证明三角形全等的思路归纳.docx
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证明三角形全等的思路归纳
证明三角形全等的思路归纳
三角形全等的识别方法是三角形一章的重点内容,在具体应用三角形全等的识别方法时,要认真分析已知条件,仔细观察图形,弄清已具备了那些条件,从中找出已知条件和所要说明的结论之间的内在联系,从而选择适当的说明方法。
现将其思路归纳如下:
一、已知有两角对应相等时的思路:
思路一、找出夹边相等,用(ASA)
例1.如图1,在△ABC中,MN⊥AC,垂足为N,,且MN平分∠AMC,△ABM的周长为9cm,AN=2cm,求△ABC的周长。
解析:
只要求出CM和AC的长即得△ABC的
周长,而△AMN≌△CMN可实现这一目的。
因为MN平分∠AMC,所以∠AMN=∠CMN,
因为MN⊥AC,所以∠AMNA=∠CMNC=900,这样有两角对应相等,再找出它的夹边对应相等(MN为公共边)即可。
在△AMN和△CMN中
,所以△AMN≌△CMN(ASA)
所以AC=NC,AM=CM(全等三角形的对应角相等),
AN=2cm,所以AC=2AN=4cm,而△ABM的周长为9cm,
所以△ABC的周长为9+4=13cm。
思路二、找出任意一组角的对边对应相等,用(AAS):
例2.如图2,在在△ABC中,∠B=∠C,说明AB=AC
析解:
作∠BAC的平分线AD,交BC于D,由∠BAD=∠CAD,∠B=∠C,再找出∠B和∠C的对边AD=AD,得△ABD≌△ACD(AAS),所以AB=AC。
二、
已知两组对应边相等时的思路:
思路一、找夹角相等,用(SAS)
例3.已知如图3,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,试说明BD=CE。
析解:
已知AB=AC,AD=AE,若BD=CE,
则△ABD≌△ACE,结合∠BAC=∠DAE易得两已知边的夹角
∠BAD=∠CAE,于是,建立了已知与结论的联系,
应用(SAS)可说明△ABD≌△ACE,于是BD=CE。
思路二、找第三边相等,用(SSS)
例4.如图4,是一个风筝模型的框架,由DE=DF,EH=FH,就说明∠DEH=∠DFH。
试用你所学的知识说明理由。
解析:
由于已知DE=DF,EH=FH,连结DH,这是两三
角形的公共边,于是,
在△DEH和△DFH中,
所以△DEH≌△DFH(SSS),所以∠DEH=∠DFH(全等三角形的对应角相等)。
思路三、有一组对应角是直角,用(HL)
例5.如图5,两根长为12m的绳子,一端系
在旗杆上,另一端分别固定在地面的两个木桩上,
两根木桩到旗杆底部的距离相等吗?
请说明理由。
析解:
两根木桩到旗杆底部的距离是否相等,也就是
看OB与OC是否相等,OB、OC分别在Rt△ABO和Rt△ACO
中,由于
所以Rt△ABO≌Rt△ACO(HL),
所以OB=OC.
三、有一边及其一邻角对应相等时的思路:
思路一、找夹等角的另一边对应相等,用(SAS)。
例6.如图6,AE=AF,∠AEF=∠AFE,BE=CF,
说明AB=AC。
析解:
找到夹等角的另一对边。
因为BE=CF,
所以BE+EF=CF+EF,即BF=CE。
在△ABF和△ACE中,
所以△ABF≌△ACE(SAS),所以AB=AC。
思路二、找任一角相等,用(AAS或ASA)
例7.如图7,O是AB的中点,∠A=∠B,△AOC与△BOD全等吗?
为什么?
解析:
本题已知∠A=∠B,又O是AB的中点,因此OA=OB,再找任一角相等,由于本题还隐含了对顶角,∠AOC=∠BOD,于是根据(ASA)可得△AOC与△BOD全等。
四、有一边及其对角对应相等时的思路。
有一边及其对角对应相等时的思路是任找一组角对应相等,用(AAS)。
例8.如图8,在△AFD和△BEC中,点A、E、F、C在同一直线上,有下面四个论断:
①AD=CB,②AE=CF,③∠B=∠D,④AD∥BC。
请用其中三个作为条件,余下一个作为结论,编一道数学问题,并写出解答过程。
析解:
本题为一道开放型题目,其中如果已知AE=CF,∠B=∠D,AD∥BC。
试说明AD=CB。
就是一个已知一边及其对角对应相等的问题。
因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF,
即AF=CE,这是比较明显的。
另外,因为AD∥BC,所以∠A=∠C,找到这对
对应角相等,则△AFD≌△BEC,即AD=CB。
21.如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:
∠C=2∠B
证明:
延长AC到E,使AE=AC连接ED
∵AB=AC+CD
∴CD=CE
可得∠B=∠E
△CDE为等腰
∠ACB=2∠B
22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
(1)连接BE,DF.
∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,
∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,
∵AF=CE,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL),
∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴MB=MD,ME=MF;
(2)连接BE,DF.
∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,
∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,
∵AF=CE,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL),
∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴MB=MD,ME=MF.
23.已知:
如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,
(1)求证:
△AED≌△EBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
证明:
∵DC∥AB
∴∠CDE=∠AED
∵DE=DE,DC=AE
∴△AED≌△EDC
∵E为AB中点
∴AE=BE
∴BE=DC
∵DC∥AB
∴∠DCE=∠BEC
∵CE=CE
∴△EBC≌△EDC
∴△AED≌△EBC
24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
求证:
BD=2CE.
证明:
∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE四点共元
∵∠ABE=∠CBE
∴AE=CE
∴∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G,连接AG,则:
AG=BG=DG
∴∠GAB=∠ABG
而:
∠ECA=∠GBA(同弧上的圆周角相等)
∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
而:
AC=AB
∴△AEC≌△AGB
∴EC=BG=DG
∴BE=2CE
25、如图:
DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。
求证:
△AED≌△BFC。
证明:
∵DF=CE,
∴DF-EF=CE-EF,
即DE=CF,
在△AED和△BFC中,
∵AD=BC,∠D=∠C,DE=CF
∴△AED≌△BFC(SAS)
26、(10分)如图:
AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。
求证:
AM是△ABC的中线。
证明:
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
27、(10分)如图:
在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。
求证:
BD⊥AC。
∵△ABD和△BCD的三条边都相等
∴△ABD=△BCD
∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90°
∴BD⊥AC
28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。
求证:
BF=CF
证明:
在△ABD与△ACD中
AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
BD=DC
∠BDF=∠FDC,DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
29、(12分)如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
求证:
AF=DE。
证明:
∵AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE=△CDF
∵∠DCB=∠ABF
AB=DCBF=CE
△ABF=△CDE
∴AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.
证明:
连接EF
∵AB∥CD
∴∠B=∠C
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BEM和△CFM中
BE=CF
∠B=∠C
BM=CM
∴△BEM≌△CFM(SAS)
∴CF=BE
31.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:
△ABE≌△CDF.
∵AF=CE,FE=EF.
∴AE=CF.
∵DF//BE,
∴∠AEB=∠CFD(两直线平行,内错角相等)
∵BE=DF
∴:
△ABE≌△CDF(SAS)
32.已知:
如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:
AE=AF。
连接BD;
∵AB=ADBC=D
∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加,∠ADC=∠ABC;
∵BC=DCE\F是中点
∴DE=BF;
∵AB=ADDE=BF
∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。
33.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
∠5=∠6.
证明:
在△ADC,△ABC中
∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA
∴△ADC≌△ABC(两角加一边)
∵AB=AD,BC=CD
在△DEC与△BEC中
∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD
∴△DEC≌△BEC(两边夹一角)
∴∠DEC=∠BEC
34.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:
△ABC≌△DEF.
证明:
∵AD=DF
∴AC=DF
∵AB//DE
∴∠A=∠EDF
又∵BC//EF
∴∠F=∠BCA
∴△ABC≌△DEF(ASA)
35.已知:
如图,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证:
BE=CD.
证明:
∵BD⊥AC
∴∠BDC=90°
∵CE⊥AB
∴∠BEC=90°
∴∠BDC=∠BEC=90°
∵AB=AC
∴∠DCB=∠EBC
∴BC=BC
∴Rt△BDC≌Rt△BEC(AAS)
∴BE=CD
36、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
求证:
DE=DF.
证明:
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD=∠FAD
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED与∠AFD=90°
在△AED与△AFD中
∠EAD=∠FAD
AD=AD
∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD(AAS)
∴AE=AF
在△AEO与△AFO中
∠EAO=∠FAO
AO=AO
AE=AF
∴△AEO≌△AFO(SAS)
∴∠AOE=∠AOF=90°
∴AD⊥EF
37.已知:
如图,AC
BC于C,DE
AC于E,AD
AB于A,BC=AE.若AB=5,求AD的长?
D
C
B
A
E
证明:
∵AD⊥AB
∴∠BAC=∠ADE
又∵AC⊥BC于C,DE⊥AC于E
根据三角形角度之和等于180度
∴∠ABC=∠DAE
∵BC=AE,△ABC≌△DAE(ASA)
∴AD=AB=5
38.如图:
AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
求证:
MB=MC
证明:
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵ME⊥AB,MF⊥AC
∴∠BEM=∠CFM=90°
在△BME和△CMF中
∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°ME=MF
∴△BME≌△CMF(AAS)
∴MB=MC.
39.如图,给出五个等量关系:
①
②
③
④
⑤
.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明.
已知:
①AD=BC,⑤∠DAB=∠CBA
求证:
△DAB≌△CBA
证明:
∵AD=BC,∠DAB=∠CBA
又∵AB=AB
∴△DAB≌△CBA
39.在△ABC中,
,
,直线
经过点
,且
于
,
于
.
(1)当直线
绕点
旋转到图1的位置时,求证:
①
≌
;②
;
(2)当直线
绕点
旋转到图2的位置时,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.
(1)
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°.
∴∠CAD=∠BCE.
∵AC=BC,
∴△ADC≌△CEB.
②∵△ADC≌△CEB,
∴CE=AD,CD=BE.
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠CBE.
又∵AC=BC,
∴△ACD≌△CBE.
∴CE=AD,CD=BE.
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
40.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。
求证:
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF
A
E
B
M
C
F
(1)∵AE⊥AB,AF⊥AC,
∴∠BAE=∠CAF=90°,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,
即∠EAC=∠BAF,
在△ABF和△AEC中,
∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC,
∴△ABF≌△AEC(SAS),
∴EC=BF;
(2)如图,根据
(1),△ABF≌△AEC,
∴∠AEC=∠ABF,
∵AE⊥AB,
∴∠BAE=90°,
∴∠AEC+∠ADE=90°,
∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等),
∴∠ABF+∠BDM=90°,
在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°,
∴EC⊥BF.
41.如图:
BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
求证:
(1)AM=AN;
(2)AM⊥AN。
证明:
(1)
∵BE⊥AC,CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC,CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
(2)
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
42.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF
证明:
在△ABF和△CDE中
AB=DE
∠A=∠D
AF=CD
∴△ABF≡△CDE(边角边)
∴FB=CE
在四边形BCEF中
FB=CE
BC=EF
∴四边形BCEF是平行四边形
∴BC‖EF
43.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?
请说明理由
证明:
在AB上取点N,使得AN=AC
∵∠CAE=∠EAN
∴AE为公共,
∴△CAE≌△EAN
∴∠ANE=∠ACE
又∵AC平行BD
∴∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
∴∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
∵BE为公共边
∴△EBN≌△EBD
∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
44、(10分)如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE∥CF.
证明:
∵AD是△ABC的中线
BD=CD
∵DF=DE(已知)
∠BDE=∠FDC
∴△BDE≌△FDC
则∠EBD=∠FCD
∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行)。
45、(10分)已知:
如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,
.
求证:
.
A
D
E
C
B
F
证明:
∵DE⊥AC,BF⊥AC
∴∠CED=∠AFB=90º
又∵AB=CD,BF=DE
∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE(HL)
∴AF=CE
∠BAF=∠DCE
∴AB//CD
46、(10分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
AB=CD
证明:
∵∠3=∠4
∴OB=OC
在△AOB和△DOC中
∠1=∠2
OB=OC
∠AOB=∠DOC
△AOB≌△DOC
∴AO=DOAO+OC=DO+OBAC=DB
在△ACB和△DBC中
AC=DB
∠3=∠4
BC=CB
△ACB≌△DBC∴AB=CD
47、(10分)如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明你的结论.
CE>DE。
当∠AEB越小,则DE越小。
证明:
过D作AE平行线与AC交于F,连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形,ABEC为矩形,且△DFB为等腰三角形。
RT△BAE中,∠AEB为锐角,即∠AEB<90°
∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB<90°
△DFB中∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°
RT△AFB中,∠FBA=90°-∠DBF<45°
∠AFB=90°-∠FBA>45°
∴AB>AF
∵AB=CEAF=DE
∴CE>DE
A
B
E
C
D
48、(10分)如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证:
AE=DE.
∵AB=DC,AC=DB,BC=BC
∴△ABC≌△DCB,
∴∠ABC=∠DCB
又∵BE=CE,AB=DC
∴△ABE≌△DCE
∴AE=DE
49.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:
∠ADC=∠BDE.
A
B
C
D
E
F
图9
作CG⊥AB,交AD于H,
则∠ACH=45º,∠BCH=45º
∵∠CAH=90º-∠CDA,∠BCE=90º-∠CDA∴∠CAH=∠BCE
又∵AC=CB,∠ACH=∠B=45º
∴△ACH≌△CBE,∴CH=BE
又∵∠DCH=∠B=45º,CD=DB
∴△CFD≌△BED
∴∠ADC=∠BDE
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