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两自由度系统的振动
第5章两自由度系统的振动
应用单自由度系统的振动理论,可以解决机械振动中的一些问题。
但是,工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度,即多自由度的系统,才能描述其机械振动的主要特征。
多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别,例如,有多个固有频率、主振型、
主振动和多个共振频率等。
本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。
如图5-1所示。
平板代表车身,它的位置可以由质心C偏离其平衡位置的铅直位移z及平板的转角来确定。
这样,车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。
5.1双质量弹簧系统的自由振动
5.1.1运动微分方程
5.1.2
图5-2两自由度的弹簧质量系统
图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。
略去摩擦力及其它阻尼,以它们各自的静平衡位置为坐标x1、x2的原点,物体离开其平衡位置的位移用x1、x2
表示。
两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示,
由牛顿第二定律得
m1x1(k1k2)x1k2x20
m2x2k2x1k2x20
(5-1)
(5-2)
这就是两自由度系统的自由振动微分方程。
习惯上写成下列形式x1ax1bx2x2cx1dx2
显然此时
5.1.3固有频率和主振型
根据微分方程的理论,设方程(5-2)的解,即两自由度无阻尼自由振动系统的解为x1A1sin(pt)
(5-3)
11
x2A2sin(pt)或写成以下的矩阵形式
(5-4)
x1A1
sin(pt)
x2A2
将式(5-4)代入式(5-2),可得代数齐次方程组
展开后为
(5-6)
p4(ad)p2adbc0
式(5-6)唯一确定了频率p满足的条件,通常称为频率分程或特征方程。
它是p2的二次代数方程,它
的两个特征根为
(5-7)
由于式(5-7)确定的p2的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质,与运动的初始条件无关,因此p
称为系统的固有频率。
较小的一个称为第一阶固有频率,较大的一个称为第二阶固有频率。
5.2.2主振型
将固有频率p1和p2分别代入式(5-5)的任一式,可得到对应于它们的振幅比
以上二式说明,虽然振幅的大小与振动的初始条件有关,但当系统以任一阶固有频率作同步谐振动
时,振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。
同时联系到式(5-3)不难看出两个质量
其它各点的位移则都可以由x1和x2所决定。
这样在振动过程中,系统各点位移的相对比值都可由振
p1对应的振幅比1
幅比确定。
也就是说,振幅比决定了整个系统的振动形态,因之称为主振型。
与称为第一阶主振型,与p2对应的振幅比2称为第二阶主振型。
将式(5-7)中的p1、p2之值带入式(5-8),得
ad2
2
(5-10)
(5-12)
(5-13)
第二阶主振动为
x1
(2)A1
(2)sin(p2t2)
x2
(2)A2
(2)sin(p2t2)2A1
(2)sin(p2t2)
可见系统作主振动时,各点同时经过平衡位置和最大偏离位置,以确定的频率和振型作简谐振动。
但必须指出,并非任何情况下系统都可能作主振动。
(5-1)的通解,是它的两个主振动的线性
根据微分方程理论,两自由度系统的自由振动微分方程
组合,即
x1(t)x1
(1)x1
(2)A1
(1)sin(p1t1)A1
(2)sin(p2t2)
(1)x
(2)
22
x2(t)x2
(1)x(22)1A1
(1)sin(p1t1)2A1
(2)sin(p2t2)
上式可以写成如下的矩阵形式,即
x1x2
in(p1t1)
A1
(2)
2A1
(2)
sin(p2t2)
(5-14)
式中A1
(1),A1
(2),1,2由运动的初始条件确定。
所以一般情况下,系统的自由振动是两个不同频率
的主振动的叠加,其结果不一定是简谐振动。
例5-1试求图5-3(a)所示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。
已知各弹簧的弹簧常量k1
=k2=k3=k,物体的质量m1=m,m2=2m。
解:
(1)建立运动微分方程式分别以两物体的平衡位置为坐标原点,取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标,两物体沿x方向的受力图如图5-3(b)所示,它们的运动微分方程分别为
mx12kx1kx202mx2kx12kx20若写成(5-2)的标准形式,则
2kka,b,mm
所以
2
p1,2
ad
图5-3两自由度系统
a2dbc
k
c
2m
3k
2m
2m
)2
k2
2m2
3k3k
2m2m
k
解出,p120.634k,
m
2k
p222.366k。
因此,系统的第一阶和第二阶固有频率为m
p1
0.634k
m
p2
2.366k.
(3)求主振型
将p12、p22分别代入式(5-26),得
图5-4振型图
A2
(1)
1A12
(1)
A2
(2)
2A1
(2)
2
ap11
b0.732
2
ap21
b2.732
主振型为
系统的振型图如图5-4所示。
图(a)表明在第一主振型中二物体的振动方向是相同的;图(b)表明
在第二主振型中二者的振动方向是反相的,并且弹簧上的A点是不动的,这样的点称为节点。
例5-2在图示5-3所示系统中,已知m1m2m,k1k3k,k24k,求该系统对以下两组初始条件的响应:
(1)t=0,x10=1cm,x20x10x200;
(2)t0,x101cm,
解:
系统的的运动微分方程分别为
mx15kx14kx20
mx24kx15kx20
若写成(5-2)的标准形式,则
5k4kad,bc
mm
所以
解出,p12k,p229k。
mm
对应的两个主振型为
将初始条件
(1)代入式(5-10),解得
x10A1
(1)sin1A1
(2)sin21x201A1
(1)sin12A1
(2)sin20x10A1
(1)p1cos1A1
(2)p2cos20x20A1
(1)1p1cos1A1
(2)2p2cos20
所以
x1(t)cosp2tcos3t(cm),x2(t)cosp2tcos
图5-5双摆拍振
程,当1、2角位移很小时,得到摆做微小振动的微分方程
ml21mgl1ka2(21),ml22mgl2ka2(21)
用与前面类似的分析方法,得到系统的第一阶和第二阶固有频率为
m
系统的第一阶和第二阶主振型为
于是得到第一主振动
1
(1)
(1)sin(p1t1),2
(1)
(1)sin(p1t1)
第二主振动
1
(2)
(2)sin(p2t2),2
(2)
(2)sin(p2t2)
在任意初始条件下,系统振动的一般解
11
(1)1
(2)
(1)sin(p1t1)
(2)sin(p2t2)
2(21)(22)
(1)sin(p1t1)
(2)sin(p2t2)
如果初始条件是:
t=0时,1(0)0,2(0)1(0)2(0)0,代入上式得到
因此得到双摆作自由振动的规律
如果弹簧的刚度k很小,即
这时p1,p2相差很少,将上式写成
p2p1
令Δpp2p1pa21则上式为
2
这表明,两个摆的运动可以看作是频率为pa的简谐运动,但其振幅不是常数,而是缓慢变化的简谐函数0cosΔpt和0sinΔpt,这种现象称为拍振。
22
就是
称为拍的周期。
由于Δp较小,所以拍的周期一般较长。
此外,两个拍振之间相位角差为说,当t=0时,左边的摆以0开始摆动,右边的不动;随后,左边摆的振幅逐渐减小,右边摆的振
11
幅逐渐增大。
当tTB时,左边的摆停止,右边的摆达到0,再经过TB,即tTB时,右边的
22
摆停止,左边的摆达到0。
这种循环,每隔一个拍振周期重复一次。
可以看到,两个摆的动能也从
一个摆传递到另一个摆,循环传递,使它们持续地振动。
图5-6双摆拍振1cos0.05tcos2.05t,2sin0.05tsin2.05t的时间历程
5.3坐标的耦联
5.3.l耦联与非耦联
如前所述,一般情况下两自由度系统的振动微分方程组的形式为
x1ax1bx20
x2cx1dx20
可见在质点m1和m2的运动方程式中,都含有坐标x1和x2。
这表明,两个质点的运动不是互相独立的,它们彼此受另一个质点的运动的影响。
像这样表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时,就称这些坐标之间存在静力耦联或弹性耦联。
另外,与上式情况不同,当一个微分方程式中出现两个以上的加速度项时,称为在坐标之间有
动力耦联或惯性耦联。
某个系统中是否存在耦联取决于用以表示运动的坐标的选择方法,而与系统本身的特性无关。
一般说来,为了表示多质点系的运动状态,可以选用的独立坐标系,即广义坐标,可能有几种。
根据选择坐标的不同,系统可以是静力耦联,动力耦联、静力兼动力耦联,或非耦联的(即完全无耦联的)。
5.3.2主坐标
q1(t),q2(t)为广义坐标可写成如
(A)
从上一节的分析可以知道,两质点无阻尼系统的运动方程式以下最一般的形式
M11q1M12q2K11q1K12q20
M21q1M22q2K21q1K22q20
式中Mij和Kij(i≠j)分别表示动力和静力耦联项。
然而,如果坐标选择得当,可使式(A)中的耦联项为Mij=0,Kij=0(i≠j)。
即总是可以使微分方程式不联立,在每个式子中分别只含一个未知数而与另一未知数无关。
如果能得到这种独立的运动方程式,则作为方程解求出的系统各个分量的运动与其它各分量的运动无关,分别作具有各自固有的振幅、频率和相位的单自由度振动,即谐和振动,问题就大大简化了。
主坐标。
这种经特别选择的、可使方程式写成既无动力耦联又无静力耦联形式的坐标称为
例5-7试由双摆作微小摆动的微分方程,寻求系统的主坐标。
解:
双摆作微小摆动的微分方程为
1(gka22)1ka2220
lmlml
将以上两式相加、相减便得到
令112,212,上式变为
1g10
1l1
2(gka2)20
2lml22可见,1,2就是系统的主坐标,所以该系统的两个固有频率为
5.4双质量弹簧系统的受迫振动
在图5-3所示的两自由度系统力学模型中,若两个物块受到激振力的作用,F1(t)F1sint,F2(t)F2sint,可列出该系统的受迫振动微分方程,其矩阵形式为
m1x1(k1k2)x1k2x2F1sint
m2x2k2x1(k2k3)x2F2sint
则得
代入原方程组后得
(a)B1bB2f1
cB1(d2)B2
(5-17)
由此解出受迫振动的振幅
则得到
应的主振型。
振动测量中常利用这一规律来测量系统的固有频率,并根据共振时系统的振动形态来判断该固有频率的阶次。
例图5-3所示系统中已知各弹簧的弹簧常量k1=k2=k,k32k;物体的质量m1=m,m2=
2m。
若在质量m1上作用一激振力F1(t)F1sint而F2(t)0。
(1)
故系统的响应为
k)(红色)和无量纲频率p之间的关系曲线表明有两次共振。
每次共振时,两个质量块的振幅都同时达到最大值。
当激励频率为3k2m时,m1的振幅为零,这种现象通常称为反共振。
当激励频率3k2m时,两个质量块的运动方
向相同;当激励频率3k2m时,两个质量块的运动方向相反。
当p2时,两个质量块的振幅都非常小而趋于零。
5.5动力减振器
上节已经指出,对一个两自由度系统,当其中的一个质量块受到外界激励时,它却有可能不动而使另一个质量块运动。
根据这个原理,可以制成工程上常用的动力减振器。
图5-8所示梁上装有一电动机,运转时由于转子的偏心而诱发强迫振动。
这可用质量为m1、弹
簧刚度为k1的单自由度系统的受迫振动来描述。
在某一确定的电机转速下可能由于共振而引起强烈振动。
为此在梁上附加一个质量为m2、弹簧刚度为k2的弹簧质量系统,从而构成了一个两自由度
的系统。
a)
b)
图5-8动力减振器
F1sint
根据上节的讨论,此系统的振动微分方程为:
m1x1(k1k2)x1k2x2
m2x2k2x1k2x20
其强迫振动的振幅为
(d2)f1
B12
(2)
cf1
B212
2
(2)
式中
不难看出,当2d
(2)(a2)(d2)bc,k1k2k2
a,b
m1
m1
ck2d,f1m2
F1
m1
k2时,
m2
B10
f1
B21
2b
F1
这就是说,主系统不动而减振器以
k2
F1
x2B2sint1sint作受迫振动。
减振器弹簧在下端受到
22k2
的作用力为
k2x2F1sint在任何瞬时,都与激振力F1sint相平衡,因此使主系统的振动转移到减振器上来。
图当k2m21,m21时无量纲振幅B1和无量纲频率之间的关系曲线。
k1m1m1(F1k1)(k2m2)
5-9给出了
m2)1时,B1
动,而是以较小的振幅振动。
此外还可以看出在
由曲线可以看出,当
(Fk)0。
当考虑系统的阻尼时,主系统不是完全不
k2m2附近有两个共振峰值。
如果m2、k2选
择不当,可能引起新的共振。
为此必须控制附加动力减振器后的两自由度系统的固有频率。
5.6阻尼对强迫振动的影响
为了把问题简化,以上的分析都没有考虑系统的阻尼。
本节以图5-10所示系统为例,讨论阻尼对两自由度系统受迫振动的影响。
这个系统是在上节的动力减振器的两个质量块之间增加一个阻尼
器而成。
其运动微分方程为
m1x1(k1k2)x1k2x2c(x1x2)F1sintm2x2k2x1k2x2c(x1x2)0
(5-20)
仍只考虑稳态运动。
若利用复指数形式,则激振力为F1ejt,而
稳态运动的形式为x1B1ej(t1)x2B2ej(t2)
(5-21)
将(5-21)代入(5-20)后可解出B1、B2。
下面只以主质量m1的
振幅B1进行讨论。
其无量纲表达式为
B1
F1
k1
(22)2
(2)2
[22(21)(22)]2
(2)2(212)2
式中
(5-22)
m2
m1p01,cc,c2m2p01
B
可见对于确定的和,无量纲振幅1是和的函数,这与单自由度受迫振动的情况一样。
(F1k1)
p02
p01
2
p01
2p02
图5-10有阻尼的双弹簧质量系统
图5-11对应1和1的幅频特性曲线。
0为无阻尼的情况;相当于m1和m2刚性连
20
接,所以幅频特性曲线与单自由度受迫振动的幅频特性曲线相同。
不难看出,阻尼会使共振附近的振幅显著减小,但激振频率p1或p2时,阻尼对振幅的影响很小。
此外,(5-22)所代表的
响应曲线,无论的值如何都通过S与T两点。
这表明对于这两点对应的频率,主质量的振幅与阻尼无关。
图5-11考虑阻尼时动力减振器的幅频特性曲线
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