学年高中数学 第二章 函数 21 生活中的变量关系学案 北师大版必修1.docx

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学年高中数学第二章函数21生活中的变量关系学案北师大版必修1

2.1生活中的变量关系

[核心必知]

1．依赖关系和函数关系

在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有唯一确定的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系．

2．非依赖关系

在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系．

[问题思考]

1．人的身高和年龄之间的关系是函数关系吗？

提示：

人的身高和年龄之间有一定的依赖关系，但这种关系并不是函数关系，因人的身高并不单纯由人的年龄而定，还受环境、饮食等条件的影响．

2．两个具有依赖关系的变量一定具有函数关系吗？

提示：

不一定．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间有函数关系．

讲一讲　

下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？

其中哪些是函数关系？

①球的体积和它的半径；

②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；

③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；

④正三角形的面积和它的边长．

[尝试解答]　①中球的体积V与半径r间存在V＝

πr3的关系．

②中在速度不变的情况下，行驶路程S与行驶时间t之间存在正比例关系．

③中家庭收入与其消费支出间存在关系，但具有不确定性．

④中正三角形的面积S与其边长a间存在S＝

a2的关系．

综上可知①②③④中两个变量间都存在依赖关系，其中①②④是函数关系．

判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化．而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考察对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．

练一练

1．下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？

若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？

（1）将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；

（2）家庭的食品支出与电视价格之间的关系；

（3）在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．

解：

（1）冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系；

（2）家庭的食品支出与电视价格之间没有依赖关系；

（3）在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系．

综上可知，

（1）（3）中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；

（2）中两个变量不存在依赖关系．

讲一讲　

如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．

（1）上午8时的气温是多少？

全天的最高、最低气温分别是多少？

（2）大约在什么时刻，气温为0℃？

（3）大约在什么时刻内，气温在0℃以上？

两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？

[尝试解答]　

（1）上午8时气温是0℃，全天最高气温大约是9℃，在14时达到，全天最低气温大约是－2℃，在4时达到．

（2）大约在8时和22时，气温为0℃.

（3）在8时到22时之间，气温在0℃以上，变量0≤t≤24，变量－2≤θ≤9，由于图像是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的变化趋势，所以θ与t具有依赖关系，也具有函数关系．

对于这类问题，求解的关键是充分利用图像所反映的关系使其与生活中两个变量之间的变化情况相吻合，以达到用图的目的．

练一练

2．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天（0时～24时）体温的变化情况的是（　　）

解析：

选C　从亮亮的体温变化，可以看出图像应为：

早晨37℃以上

37℃（中午）

37℃以上

37℃（半夜），结合图像知，只有C项符合．

讲一讲　

口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：

　　次序

项目　　

1

2

3

4

5

6

7

8

温度（℃）

15

25

30

35

37

40

45

50

黏附力（N）

2.0

3.1

3.3

3.6

4.6

4.0

2.5

1.4

（1）请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像；

（2）根据上述数据以及得到的图像，你能得到怎样的实验结论呢？

[尝试解答]　

（1）

（2）实验结论：

①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；②当温度在37℃时，口香糖的黏附力最大．

对于这类通过表格来反映两个变量之间关系的问题，求解时需根据表中两个变量对应数据，分析其变化情况，即可做出判断．

练一练

3．从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表：

K数

含金量（%）

24K

99以上

22K

91.7

21K

87.5

18K

75

14K

58.5

12K

50

10K

41.66

9K

37.5

8K

33.34

6K

25

饰用K金的K数与含金量之间是________关系，K数越大含金量________．

解析：

通过表格可以得出K金的K数与含金量之间是函数关系，且K数越大含金量越高．

答案：

函数　越高

4．一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f（h）的大致图象可能是图中的（　　）

[巧思]　通过鱼缸的形状反映的V随h增大的速度变化判断．

[妙解]　通过鱼缸的形状反映的两个变量h与V的变化情况知，水的体积随着h的减小，先减少得慢，后减少得快，又减少得慢．

[答案]　B

1．下列说法不正确的是（　　）

A．圆的周长与其直径的比值是常量

B．任意四边形的内角和的度数是常量

C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系

D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系

解析：

选D　A、B、C中说法均正确，而D中，广告费用与销售量之间关系不确定，故不是函数关系．

2．下列各量间不存在依赖关系的是（　　）

A．扇形的圆心角与它的面积

B．某人的体重与其饮食情况

C．水稻的亩产量与施肥量

D．某人的衣着与视力

答案：

D

3．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；图中与这件事正好吻合的图像是（其中x轴表示时间，y轴表示路程）（　　）

解析：

选A　开始一段时间路程逐渐增大，增大的速度相同，图像是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图像与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图像知选A.

4．给出下列关系：

①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；

②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；

③橘子的产量与气候之间的关系；

④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．

其中不是函数关系的有________．

解析：

由已知关系判断得，①③④中关系不确定故不是函数关系，只有②是函数关系．

答案：

①③④

5．下列关系不是函数关系的是________．（填序号）

①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系；

②某同学学习时间与其学习成绩的关系；

③人的睡眠质量与身体状况的关系．

解析：

对于①，所付车费与乘车距离是一种确定性关系，是函数关系；而对于②，③中的两个变量是非确定性关系，不是函数关系．

答案：

②③

6．通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现在课堂上学生接受一个概念的能力与教师在引入概念之前提出和描述问题的时间有关．刚开始阶段学生接受能力渐增，但随着时间延长，由于学生的注意力开始分散，因此接受能力开始下降．分析结果表明学生接受概念能力g（x）与提出和描述问题所用时间x的图像如图：

问：

自提出问题和描述问题开始多长时间时，学生接受概念的能力最强？

解：

由图像可知，当x＝13时，曲线达到最高点，即学生的接受能力最强．

一、选择题

1．谚语“瑞雪兆丰年”说明（　　）

A．下雪与来年的丰收具有依赖关系

B．下雪与来年的丰收具有函数关系

C．下雪是丰收的函数

D．丰收是下雪的函数

答案：

A

2．下列变量间的关系是函数关系的是（　　）

A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程

B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系

C．正方形的面积S与其边长a之间的关系

D．光照时间和苹果的亩产量

解析：

选C　A是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系．

3．右图中，纵轴是某公司职工人数，但刻度被抹掉了，横轴是工作年数（有刻度），则该公司中工作5年或更多时间的职工所占的百分比是（　　）

A．9%　　B．23

%C．30%D．36%

解析：

选C　由图知，百分比＝

×100%＝30%.

4．我们知道，溶液的酸碱度由pH确定，当pH＞7时，溶液呈碱性；当pH＜7时，溶液呈酸性．若将给定的HCl的溶液加水稀释，那么在下列图像中，能反映HCl溶液的pH值与所加水的体积V的变化关系的图像是（　　）

解析：

选A　由题意知pH值随V的增大，先快后慢增大，但不会超过7.

二、填空题

5．给出下列关系：

①圆的半径与其面积之间的关系；②一个人的寿命与这个人做好事的次数之间的关系；③正整数和它的正约数的个数之间的关系．其中有函数关系的是（填代号）________．

解析：

①中两个变量之间的关系具备函数关系；②中的“寿命”与这个人做好事的“次数”之间没有因果关系；所以不是函数关系．③中对于一个正整数，可能有多个正约数与之对应，所以正整数和它的正约数的个数之间不具有函数关系．

答案：

①

6．下表给出的y与x的关系，则y与x是________关系（函数或非函数）.

x

1921

1927

1949

1949＜x＜1997

1997

1999

2010

y

1

2

3

4

5

6

7

解析：

由表知，y与x是一种确定的依赖关系，故为函数关系．

答案：

函数

7．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白处.

年龄/岁

30

35

40

45

50

55

60

65

收缩压/mmHg

110

115

120

125

130

135

145

舒张压/mmHg

70

73

75

78

80

83

88

解析：

每增长5岁，收缩压增加5mmHg，舒张压每增长5岁按增长3,2,3,2，…的规律变化．

答案：

140　85

8．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的有________．

①这几年人民生活水平逐年提高；

②人民生活消费增长最快的一年是2006年；

③生活价格指数上涨速度最快的一年是2007年；

④虽然2008年生活消费增长是缓慢的，但由于生活价格指数有较大降低，因而人民生活有较大的改善．

解析：

由题意“生活消费指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活消费指数”在2006～2007年最陡，故②正确；“生活价格指数”在2007～2008年最平缓，故③不正确；由于2008年的“生活价格指数”有较大下降，而“生活消费指数”曲线呈上升趋势，故④正确．

答案：

①②④

三、解答题

9．某地2014年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：

行业名称

计算机

机械

营销

物流

贸易

应聘人数

215830

200250

154676

74570

65280

行业名称

计算机

营销

机械

建筑

化工

招聘人数

124620

102935

89115

76516

70436

你从以上提供的图表中会得到哪些信息？

请你对就业形势作一下预测．

解：

从表格中可以看出，计算机行业应聘人数与招聘人数均居第一位，是最热门专业．机械、营销一般，而物流、贸易是冷门行业，从计算机、机械、营销三种行业看，营销行业就业形势较好．另外可以看出，建筑、化工行业的需求量相对较大，物流、贸易应聘人数相对较多，供大于求，预测未来建筑、化工行业的需求量较大，就业前景广阔．

10．下图的曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：

（1）最初到达离家最远的地方是什么时间？

离家多远？

（2）何时开始第一次休息？

休息多长时间？

（3）第一次休息时，离家多远？

（4）11：

00到12：

00他骑了多少千米？

（5）他在9：

00～10：

00和10：

00～10：

30的平均速度分别是多少？

（6）他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？

解：

（1）最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．

（2）10：

30开始第一次休息，休息了半小时．

（3）第一次休息时，离家17千米．

（4）11：

00至12：

00，他骑了13千米．

（5）9：

00～10：

00的平均速度是10千米/时；10：

00～10：

30的平均速度是14千米/时．

从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．

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