三运算定律与简便计算.docx

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三运算定律与简便计算

（一）教学目标

1.引导学生探索和理解加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能运用运算定律进行一些简便计算。

2.培养学生根据具体情况，选择算法的意识与能力，发展思维的灵活性。

3.使学生感受数学与现实生活的联系，能用所学知识解决简单的实际问题。

（二）教材说明和教学建议

教材说明

   本单元的主要内容是加法、乘法的交换律与结合律，乘法对于加法的分配律，以及这五条运算定律的一些比较简单的运用。

   数学中，研究数的运算，在给出运算的定义之后，最主要的基础工作就是研究该运算的性质。

在运算的各种性质中，最基本的几条性质，通常称为“运算定律”。

也就是说，运算定律是运算体系中具有普遍意义的规律，是运算的基本性质，可作为推理的依据。

如根据运算定律来证明运算的其他性质，根据运算定律和性质来证明运算法则的正确性，等等。

   本单元所学习的五条运算定律，不仅适用于整数的加法和乘法，也适用于有理数的加法和乘法。

随着数的范围的进一步扩展，在实数甚至复数的加法和乘法中，它们仍然成立。

因此，这五条运算定律在数学中具有重要的地位和作用，被誉为“数学大厦的基石”。

   学生在前面的学习中，已经接触到了反映这五条运算定律的大量例子，特别是对于加法、乘法的可交换性、可结合性，这些经验构成了学习本单元知识的认知基础。

本单元分为三小节，内容结构如下：

   通过本单元的学习，可以加深学生对加法、乘法运算的理解，提高学生选择计算方法的灵活性。

同时，这五条运算定律在今后进一步的数学学习中，还会继续不断地发挥不可或缺的基础作用。

   本单元教材在编排上具有以下几个主要的特点。

   1.有关运算定律的知识相对集中，有利于学生形成比较完整的认知结构。

   将有关运算定律的知识集中于一个单元，加以系统编排，便于学生感悟知识之间的内在联系与区别，有利于学生通过系统学习，构建比较完整的知识结构。

   2.从现实的问题情境中抽象概括出运算定律，便于学生理解和应用。

   本单元教材的一个鲜明特点是，不再仅仅给出一些数值计算的实例，让学生通过计算，发现规律，而是结合学生熟悉的问题情境，帮助学生体会运算定律的现实背景。

如加法运算定律，教材安排了李叔叔骑车旅行的场景；乘法运算定律则安排了同学们植树的问题情境。

这样便于学生依托已有的知识经验，分析比较不同的解决问题的方法，引出运算定律。

同时，教材在练习中还安排了一些实际问题，让学生借助解决实际问题，进一步体会和认识运算定律。

   3.重视简便计算在现实生活中的灵活应用，有利于提高学生解决实际问题的能力。

   本单元的第三小节，改变了以往简便计算以介绍算法技巧为主的倾向，着力引导学生将简便计算应用于解决现实生活中的实际问题，同时注意解决问题策略的多样化。

这对发展学生思维的灵活性，提高学生分析问题、解决问题的能力，都有一定的促进作用。

教学建议

1.充分利用学生已有的感性认识，促进学习的迁移。

   对于小学生来说，运算定律的概括具有一定的抽象性。

好在学生通过第一学段的学习，对加法和乘法的一些运算规律已经有所了解，这是搞好本单元教学的有利条件。

在此基础上，本单元的教学应着重帮助学生把这些零散的感性认识上升为理性认识。

   2.加强数学与现实世界的联系，促进知识的理解与应用。

   如前分析，本单元教材最明显的特点之一就是关注数学的现实背景，从社会生活中来，到社会生活中去，体现了数学教学回归社会、回归生活的愿望。

因此，领会教材的这一意图，用好教材，借助数学知识的现实原型，可以调动学生的生活经验，帮助学生理解所学运算定律，构建个性化的知识意义。

进而，凭借知识意义的理解，也有利于所学运算定律的运用。

   3.注意体现算法多样化、个性化的数学课程改革精神，培养学生灵活、合理选择算法的能力。

   对于小学生来说，运算定律的运用具有一定的灵活性，对数学能力的要求较高，这是问题的一个方面。

另一方面，运算定律的运用也为培养和发展学生思维的灵活性，提供了极好的机会。

教学时，要注意让学生探究、尝试，让学生交流、质疑。

相应地，教师也应发挥主导作用，当学生探究时，仔细观察，认真揣摩学生的思路，酌情因势利导，不失时机地给予适度启发；当学生交流时，耐心倾听，洞悉学生的真实想法，加以必要的点拨，帮助学生讲清自己的算法，让其他同学也能明白。

教学设计：

课题1：

加法交换律和加法结合律

【设计者】梁湖小学----吴耀辉

【教材】

P28/例1（加法交换律）P29/例2（加法结合律）

【课程标准】

探索和理解运算律，能应用运算律进行一些简便运算。

【内容分析】

例4以王老师买羽毛球拍和羽毛球为题材，提出了三个问题。

其中前两个问题，用乘法解答。

计算时可以灵活运用乘法结合律，或者把因数25用100÷4代换，使计算简便。

第三个问题与例3类似。

整个例题具有一定的综合性。

   第一个问题，求一共买了多少个羽毛球，教材给出了部分解答，留白部分让学生完成。

而后，教材提出了小组交流的话题，以及其他两个问题，让学生自己完成。

【学情分析】

学生在之前的学习中，已经有了乘法结合律和积不变的性质的运用的积淀，有一定的基础。

【学习目标】

1、会把一个数乘两位数，改成连续乘两个一位数的简便算法或者运用积不变的性质进行简算。

2、在实际解决问题过程中培养学生分析、判断、推理的能力，学会有根据的简便算法的择优运算。

【评价设计】

1.通过预习提纲4的交流展示检测目标1的达成；

2.通过检测反馈1检测目标2的达成;

3.通过归纳交流环节检测目标3的达成.

【学习过程】

环节

学习过程

提示

导入

（5分钟）

情景图导入

出示27页情景图，观察主题图，根据条件提出问题。

（1）李叔叔今天一共骑了多少千米？

（2）李叔叔三天一共骑了多少千米？

自学

（5分钟）

自学提纲

阅读例1，完成预习提纲1-5：

1、解决问题可以如何列式。

2、为什么列的式子不同？

它们的结果是怎样。

它们之间的关系是怎样的？

3、试着再举出几个这样的例子。

4、通过这几组算式，你们发现了什么？

能不能用一句话说出来。

5、你能用自己喜欢的方式表示出加法交换律吗？

阅读例2，完成预习提纲6-9：

6、例2的式子能用什么方法来计算。

有几种方法。

7、不同的方法计算结果怎样。

8、再举出几个这样的例子。

通过这几组算式，你们发现了什么？

能不能用一句话说出来。

9、学生用自己喜欢的方式表示加法结合律。

交流

点拨

（10分钟）

学生展示的方式、内容等

教师预设需补充、分析、强调的地方

1、将讨论的式子的关系向各组同学展示。

2、各小组展示自己小组表示定律的方法。

3、分别说说是用什么方法记住这些运算定律的。

4、讨论为什么要学习运算定律。

两个加数交换位置，和不变。

这叫做加法交换律。

先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

这叫做叫法结合律。

研究提升：

（△+☆）+○=△+（☆+○）用了什么运算定律？

△+☆=☆+△用了什么运算定律？

归纳

反思

学生小结本节课学习的加法的运算定律。

今天这节课你们都有什么收获？

你能把这些运用于以后的学习中吗？

检测

反馈

1、填空，并说一说下列各题各用了什么定律？

（69+172）+○69+（+28）

300+=600+

A+B=+

+36=25+

2、P28/做一做P31/4、1

课后反思：

课题2：

加法运算定律的运用

【设计者】梁湖小学----吴耀辉

【教材】

P30加法运算定律的运用

【课程标准】

探索和理解运算律，能应用运算律进行一些简便运算。

【内容分析】

结合李叔叔骑自行车旅行后四天行程这一数学问题提出计算的问题，从中探究加法的交换律和结合律的具体运用。

从具体运用过程中培养学生灵活计算的能力，发展思维的灵活性。

【学情分析】

学生在之前的学习中，已经有了灵活计算的知识基础，现在是不但要知道遇到此类问题知道怎么算，还要会说出为什么要这样算，计算水平上升到一定层次。

【学习目标】

1、能运用加法的运算定律进行加法的简便运算。

2、通过例题的学习学生能根据具体情况，根据数字特点和算式特点，初步具备灵活选择算法的意识与能力，发展思维的灵活性，会灵活选择算法，进行简便计算。

3、能用所学知识解决简单的实际问题。

【评价设计】

1.通过例题3的交流展示检测目标1的达成；

2.通过检测反馈1、2检测目标2的达成;

3.通过归纳交流环节检测目标3的达成.

【学习过程】

环节

学习过程

提示

导入

（5分钟）

任务一：

复习旧知，导入新知。

回忆上节课学习的关于加法的运算定律。

能不能使用加法的运算定律使计算简便。

自学

（5分钟）

自学提纲

1、出示：

例3

下面是李叔叔后四天的行程计划。

第四天城市A→BA→B115千米

第五天城市B→CB→C132千米

第六天城市C→D118千米

第七天城市D→E85千米

根据上面的条件，能提出什么问题？

2、根据提出的问题列式，想一想，这个式子能够怎样计算，各种计算的结果是不是一样的。

3、上面的计算方法，哪一种简单些，用了加法的什么运算定律。

为什么要先交换位置后使用结合律。

4、讨论，在一些计算题中，为什么要使用运算定律。

交流

点拨

（20分钟）

学生展示的方式、内容等

教师预设需补充、分析、强调的地方

1、学生对我们的条件分别提出不同的问题。

2、对运算顺序及计算方法进行讨论。

3、各小组分别发表自己的见解，其他小组实时提出问题让他们解决。

选出一个有意义的题目让学生列式解答。

115+132+118+85

加法的交换律和结合律通常是同时使用的，单一使用的时候很少。

研究提升：

想想在现实生活中，加法的运算定律是不是经常使用，在平时的计算中怎样来合理灵活的利用加法的运算定律，从而使计算简便。

245+174+15+155+11

在这个题中怎样来使用加法的运算定律

归纳

反思

汇报学习的内容，以及自己的收获.这节课你有什么收获？

检测

反馈

1、用简便方法计算下面各题，说一说用了什么运算定律？

425+14+18675+168+2567+25+33+75

135+39+65+115+137+45+63+50

2、P32/5—7

课后反思：

课题3：

乘法交换律和乘法结合律

【设计者】梁湖小学----吴耀辉

【教材】

P34/例1（乘法交换律）例2（乘法结合律）

【课程标准】

探索和理解运算律，能应用运算律进行一些简便运算。

【内容分析】

教学时可以先让学生看主题图，说说图中给了我们哪些信息，学生可以按自己看到的说，也可以把图中的两段说明文字复述一遍。

再根据这些信息引导学生发现可解决的一些问题。

学生可能会提出多个问题，其中有些问题，如“每组有几人？

”可直接解决。

学生们提出的问题都可展示，为后面的例题教学做准备。

结合植树节植树这一情景图提出数学问题，在解决问题过程中发现乘法的的交换律和结合律的规律。

学生需要从例子中发现规律，用语言概括规律，用自己喜欢的方式表示两大定律，建立数学模型。

（1）例1是在主题图的基础上提出问题“负责挖坑、种树的一共有多少人？

”解答这个问题所需要的条件，都在主题图中。

（2）例2仍然是利用主题图提出问题“一共要浇多少桶水？

”从解决这个问题的两种算法中，可以得到乘法结合律的一个实例。

在此基础上，引导学生观察、比较、概括得出乘法结合律，其教学的安排与例1大致相同。

   （3）第35页“做一做”的两道题分别是乘法交换律在计算中的应用与乘法结合律在解决实际问题中的应用，目的在于通过应用加以巩固，加深印象，并使学生初步看到乘法交换律与乘法结合律的作用。

【学情分析】

学生在之前的学习中，已经有了大量的此类例子的积淀，归纳发现有一定的基础。

学生可以借鉴加法运算定律的发现过程学习乘法的交换律和结合律。

【学习目标】

1、会用自己的方式表述乘法交换律、结合律，能运用运算定律进行一些简便运算。

2、培养学生根据具体情况，选择算法的意识与能力，发展思维的灵活性，能根据乘法交换律和结合律对乘法进行变式练习，会分辨出运算中运用了什么定律。

【评价设计】

1.通过例题1、2的交流展示检测目标1的达成；

2.通过检测反馈1、2、3、4检测目标2的达成;

【学习过程】

环节

学习过程

提示

导入

（5分钟）

主题图引入（观察主题图，根据条件提出问题。

）

（1）负责挖坑、种树的一共有多少人？

（2）一共要浇多少桶水？

自学

（5分钟）

自学提纲

阅读例1，完成1—5：

1、针对上面的问题1列出算式，有几种列法。

2、为什么列的式子不同，它们的计算结果是怎样的。

3、两个算式有什么特点？

你还能举出其他这样的例子吗？

4、能给乘法的这种规律起个名字吗？

能试着用字母表示吗?

5、乘法交换律有什么作用。

阅读例1，完成6—7：

6、根据前面的加法结合律的方法，你们能试着自己学习乘法中的另一个规律吗？

7、⑴这组算式发现了什么？

⑵举出几个这样的例子。

⑶用语言表述规律，并起名字。

⑷字母表示。

交流

点拨

（20分钟）

学生展示的方式、内容等

教师预设需补充、分析、强调的地方

1、小组讨论乘法的交换律、结合律用字母怎样表示。

2、各小组展示自己小组表示定律的方法。

3、分别说说是用什么方法记住这些运算定律的。

4、讨论为什么要学习运算定律。

在验算乘法时，可以用交换因数的位置，再算一遍的方法进行验算，就是用了乘法交换律。

交换两个因数的位置，积不变。

这叫做乘法交换律。

先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。

这叫做乘法结合律。

研究提升：

在什么时候使用乘法的交换律，结合律。

使用这两个运算定律的结果是什么。

使用它们的优点是什么。

怎样用乘法的结合律计算

25×32×125

归纳

反思

学生小结本节课学习的乘法的交换律、结合律。

今天这节课你们都有什么收获？

你能把这些运用于以后的学习中吗？

检测

反馈

1、下面的算式用了什么定律

（60×25）×8=60×（25×8）

15×16=16×15

2、P37/1、3

3、P35/做一做1、2

4、在□里填上合适的数。

30×6×7=30×（□×□）125×（8×40）=（□×□）×□

课后反思：

课题4：

乘法分配律

【设计者】梁湖小学----吴耀辉

【教材】

P36/例3（乘法分配律）

【课程标准】

探索和理解运算律，能应用运算律进行一些简便运算。

【内容分析】

（1）例3继续由主题图引出新的问题“一共有多少名同学参加了这次植树活动”。

解决这个问题可以用每组的人数乘组数，即（4＋2）×25；也可以分别算出挖坑、种树的人数与抬水、浇树的人数，再相加，即4×25＋2×25。

两种算法解决的是同一个问题，因而计算结果相同，所以可用等号连接两算式。

有了前面几次类似的学习经历，教材通过比较、概括得出乘法分配律的过程就相对简略一些。

   为促进学习的迁移，教材在得出

       （4＋2）×25=4×25＋2×25

的基础上，引导学生自己类推出

       25×（4＋2）=25×4＋25×2

用字母表示乘法分配律也有这样的安排。

但不要误认为这两种形式出全，才是完整

       （a＋b）×c=a×c＋b×c

       a×（b＋c）=a×b＋a×c

的乘法分配律。

由于乘法交换律建立在前，因此只要得出两种形式之一，就可以依据乘法交换律得出另一种形式，所以不必要求让学生同时记忆两种形式。

（2）例3下面的“做一做”，安排了三道判断题，都是学生的典型错例，旨在通过判断，引起学生重视，避免类似问题出现。

【学情分析】

学生在之前的学习中，已经有了大量的此类例子的积淀，归纳发现有一定的基础。

学生可以借鉴加法运算定律的发现过程学习乘法的分配律。

【学习目标】

1、会把一个数乘两位数，改成连续乘两个一位数的简便算法或者用其他运算定律进行简便运算。

2、灵活运用所学运算定律，结合题目特点，学会择优，对要求的题目进行灵活的简便运算。

【评价设计】

1.通过例题3的交流展示检测目标1的达成；

2.通过检测反馈1、2、3检测目标2的达成;

【学习过程】

环节

学习过程

提示

导入

（5分钟）

主题图引入（观察主题图，根据条件提出问题。

）

思考问题导入

在学习乘法的运算定律时，我们观察了一幅主题图，有的同学还提出了一个问题：

一共有多少名同学参加了这次植树活动？

自学

（5分钟）

自学提纲

阅读例3，完成1—7：

1、小组讨论，尝试用不同的方法解决。

2、小组合作：

（1）两组算式有什么相同点？

（2）两组算式有什么不同点？

（3）两组算式有什么联系？

3、你还能举出像这样的几组算式吗？

4、我们举的例子是不是符合这样的规律呢？

5通过这些算式我们发现了一个什么规律？

6、你有什么好方法帮助我们大家记住乘法分配律？

7、用什么方法表示这个规律。

交流

点拨

（20分钟）

学生展示的方式、内容等

教师预设需补充、分析、强调的地方

1、汇报自己的解法。

引导说明不同算法的理由。

2、验证我们举的例子是不是符合这样的规律。

3、用自己的语言说出发现的规律。

两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。

这叫做乘法分配律。

（a+b）×c=a×c+b×c

a×（b+c）=a×b+a×c

简记为：

和与一个数相乘=积相加

研究提升：

（□+33）×70=6×70+33×□在这个题里我们在□里应填什么数字？

这个式子用了什么定律。

归纳

反思

汇报自己的收获。

什么是乘法的分配律。

如果用字母来表示怎样表示。

还有什么疑问。

检测

反馈

1、计算

23×12+23×88

（35+45）×12

（11×25）×4

25×（4+40）

2、P36/做一做

3、P38/5

课后反思：

课题5：

两个数相乘的乘法中的简便计算

【设计者】梁湖小学----吴耀辉

【教材】

P44例4（両数相乘的简便运算）

【课程标准】

探索和理解运算律，能应用运算律进行一些简便运算。

【内容分析】

例4以王老师买羽毛球拍和羽毛球为题材，提出了三个问题。

其中前两个问题，用乘法解答。

计算时可以灵活运用乘法结合律，或者把因数25用100÷4代换，使计算简便。

第三个问题与例3类似。

整个例题具有一定的综合性。

   第一个问题，求一共买了多少个羽毛球，教材给出了部分解答，留白部分让学生完成。

而后，教材提出了小组交流的话题，以及其他两个问题，让学生自己完成。

【学情分析】

学生在之前的学习中，已经有了大量的此类例子的积淀，归纳发现有一定的基础。

学生可以借鉴加法运算定律的发现过程学习乘法的分配律。

【学习目标】

1、发现乘法分配律的特征，学会用语言叙述和字母公式表示乘法分配律，能运用运算定律进行对符合乘法分配律特征的算式进行正向和逆向的转换，尝试进行一些简便运算。

2、指导学生初步学会根据具体情况，能结合具体问题灵活选择选择算法，发展思维的灵活性，能根据乘法分配律对乘法算式进行变式练习，会分辨出运算中运用了什么定律。

【评价设计】

1.通过例题3的交流展示检测目标1的达成；

2.通过检测反馈1、2、3检测目标2的达成;

环节

学习过程

提示

导入

（5分钟）

谈话导入

在前面我们学习了乘法的运算定律，但是在一些题中我们不能直接的使用乘法的运算定律，要把因数变通后才能用运算定律来进行简算。

自学

（5分钟）

自学提纲

阅读例4，完成1—7：

1、出示例4主题图解释什么是“一打”？

2、25×12有多少种方法来计算这个题。

3、在这几种方法中，你喜欢哪种方法？

4、算法一为什么要把12写成3×4的形式或10+2的形式。

这样写的目的是什么？

5、为什么要把25写成100÷4的形式，这样写的目的是什么？

6、为什么这一道题有这几种解题方法。

并且方法还不同。

7、在以后的解题中，你能应用自己喜欢的方法解决问题吗？

交流

点拨

（20分钟）

学生展示的方式、内容等

教师预设需补充、分析、强调的地方

1、一道简单的题目，却有了几种不同的解法，并且用了我们以前学习的乘法的运算定律。

2、小组合作分工完成黑板上的题目。

小组内交流。

全班交流。

在计算中遇到这样的题目的时候，我们要学会合理的将几个因数改写成几个因数相乘或相加的形式。

研究提升：

25×32×125102×36我们能不能灵活的运用乘法的运算定律来进行简算。

归纳

反思

这节课我们学习了什么，有什么收获，在以后的计算中会不会灵活化解因数。

检测

反馈

1、计算

25×3625×32×12526×9934×103

2、P46/4、5

作业：

练习八1、2、3

课后反思：