六年级第8讲 计数综合教师版.docx
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六年级第8讲计数综合教师版
第八讲计数综合
1、若4个两两不同的自然数的倒数之和为1,则这样的自然数组(次序不同认为是同
共有
组,
【答案】6
【分析】
=
=
=
=
=
2、如下图所示,在纸上画有A、B、C三点,经过其中任意两点画一条直线,可以画3条直线,如果在纸上画有5个点,其中任意三个点都不在一条直线上,经过每两点画一条直线,可以画____条直线.
【答案】10
【分析】每个点和其余四个点可以组成一条直线,最后每条直线算了两次,再除以2.
5×4÷2=10
3、在右下图中,以最短的路径从点P到点Q,请问共有种不同的走法.
【答案】60
【分析】如下图利用标数法,即可得到答案.
4、科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”,如下图所示,按图中箭头所示方向
有种不同的方法拼出英文单词“Einstein”.
【答案】60
【分析】由Einstein的拼法如下图所示.根据加法原理可得
共有30+30=60(种)不同拼法.
5、在下图中,用水平或者竖直的线段连接相邻的字母,当沿着这些线段行走时,正好拼出
“APPLE”的路线共有多少条?
【答案】31种
【分析】标数法,如下图所示
6、甲队和乙队进行的一场足球赛的最终比分是4:
2,已知甲队先进一球,而乙队在比赛过
程
中始终没有领先过,那么两队的入球次序共有种不同的可能.
【答案】9
【分析】由于出现乙队在比赛过程中始终没有领先过,所以可以采用阶梯标数法,如下图所示共有9种.
[
7、如下图所示,27个单位正方体拼成大正方体,沿着面上的格线,从A到B的最短路线共
有条.
【答案】384
【分析】如下图所示,利用标数法可得:
最短路线有条384条.
8、国
际象棋中“马”的走法如图a所示,位于O位置的“马”只能走到标有×的格中,类似于中国象棋中的“马走日”.如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列(图b)中标有△的位置),要走到第八行第五列(图b)中标有★的位置)
,最短路线有条.
【答案】
12
【分析】如下图所示,采用标数法,可知共有12条最短路
线.
9、小思从X市开车到y市,她必须遵照下图箭头所指示的方向行驶:
请问小思由X市到
y市共有多少种不同的路径?
【答案】10
【分析】方法一:
使用标数法'如下图所示,到X、L、M、N只有一种可能都标1,之后P可以从L到达标1,Q可以从L、M、N到达标3,O可以从X、N到达标1+1=2,以此类推:
R标1+2=3,S标1+3+2=6,y标1+6+3=10,所以从X市到y市共有10种不同的路径.
方法二:
共10种不同路径,如下图所示.
10、A,B两人进行象棋比赛,没有和棋,先比对方多胜三局的一方赢得比赛,如果经过11局比赛A才以7胜4负获胜,那么这11局比赛的胜负排列共有种.(例如:
“胜负胜负胜负胜负胜胜胜”是一种胜负排列)
【答案】81
【分析】如下图所示,利用标数法,横向走一格表示A多胜了一局,纵向走一格表示A多负了一局,数字表示排列种数.到达右上角A就以7胜4负获胜.如图中a点表示A胜3场负0场,比赛就结束了,所以a点无法到达,而图中6点,由于A负了l场,表示A是3胜l负,就可以到达.图中c点表示A是0胜3负,无法到达,而d点是1胜3负,就可以到达.最后共有81种排法.
11、一个正在行进的8人队列,每人身高各不相同,按从低到高的次序排列.现在他们要变成2列纵队,每列仍然是按从低到高的次序排列,同时要求并排的每两人中左边的
人比右边的人要矮,那么,2列纵队有种不同排法.
【答案】14
【分析】
如图8人排队相当于把8个人填入上边2列方格中,当A的位置确定时,第二列最多可以确定一个位置D,当确定A、B两个位置时,第二列最多可以确定C、D两个位置,因此第二列确定的位置个数永远不会多于第一列确定的位置个数,因此我们用横线代表第一列确定的位置,用竖线代表第二列确定的位置,
画图如下:
因此2列纵队有共有14种排法.
12、有7个相同的小球放人4个不同的盒子中,每个盒子中至少放一个球,则共有
种不同的放法.
A.15B.18C.20D.24
【答案】C
【分析】插板法,C63=20.
13、以下图的黑点作为顶点,请问可作出多少个三角形?
【答案】81
【分析】排除法,图中共有10个点,我们先随意选三个点,共有C103=120,然后排除三点在一条直线的:
C73+C43=39,因此共有120-39=81(个).
14、正整数2009的数码和为11,请问在2010到2999之间有多少个自然数其数码和为11?
【答案】54
【分析】方法一:
可知千位数必为2,故考虑百位数、十位数与个位数之和为9的数.
(1)当百位数为9时,仅2900满足;
(2)当百位数为8时,2810、2801满足;
(3)当百位数为7时,2720、2702、2711满足;
(4)当百位数为6时,2630、2603、2621、2612满足;
(5)当百位数为5时,2540、2504、2531、2513、2522满足’
(6)当百位数为4时,2450、2405、2441、2414、2432、2423满足;
(7)当百位数为3时.2360、2306、2351、2315、2342、2324、2333满足;
(8)当百位数为2时,2270、2207、2261、2216.2252
、2225、2243、2234满足;
(9)当百位数为1时,2180、2108、2171、2117、2162、2126、2153、2135、2144满足;
(10)当百位数为O时,2090、2081、2018、2072、2027、2063、2036、2054、2045满足.
因此共有1+2+3+4+5+6+7+8+9+9=54(个).[来源:
Zxxk.Com]
方法二:
可知千位
数必为2,故考虑百位数、十位数与个位数之和为9的数,即将九个1分为大于等于O的三部分,此亦即将十二个1分为大于0的三部分,即从十二个l中间的11个间隔中取二个切开,故有C21,一11×10÷2-55(种)分
法,但是2009要排除在外,因此共有54个.
15、学学和思思一起洗已摞好的5个互不相同的碗,思思洗好的碗一个一个往上摞,学学再
从最上面一个一个地拿走放人碗柜摞成一摞,思思一边洗,学学一边拿,那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法。
【答案】42
【分析】方法一:
用枚举法.如下所示,共有42种不同的摞法:
5-4-3-2-1,4-5-3-2-1,3-5-4-2-1,5-3-4-2-1,3-4-5-2-1,
5-4-2-3-1,4-5-2-3-1,2-5-4-3-1,5-2-4-3-1,2-4-5-3-1,
5-2-3-4-1,2-5-3-4-1,2-3-5-4-1,2-3-4-5-1,5-4-3-1-2,
4-5-3-1-2,5-3-4-1-2,3-5-4-1-2,3-4-5-1-2,5-4-1-3-2.
4-5-1-3-2,1-5-4-3-2,5-1-4-3-2,1-4-5-3-2,5-1-3-4-2,
1-5-3-4-2,1-3-5-4-2,1-3-4-5-2,5-4-1-2-3,4-5-1-2-3,
1-5-4-2-3,5-1-4-2-3,1-4-5-2-3,1-2-5-4-3,5-1-2-4-3,
1-5-2-4-3,1-2-4-5-3,1-2-3-5-4,1-2-5-3-4,1-5-2-3-4,
5-1-2-3-4,1-2-3-4-5.
方法二:
用标数法.我们把学学洗5个碗的过程看成从起点向右
走5步(即洗几个碗就代表向右走几步),思思摞5个碗的过程看成
是向上走5步(即摞几个碗就代表向上走几步),摞好碗的摞法,就代
表向右、向上走5步到达终点最短路线的方法.由于洗的碗不能少于
摞的碗,所以向右走的路线不能少于向上走的路线,所以我们用右边
的阶梯标数法进行标数,共有42种走法,即代表42种摞法.
16、将8颗巧克力糖全部分给三位小朋友,可以有人分不到,请问共有多少种不同的分法?
【答案】45
【分析】插板法进阶,补上3颗巧克力,即转化为每人至少分一颗的分法,C8+3-12=45.
17、彼此不等且大于0的偶数a、b、c、d满足“+b+c+
d=20,这样的偶数组(a、b、c、d)共有组.
【答案】24
【分析】20=2+4+6+8,即20只能拆为2,4,6,8这四个符
合条件的偶数,顺序不同是不同偶数组,故有A44=24.
18、西洋有个迷信,如果某月的13日正巧是星期五,则是不吉祥的日子,俗称为“黑色星期五”(BLACKFRIDAY),例如2009年的3月13日就是一个“黑色星期五”.请问一年内至多有几个“黑色星期五”?
【答案】3个
【分析】若该年不是闰年,则1到12月每月的天数依序为31、28、3l、30、31、30、31、31、30、31、30、31天,因一星期有七天,所以1到12月每月的天数除以7后所得余数依序为3、O、3、2、3、2、3、3、2、3、2、3,因此若1月13日是星期K(星期日视为星期O,K为0~6的正整数),则该年1月到12月的13日依序为垦期K、K+3、K+3、K+6、K+l、K+4、K+6、K+2、K+5、K、K+3、K+5(以上之值若超过7,则化简为除以7后之余数),其中K+3m现三次是最多的,故这一年黑色星期五最多有三天,发生在K=2时;若该年是闰年,则1到12月每月的天数依序为31、29、31、30、31、30、31、31、30、31、30、31天,因一星期有七天,所以1到12月每月的天数除以7后所得余数依序为3、1、3、2、3、2、3、3、2、3、2、3,因此若1月13日是星期K(星期日视为星期O,K为0~6的正整数),则该年1月到12月的13日依序为星期K、K+3、K+4、K、K+2、K+5、K、K+3、K+6、K+l、K+4、K+6(以上之值若超过7,则化简为除以7后之余数),其中K出现三次是最多的,故这一年黑色星期五最多有三天,发生在K=5时,
因此无论是否闰年一年内最多有3个黑色星期五.
19、有五位学生的作业本忘记写姓名,老师只好将作业本随机发还给五位学生.请问有多少
种情况学生全都不是拿到自己的作业本?
【答案】44
【分析】令这五位学生为A、B、C、D、E,作业本为a、6、c、d、e.
可知将作业本分给五位学生的全部情况共有5×4×3×2×1=120(种).[来源:
学科网]
(1)五位学生中全取到自己的作业本恰有1种情况;
(2)五位学生中恰四位取到自己的作业本不可能发生;
(3)五位学生中恰三位取到自己的作业本书时,即另二位学生取错作业本时,因二位学生取错必是互相拿错这一种情况,故有C52=5×4÷2=10(种)情况;
(4)五位学生中恰两位取到自己的作业时,即另三位学生都取错作业时.假设A、B取到自己的作业本、而C、D、E三人都取错,则有以下2种情况:
因两位学生取到自己的作业本有C52=5×4÷2=10(种)情况,而由上面的例子可知另三位学生都取错时有2种情况,故共有10×2=20(种)情况;
(5)五位学生中仅一
位取到自己的作业本时,即另四位学生都取错作业本时.假设A取到自己的作业本,而B、C、D、E四人都取错,则有以下9种情况:
因仅一位取到自己的作业本有5种可能,而由上面的例子可知另四位学生都取错时有9种情况,故共有5×9=45(种)情况;
所以五位学生全取错作业本的情况有120-1-10-20-45=44(种).
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