泰勒公式及其应用.docx

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泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用

摘要„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1英文摘要„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2第一章绪论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3第二章泰勒公式„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„51.1泰勒公式的意义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„51.2泰勒公式余项的类型„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„51.3泰勒公式„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6第三章泰勒公式的实际应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„72.1利用泰勒公式求极限„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„72.2利用泰勒公式进行近似计算„„„„„„„„„„„„„„„„„„„82.3在不等式证明中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„92.4泰勒公式在外推上的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„102.5求曲线的渐近线方程„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„112.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用„„„„„„„„„„„„132.7在广义积分敛散性中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„142.8泰勒公式在关于界的估计„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„152.9泰勒公式展开的唯一性问题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„15结束语„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„16致谢„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„17参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„18

泰勒公式及其应用

（河南城建学院数理系河南平顶山467044）

摘要

泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具,它的用途很广泛.本文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域上的几个应用作论述.文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、外推和求曲线的渐近线方程上作解求证明外，特别地，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用、界的估计和展开的唯一性问题这4个领域的应用做详细的介绍.

关键词泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项

1

Abstract

Taylor’sformulaisthemathematicalanalysisoftheimportant

part,ithasbecomearesearchfunctiontheorymethodandestimat-ederrorlimitoftheindispensabletoolssuchasaconcentratedexp-ressionofthecalculus,“approximation”oftheessence,whichis

thevalueoftheCalculustheoremisalsoofhighorderderivative

functionofanimportanttoolforstate,itsuseisverywide.ThispaperintroducestheTaylorformulaanditsapplicationsinmathema-ticsfordiscussiononseveralapplications.InadditiontoTaylor’s

articleinthecommonlyusedapproximationformula,findthelimit,

Inequality,extrapolation,demandcurveequationanddeterminethe

asymptoticlineontheConvergenceofSolutionsofapplicationsas

shown,inparticular,theTaylorformulaalsoConvexityandtheinflectionpointofthefunctiontojudge,GeneralizedIntegralConverg-enceapplication,industryestimatesandlaunchedtheonlyproblem

theapplicationofthesefourareasadetailedintroduction.

Keywords:

Taylorformula，Peanoremainder，LagrangeRemainder

2

第一章绪论

1.1综述

近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，

的.泰勒将函数展开成级数从而在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来

得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点x存在直到阶的导数，由这些导数fn0

构成一个次多项式n

（）n,,,fxfxfx（）（）（）2n000Txfxxxxxxx（）（）（）（）（）,,，,，,，，,n00001!

2!

!

n

称为函数在点x处的泰勒多项式，若函数在点x存在直至阶导数，则有ffn00

nfxTxxx（）（）（（））,,，,;即0n

（）n,,fxfx（）（）2n00,;fxfxfxxxxxxxxx（）（）（）（）（）（）（（））.,，,，,，，,，,0000002!

!

n

称为泰勒公式.

众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用.泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面.

1.2研究现状

关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间.

1.3研究意义

泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.

1.4本论文所作的工作

3

泰勒公式的应用一直以来都属于数学领域里重要的研究内容.本文将简略介绍一些基本的泰勒公式的应用实际方法，然后把泰勒公式应用到求极限等方面中去.

1.5研究目标

探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.

1.6本论文解决的关键问题

了解泰勒公式及其各类型余项的泰勒公式展开式，熟练掌握带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式应用.

1.7本论文的研究方法

将带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式应用到求极限、渐近线等的解题应用上，得出最佳的解题方法.

1.8本论文的内容安排

根据论文的主要内容，将论文分为三章:

第一章为绪论

第二章简要给出了泰勒公式的定义和类型

第三章详细介绍了泰勒公式在数学各方面的实际应用

4

第二章泰勒公式1.1泰勒公式的意义

泰勒公式的意义是，用一个次多项式来逼近函数.而多项式具有形式简fn

单，易于计算等优点.

nRxoxx（）[（）],,泰勒公式由的次泰勒多项式Px（）和余项组成，我们fx（）n0nn来详细讨论它们.

当=1时，有n

Pxfxfxxx（）（）（）（）,，,，1000

（,（））xfx是的曲线在点处的切线（方程），称为曲线在点yfx,（）yfx,（）00

（,（））xfx的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.00

当=2时，有n

,fx（）20,Pxfxfxxxxx（）（）（）（）（）,，,，,，200002!

（,（））xfx（,（））xfx是曲线在点的“二次切线”，也称曲线在点yfx,（）yfx,（）0000

的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高

时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.1.2泰勒公式余项的类型

泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相

noxx（（））,同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项，仅表示余项是比0

3xn3（）xx,x,0xx,（当时）高阶的无穷小.如sin（）xxox,,，，表示当时，006

3x3sinx用近似，误差（余项）是比高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日x,x6

1

（1）1nn，，xxx，,,（）fxx,,型余项（也可以写成）、柯西余项（如在（）（）,000n，

（1）!

5

某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的

研究.

1.3泰勒公式的定义

（1）带有佩亚诺（Peano）型余项的泰勒公式

如果函数在点x的某邻域内具有阶导数,则对此邻域内的点,有fx（）nx0

（）n,,fxfx（）（）2n00,;fxfxfxxxxxxxxx（）（）（）（）（）（）（（））.,，,，,，，,，,0000002!

!

n当x,0时,上式称为麦克劳林（Maclaurin）公式.即0

（）

（1）nn，,,fff（0）（0）（0）,21nn，,fxffxxxx（）（0）（0）（01）,，，，，，,,,2!

!

（1）!

nn，

（2）带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式

n，1x如果函数在点的某邻域内具有阶导数,则对此邻域内的点,fx（）x0

有

（）n

（1）n，,,fxfx（）（）f（）,21nn，00,fxfxfxxxxxxxxx（）（）（）（）（）（）（）,，,，,，，,，,0000002!

!

（1）!

nn，

x（介于与之间）,x0

6

第三章泰勒公式的实际应用2.1利用泰勒公式求极限

对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限.

2x,2cosxe,lim例1求4x,0x

4分析:

此题分母为，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚x

诺余项的泰勒公式解求较简单.

解:

因为

1x22exxox,，，，1（）2!

2x将换成有,x2

2x222,xxx1222,，,，,，,eo1（）（）（（））22!

22

又

24xx4cos1（）xox,,，，2!

4!

2x,1114442xexoxox,,,，,cos（）（）（）所以2484

144,,，xox（）12

故

21x44,,，xox（）2xe,cos112,,,limlim44,,,,xxxx12

2x,2cosxe,lim例2求极限.4x,0sinx

2x,2解:

因为分母的次数为4，所以只要把，展开到的4次幂即可.cosxxe

7

11244cos1（）xxxox,,，，2!

4!

2x22,xx1242,,，,，eox1（）（）22!

2

2x,2cosxe,lim故4x,0sinx

1144,，xox（）（）4!

8,lim4x,0x

1,,12

带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具,运用

得当会使求函数的极限变得十分简单.2.2利用泰勒公式进行近似计算

x例1用的10次泰勒多项式求的近似值i，并估计误差.ee

x解:

在的泰勒公式中取,则有xn,,1,10e

111e,，，，，，11,2.7182818012!

3!

10!

2.718281801由于的精确度值，可以看出这么算得的结果是比较准确的.ee

关于计算的误差，则有如下的估计

e3118.,,,，dx（）6.810x,111!

11!

必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，不x

x能远离，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果.0

ln2如在的泰勒多项式中令=1，取它的前10项计算的近似值，得ln

（1），xx到

111111111ln21,,，,，,，,，,2345678910

=0.64563492„ln2而=0.69314728„，误差相当大，但如改用其他泰勒多项式，如

1，xlnln

（1）ln

（1）,，,,xx1,x

232232nn，，，，xxxxxx2n1（）,,，,,,,,,,,，xxox,,,,232232nn，，，，

8

3521n,，，xxx2n，2（）xox,，，，，，,,3521n,，，

1x,,令只取前两项便有3

111，，30.69135„,ln22（）,，,,,333，，

取前四项则可达到

1111111，，357=0.69312475„,ln22（）（）（）,，，，,,3335373，，

效果比前面好得多.

3311，,xx,,,,x例2当很小时，推出的简单的近似公式.,,,,,,11,，xx,,,,

x解:

当很小时，

111133331122，,xxxx,,,,,,,,,,，,,11,,,,,,,,1111,，,，xxxx,,,,,,,,

224xxx,，,,,[1][1]23

（1）3

（1）3

（1）,,,xxx

4x,3

2.3在不等式证明中的应用

关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.

例1设在二次可导，而且，，试求存在lim（）1fx,,fx（）[0,1]ff（0）

（1）0,,01,,x

,，使.,,（0,1）f（）8,,

x证:

由于在的最小值不等于在区间端点的值，故在内存在，fx（）[0,1][0,1]1

fx（）1,,fx（）0,使，由费马定理知，.11

又

,f（）,2,fxfxfxxxxx（）（）（）（）（）,，,，,11112!

9

,f（）,2,,，,1（）xx（介于与之间）,xx112!

x,1x,0由于，不令和，有ff（0）

（1）0,,

,f（）,210（0）1（0）,,,，,fx12所以

2,,fxx（）2

（1）

（1）,,,,,,1112

11,2,2,,,,1,,x,,x128x,2

（1）8,,x当时，，而当时，，可见f（）,与f（）,11111222

中必有一个大于或等于8.

2.4泰勒公式在外推上的应用

外推是一种通过将精度较低的近似值进行适当组合，产生精度较高的近似值

的方法，它的基础是泰勒公式，其原理可以简述如下.

hah（）若对于某个值，按参数算出的近似值可以展开成a1

23ahachchch（）,，，，，（*）1123

hha（）c（这里先不管的具体形式），那么按参数算出的近似值就是1i22

h11123aachchch（）,，，，，（**）11232248

ha（）ah（）和与准确值的误差都是阶的.oh（）a112

现在，将后（**）式乘2减去（*）式，便得到

h2（）（）aah,11232ahadhdh（）,,，，，22321,

也就是说，对两个阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后，却oh（）

2ah（）oh（）得到了具有阶的近似值.这样的过程就称为外推.2

ah（）若进行了一次外推之后精度仍未达到要求，则可以从出发再次外推，2

h4（）（）aah,22342，ahaeheh（）,,，，，33441,

3k,1ah（）oh（）得到阶的近似值.这样的过程可以进行步，直到3

hk,12（）（）,aahkk,,11k2，（）（）,,，ahaohkk,121,

10

满足预先给定的精度.外推方法能以较小的待解获得高精度的结果，因此是一种

非常重要的近似计算技术.

例1单位圆的内接正边形的面积可以表示为n

1,,Shh（）sin

（2），2h

1h,这里,按照泰勒公式n

35，，1

（2）

（2）hh,,Shh（）2,,，,,,,23!

5!

h，，

246,，，，，,chchch123

2n因此，其内接正边形的面积可以表示为

35，，hhh1（）（）,,Sh（）,,，,,,,23!

5!

h，，

1246,，，，，,chchch123，4

用它们作为的近似值，误差都是量级的.,oh（）

现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合:

hh4（）（）（）（）SShSSh,,h22ShS（）（）,,，4123,

那么通过简单的计算就可以知道

46Shdhdh（）,，，，,23

2Sh（）项被消掉了～也就是说，用近似表示，其精度可以大大提高.,h

2.5求曲线的渐近线方程

若曲线上的点到直线的距离在x,，,或yfx,（）（,（））xfxyaxb,，

a,0时趋于零，则称直线是曲线的一条渐近线.当时x,,,yaxb,，yfx,（）称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.显然，直线是曲线的渐yaxb,，yfx,（）

近线的充分必要条件为

lim[（）（）]0fxaxb,，,x,，,

或

lim[（）（）]0fxaxb,，,x,,,

11

如果是曲线的渐近线，则yaxb,，yfx,（）

fxaxb（）（）,，fxaxb（）（）,，lim0,lim0,（或）.x,，,x,,,xx因此首先有

fx（）fx（）,,alimalim（或）.x,，,x,,,xx其次，再由（或）可得lim[（）（）]0fxaxb,，,lim[（）（）]0fxaxb,，,x,，,x,,,

（或）bfxax,,lim[（）]bfxax,,lim[（）]x,，,x,,,

b反之，如果由以上两式确定了和，那么是曲线的一条渐近ayaxb,，yfx,（）

线.

a,0中至少有一个成立，则称直线是曲线的一条渐近线，当yaxb,，yfx,（）时，称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.而如果在趋于某个定值时趋fx（）xa

，,于或，即成立,,

lim（）fx,,,x,,

则称直线是的一条垂直渐近线.xa,fx（）

注意，如果上面的极限对于成立，则说明直线关于曲线x,,yaxb,，

在和两个方向上都是渐近线.x,，,x,,,yfx,（）

，,，,除上述情况外，如果当或时，趋于或，即,,fx（）xa,a

lim（）fx,,,，xa,

或

，lim（）fx,,,,xa,

则称直线是曲线的一条垂直渐近线.xa,yfx,（）

2

（1）x,y,例1求的渐近线方程.3

（1）x，

2

（1）x,y,解:

设的渐近线方程为，则由定义yaxb,，3

（1）x，

2yx

（1）1,a,,,limlimxx,,,,xxx3

（1）3，

12

2

（1）x,bax,,lim[]x,,3

（1）x，

2

（1）1x,,,lim[]xx,,3

（1）3x，

131,，xlim1,,=x,,31x，

2

（1）x,xy,,1由此为曲线y,的渐近线方程。

3

（1）x，3

2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用

泰勒公式是高等数学的一个重要内容，在各个领域有着广泛的应用，不少书

中利用它来判断函数的单调性、极值，由于泰勒公式的广泛应用，所以尝试利用

泰勒公式来研究函数的凹凸性何拐点.

定理1设在上连续，在上具有一阶和二阶导数.若在内fx（）[,]ab（,）ab（,）ab

,，则在上的图形是凹的.fx（）0,fx（）[,]ab

cd,xx,证明:

设为内任意两点，且足够小.为中的任意两[,]ab[,]cd[,]cd12

xxx,，（）/2点，记由定理条件的泰勒公式012

2,,fxxx（）（）,200,fxfxfxxxoxx（）（）（）（）（）,，,，，,00002!

,fx（）20由此，,,fxfxfxfxxxfxxxxx（）（）2（）（）（）（）（）（），,，,，,，,120010020102!

,fx（）2220，,，,，,oxxxxoxx（）（）（）1020202!

2（）xx,[,]xx因为余项为的高阶无穷小，又为足够小，所以泰勒公式n12

,fx（）220,,（）（）xxoxx,，,fx（）xxx,，（）/2的符号与相同.又因，所以0000122!

,fxxxfxxx（）（）（）（）0,，,,，可得:

010020

2（）xx,22220,,fxfxfxfxxxoxxoxx（）（）2（）（）（）（）（）0，,,,，，,，,,12001010202!

fxfxfx（）（）2（）0，,,fxfxfx（）[（）（）]/2,，即，得.120012

xx,由得任意性，可得在足够小的区间上是凹的.再由得任意fx（）[,]cdcd,12

13

性，可得在内任意一个足够小的区间内部都是凹向的.fx（）[,]ab

定理2若在某个内阶可导，且满足Ux（,）,fx（）n0

（1）n,n,,,fxfxfx（）（）（）0,,,,fxn（）0

（2）,,，且0000

（,（））xfx若

（1）为奇数，则为拐点;n00

（,（））xfx

（2）为偶数，则不是拐点.n00

,证明:

写出在x处的泰勒公式fx（）0

nnn,,22,,,,,fxfxfxxxfxxxnoxx（）（）（）（）（）（）/

（2）!

（（））,,,，，,,，,000000

因为

（1）n,,,,fxfxfx（）（）（）0,,,,000

nnn,,22n,2,,fxfxxxnoxx（）（）（）/

（2）!

（（））,,,，,（）xx,则，同样余项是的高阶无0000

穷小.

nn,2,,,fxxxn（）（）/

（2）!

,x所以的符号在的心领域内与相同.当为fx（）n000

nn,2,,fxxxn（）（）/

（2）!

,x奇数时，显然在的两边，符号相异，即的符号fx（）000

（,（））xfx相异，所以为拐点.00

,（,