

此题考查了角平分线的性质.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

17.（2012•广东模拟）在△ABC中，已知AB=AC,DE垂直平分AC,ZA=50%则NDCB的度数是.15。

考点：

线段垂直平分线的性质：

等腰三角形的性质.

分析：

由DE垂直平分AC,ZA=50%根据线段垂直平分线的性质，易求得NACD的度数，又由AB=AC,可求得NACB的度数，继而可求得NDCB的度数.

解答：

解：

:

DE垂直平分AC,

AD=CD»

zACD=ZA=50。

，

•・・AB=AC,ZA=50%

zACB=z___4_65。

2

zDCB=ZACB-ZACD=15°.

故答案为：

15。

.

点评：

此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形