三角形的证明.docx
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三角形的证明
三角形的证明
知识点1全等三角形的判定及性质
判定定理简称
判定定理的内容
性质
SSS
三角形分别相等的两个三角形全等
全等三角形对应边相等、对应角相等
SAS
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
ASA
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
AAS
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
例1什么是全等图形?
什么是全等三角形?
全等三角形的重合的点叫?
重合的边叫?
重合的角,叫做?
例2
如图所示,△ABC≌△ADE,BC的延长线过点E,∠ACB=∠AED=105°,∠CAD=10°,∠B=50°,求∠DEF的度数。
例3
如图,△AOB中,∠B=30°,将△AOB绕点O顺时针旋转52°,得到△A′OB′,边A′B′与边OB交于点C(A′不在OB上),则∠A′CO的度数为多少?
知识点2等腰三角形的性质定理
内容
几何语言
条件与结论
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两底角相等。
简述为:
等边对等角
在△ABC中,若AB=AC,则∠B=∠C
条件:
边相等,即AB=AC
结论:
角相等,即∠B=∠C
C
例1如图1所示,在△ABC中,AC=DC=DB,∠ACD=100°则∠B等于()
B
D
A
例2如图4所示,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为()
例3如图,△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB
求∠A的度数
知识点3等腰三角形推论
推论
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相垂直,简述为:
三线合一
在△ABC,AB=AC,AD⊥BC,则AD是BC边上的中线,且AD平分∠BAC
条件:
等腰三角形中一直顶点的平分线,底边上的中线、底边上的高线之一
结论:
该线也是其他两线
例1如图,AB=AC=BE,CD为△ABC中AB边上的中线求证:
CD=
CE
例2
已知,如图所示,AB=AC,AD⊥BC于D,且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm,则AD是多少?
知识点4等腰三角形两底角的平分线相等,等腰三角形两腰上的高相等,两腰上的中线相等,底边的中点到两腰的距离相等
例1请证明等腰三角形两底角的平分线相等。
例2证明等腰三角形两腰上的高相等。
例3请证明两腰上的中线相等。
例4请证明底边的中点到两腰的距离相等。
知识点5等边三角形的性质定理
内容
性质定理
等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60度
判定定理1
三个角都相等的三角形是等边三角形
判定定理2
有一角是60度的等腰三角形是等边三角形
例1如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于H,①求证:
△BCE≌△ACD;②求证:
CF=CH;③判断△CFH的形状并说明理由.
例2如图,点E是等边△ABC内一点,且EA=EB,△ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分∠DBC,求∠BDE的度数.(提示:
连接CE)
知识点6等腰三角形的判定定理
内容
几何语言
条件与结论
等腰三角形的判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形,简述为:
等校对等边
在△ABC中,若∠B=∠C则AC=BC
条件:
角相等,即∠B=∠C
结论:
边相等,即AB=AC
例1若△ABC的三边长是a,b,c,且满足
,则△ABC是什么三角形?
例2如图9,△ABC中,AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的角平分线,DF∥AB交AE延长线于F,则DF的长是多少?
知识点7直角三角形的两个锐角互余,两个角互余的三角形是直角三角形。
B
例1如图6在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB,DE=3.8cm,则线段BC的长是多少?
E
D
图6
A
C
例2△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,则△ABC是()
A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形
知识点8直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
例1若一个直角三角形的两边长分别是10、24,则第三边长为________。
例2在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,则
。
例3若a、b、c为△ABC的三边长,且a、b、c满足等式
。
△ABC是直角三角形吗?
请说明理由。
知识点9直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1直角三角形的两直角边分别为12和24,则斜边长为,斜边上的中线长为,斜边上的高为。
例2在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,CD=4cm,则AB=________cm.。
知识点10斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
例1如图,点B,E,C,F在同一直线上,∠A=∠D=90°,BE=FC,AB=DF。
求证:
∠B=∠F。
例2已知:
如图,AB=AC,点D是BC的中点,AB平分∠DAE,AE⊥BE,
垂足为E。
求证:
AD=AE。
.
知识点11线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。
到线段两端距离相等的店,在这条线段的垂直平分线上。
例1如图1,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
例2如图3,在Rt△ABC中,AB的垂直平分线交BC边于点E。
若BE=2,∠B=15°
求:
AC的长。
知识点12角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
在角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
例1如图,CD为Rt△ABC斜边上的高,∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F,FG⊥AB,垂足为G,则CF______FG,CE________CF.
例2如图,已知△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,求证:
D到AB、AC的距离相等.
例3如图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD.求证:
AD平分∠BAC.
课堂练习
1.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是( )
A.
80°
B.
80°或20°
C.
80°或50°
D.
20°
2.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A.
如果a>0,b>0,则a+b>0
B.
直角都相等
C.
两直线平行,同位角相等
D.
若a=6,则|a|=|b|
3.△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,最小边BC=4cm,最长边AB的长是
A.
5cm
B.
6cm
C.
7cm
D.
8cm
4.如图,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是( )
A.
∠A=∠C
B.
AD=CB
C.
BE=DF
D.
AD∥BC
5.如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于E,垂足为D.若ED=5,则CE的长为( )
A.
10
B.
8
C.
5
D.
2.5
6.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=5,BC=3,则BD的长为( )
A.
2.5
B.
1.5
C.
2
D.
1
7.如图,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE、CF相交于点D,则①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上.以上结论正确的是( )
A.
①
B.
②
C.
①②
D.
①②③
8.如图所示,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,∠BAE=∠DEC=60°,AB=3,CE=4,则AD等于( )
A.
10
B.
12
C.
24
D.
48
9.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分∠BAC.∠EBC=∠E=60°,若BE=6,DE=2,则BC的长度是( )
A.
6
B.
8
C.
9
D.
10
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:
S△ABC=1:
3.
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
12.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,2),B(0,6),动点C在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C的个数是( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
13.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且保持AD=CE.连接DE,DF,EF.在此运动变化的过程中,下列结论:
①△DFE是等腰直角三角形;
②四边形CDFE不可能为正方形,
③DE长度的最小值为4;
④四边形CDFE的面积保持不变;
⑤△CDE面积的最大值为8.
课后练习
14.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中 ___.
15.若(a﹣1)2+|b﹣2|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 _ .
16.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,DE是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,∠BAE=20°,则∠C= _________ .
17.如图,在△ABC中,BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF,DE过点I,且DE∥BC.BD=8cm,CE=5cm,则DE等于 _________ .
18.如图,圆柱形容器中,高为1.2m,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m.
19.
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,点D是BC边上的点,CD=1,将△ABC沿直线AD翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P是直线AD上的动点,则△PEB的周长的最小值是 .
20.如图,C是AB的中点,AD=BE,CD=CE.求证:
∠A=∠B.
21.
如图,两条公路OA和OB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使货站P到两条公路OA、OB的距离相等,且到两工厂C、D的距离相等,用尺规作出货站P的位置.
22.在四边形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,∠DCA=30°,CA平分∠DCB,AD=4cm,求AB的长度?
23.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证:
△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
24.
如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.
(1)求证:
CF=DG;
(2)求出∠FHG的度数.
25.已知:
如图,△ABC中,∠ABC=45°,DH垂直平分BC交AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F.
(1)求证:
BF=AC;
(2)求证:
.
26.如图,在△ABC中,D是BC是中点,过点D的直线GF交AC于点F,交AC的平行线BG于点G,DE⊥DF交AB于点E,连接EG、EF.
(1)求证:
BG=CF;
(2)求证:
EG=EF;
(3)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的结论.
27.△ABC中,AB=AC,点D为射线BC上一个动点(不与B、C重合),以AD为一边向AD的左侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,过点E作BC的平行线,交直线AB于点F,连接BE.
(1)如图1,若∠BAC=∠DAE=60°,则△BEF是 _________ 三角形;
(2)若∠BAC=∠DAE≠60°
①如图2,当点D在线段BC上移动,判断△BEF的形状并证明;
②当点D在线段BC的延长线上移动,△BEF是什么三角形?
请直接写出结论并画出相应的图形.
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