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考研数学讲座
考研数学讲座(3)极限概念要体验
极限概念是微积分的起点。
说起极限概念的历史,学数学的都多少颇为伤感。
很久很久以前,西出阳关无踪影的老子就体验到,“一尺之竿,日取其半,万世不竭。
”
近两千年前,祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率;用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形,进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。
他们都体验到,“割而又割,即将n取得越来越大,就能得到越来越精确的园周率值或面积。
”
国人朴实的体验延续了一千多年,最终没有思维升华得到极限概念。
而牛顿就在这一点上率先突破。
极限概念起自于对“过程”的观察。
极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。
自变量的变化趋势分为两类,一类是x →x0 ;一类是x →∞,
“当自变量有一个特定的发展趋势时,相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a ?
”如果是,则称数a为函数的极限。
“无限接近”还不是严密的数学语言。
但这是理解极限定义的第一步,最直观的一步。
学习极限概念,首先要学会观察,了解过程中的变量有无一定的发展趋势。
学习体验相应的发展趋势。
其次才是计算或讨论极限值。
自然数列有无限增大的变化趋势。
按照游戏规则,我们还是说自然数列没有极限。
自然数n趋于无穷时,数列1/n的极限是0;x趋于无穷时,函数1/x的极限是0;
回顾我们最熟悉的基本初等函数,最直观的体验判断是,
x趋于正无穷时,正指数的幂函数都与自然数列一样,无限增大,没有极限。
x趋于正无穷时,底数大于1的指数函数都无限增大,没有极限。
x →0+ 时,对数函数lnx趋于 -∞ ;x趋于正无穷时,lnx无限增大,没有极限。
x →∞ 时,正弦sinx与余弦conx都周而复始,没有极限。
在物理学中,正弦y=sinx的图形是典型的波动。
我国《高等数学》教科书上普遍都选用了“震荡因子”sin(1/x)。
当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。
具体想来,当x由0.01变为0.001时,只向中心点x=0靠近了一点点,而正弦sinu却完成了140多个周期。
函数的图形在 +1与-1之间上下波动140多次。
在x=0的邻近,函数各周期的图形紧紧地“挤”在一起,就好象是 “电子云”。
当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时,曾看到有的教材竟然把函数y=sin(1/x)的值整整印了一大页,他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。
x趋于0时(1/x)sin(1/x)不是无穷大,直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。
1/x为虎作伥,让震荡要多疯狂有多疯狂。
更深入一步,你就得体验,在同一个过程中,如果有多个变量趋于0,(或无限增大。
)就可能有的函数趋于0时(或无限增大时)“跑得更快”。
这就是高阶,低阶概念。
考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。
多少代人的千锤百炼,给微积分铸就了自己的倚天剑。
这就是一套精密的极限语言,(即ε–δ语言)。
没有这套语言,我们没有办法给出极限定义,也无法严密证明任何一个极限问题。
但是,这套语言是高等微积分的内容,非数学专业的本科学生很难搞懂。
数十年来,考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ语言的题目。
研究生入学考题中,考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。
这就是
“若x趋于∞时,相应函数值f(x)有正的极限 ,则当∣x∣充分大时,(你不仿设定一点x0,当∣x∣>x0时,) 总有f(x)>0 ”
*“若x趋于x0时,相应函数值f(x)有正的极限 ,则在x0的一个适当小的去心邻域内,f(x)恒正”
这是已知函数的极限而回头观察。
逆向思维总是更加困难。
不过,这不正和“近朱者赤,近墨者黑”一个道理吗。
除了上述苻号体验外,能掌握下边简单的数值体验则更好。
若x趋于无穷时,函数的极限为0,则x的绝对值充分大时,(你不仿设定一点x0,当∣x∣>x0时,) 函数的绝对值恒小于1
若x趋于无穷时,函数为无穷大,则x的绝对值充分大时,( 你不仿设定一点x0 , 当∣x∣>x0时,) 函数的绝对值全大于1
*若x趋于0时,函数的极限为0,则在0的某个适当小的去心邻域内,或x的绝对值充分小时,函数的绝对值全小于1
(你不仿设定有充分小的数δ>0,当0<∣x∣<δ时,函数的绝对值全小于1 )
没有什么好解释的了,你得反复领会极限概念中“无限接近”的意义。
你可以试着理解那些客观存在,可以自由设定的点x0,或充分小的数δ>0,并利用它们。
考研数学讲座(4)“存在”与否全面看
定义,是数学的基本游戏规则。
所有的定义条件都是充分必要条件。
即便有了定义,为了方便起见,数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价,又更好运用的描述方式。
讨论极限的存在性,就有如下三个常用的等价条件。
1. 海涅定理
观察x 趋于x0的过程时,我们并不追溯x从哪里出发;也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近x.0 ;我们总是向未来,看发展。
因而最直观的等价条件就是海涅定理:
定理
(1) 极限存在的充分必要条件是,无论x以何种方式趋于x0 ,相应的函数值总有相同的极限A存在。
这个定理条件的“充分性”没有实用价值。
事实上我们不可能穷尽x 逼近 x0 的所有方式。
很多教科书都没有点出这一定理,只是把它的“必要性”独立成为极限的一条重要性质。
即唯一性定理:
“如果函数(在某一过程中)有极限存在,则极限唯一。
”
唯一性定理的基本应用之一,是证明某个极限不存在。
2.用左右极限来描述的等价条件
用ε–δ语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件:
定理
(2) 极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。
这是在三类考研试题中出现概率都为1的考点。
考研数学年年考连续定义,导数定义。
本质上就是考查极限存在性。
这是因为
函数在一点连续,等价于函数在此点左连续,右连续。
函数在一点可导,等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。
由于初等函数有较好的分析性质。
考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。
考生一定要对分段函数敏感,一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。
(3)突出极限值的等价条件
考数学一,二的考生,还要知道另一个等价条件:
定理(3) 函数f(x)在某一过程中有极限A存在的充分必要条件是,f(x)-A为无穷小。
从“距离”的角度来理解,在某一过程中函数f(x)与数A无限接近,自然等价于函数值f(x)与数A的距离∣f(x)-A∣无限接近于0
如果记α=f(x)-A,在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换:
f(x)=A+α(无穷小)
考研题目经常以下面三个特殊的“不存在”为素材。
“存在”与否全面看。
有利于我们理解前述等价条件。
我用exp()表示以e为底数的指数函数,()内填指数。
例1 x 趋于0时,函数 exp(1/x)不存在极限。
分析 在原点x=0的左侧,x恒负,在原点右侧,x恒正。
所以
x 从左侧趋于 0 时,指数 1/x 始终是负数,故左极限 f(0-0)=0 ,
x 从右侧趋于 0 时,函数趋向 +∞ ,
由定理
(2),函数不存在极限。
也不能说,x 趋于0 时,exp(1/x)是无穷大
但是,在这种情形下,函数图形在点x=0有竖直渐近线 x=0
例2 x 趋于0时,“震荡因子”sin(1/x)不存在极限。
俗称震荡不存在。
分析 用海涅定理证明其等价问题,“x 趋于+∞时,sinx 不存在极限。
”
分别取 x=nπ及 x=2nπ两个数列,n 趋于+∞时,它们都趋于 +∞,相应的两列正弦函数值却分别有极限0与1,不满足唯一性定理(定理
(1))。
故sinx不存在极限。
例3 x 趋于 ∞时,函数 y=arctgx 不存在极限。
分析 把 ∞视为一个虚拟点,用定理
(2)。
由三角函数知识得,
x 趋于 +∞时,函数极限为π/2 ,x 趋于 -∞时,函数极限为 -π/2 ,
故,函数y=arctgx不存在极限。
请注意,证明过程表明,函数 y=arctgx 的图形有两条水平渐近线。
即
-∞方向有水平渐近线 y= -π/2 ; +∞方向则有 有y=π/2
例4 当x → 1时, 函数 f(x)=(exp(1/(x-1)))(x平方-1)∕(x-1) 的极限
(A)等于2 (B)等于0 (C)为 ∞ (D)不存在但不为 ∞
分析 考查 x → 1 时函数的极限 ,通常认为 x 不取 1 ;而 x≠1 时,可以约去分母(x-1),让函数的表达式化为 f(x)= (x+1)exp(1/(x-1))
左极限f(1-0)=0 ,x从右侧趋于1时,函数趋向 +∞ , (选(D))
(画外音:
多爽啊。
这不过是“典型不存在1”的平移。
)
例5 f(x)=(2+exp(1/x))∕(1+ exp(4/x))+ sinx ∕∣x∣ , 求x趋于0时函数的极限。
分析 绝对值函数y =| x | 是典型的分段函数。
x =0 是其定义分界点。
一看就知道必须分左右计算。
如果很熟悉“典型不存在1”,这个5分题用6分钟足够了。
实际上
x → 0- 时, lim f(x)=(2+0)/(1+0)-1=1
x → 0+ 时, exp(1/x)→ +∞,前项的分子分母同除以 exp(4/x)再取极限
lim f(x)=(0+0)/(0+1)+1=1
由定理
(2)得 x → 0 时 , lim f(x)=1
例6 曲线 y=exp(1/x平方)arctg((x平方+x+1)∕(x-1)(x+2))的渐近线共有
(A)1条. (B)2条。
(C)3条。
(D)4条。
选 (B)
分析 先观察x趋于 ∞时函数的状态,考查曲线有无水平渐近线;再注意函数结构中,各个因式的分母共有三个零点。
即 0,1 和-2;对于每个零点 x0 ,直线 x = x0 都可能是曲线的竖直渐近线,要逐个取极限来判断。
实际上有
x →∞时,limy=π/4 , 曲线有水平渐近线 y=π/4
其中, x →∞时, limexp(1/x平方)=1
lim((x平方+x+1)∕(x-1)(x+2))=1 (分子分母同除以“x平方”)
考查“嫌疑点” 1和 -2时,注意运用“典型不存在3”,
f(1-0)= -eπ/2 ; f(1+0)= eπ/2 , x =1 不是曲线的竖直渐近线。
类似可以算得 x = -2不是曲线的竖直渐近线。
x → 0 时,前因式趋向+∞;后因式有极限 arctg(-1/2),x =0 是曲线的竖直渐近线。
啊,要想判断准而快,熟记“三个不存在”。
看了上面几例,你有体会吗?
*还有两个判断极限存在性的定理(两个充分条件):
定理(4)夹逼定理 —— 若在点 x0 邻近(或 | x |充分大时)恒有 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ,且 x →x 0 ( 或x →∞) 时limg(x)=limh(x)=A 则必有 limf(x)=A
定理(5) 单调有界的序列有极限。
(或单增有上界有极限,或单减有下界有极限。
)
加上讲座(3)中的““近朱者赤,近墨者黑”定理”。
共计六个,可以说是微分学第一组基本定理。
考研数学讲座(5)无穷小与无穷大
微积分还有一个名称,叫“无穷小分析”。
1. 概念
在某一过程中,函数 f(x)的极限为 0 ,就称 f(x)(这一过程中)为无穷小。
为了回避ε–δ语言,一般都粗糙地说,无穷小的倒数为无穷大。
无穷小是个变量,不是 0 ; y=0 视为“常函数”,在任何一个过程中都是无穷小。
但这是平凡的,没有一点意义。
通常被排除在讨论之外。
依据极限定义,无穷大不存在极限。
但是在变化过程中变量有绝对值无限增大的趋势。
为了记述这个特点,历史上约定,“非法地”使用等号来表示无穷大。
比如
x 从右侧趋于0时,limlnx= -∞;x 从左侧趋于π/2 时,limtgx=+∞
(潜台词:
仅仅表明它其绝对值有无限增大的趋势,并不表示极限存在。
)
无穷大与无界变量是两个概念。
无穷大的观察背景是过程,无界变量的判断前提是区间。
无穷小和无穷大量的名称中隐含着它们(在特定过程中)的发展趋势。
在适当选定的区间内,无穷大量的绝对值没有上界。
y=tgx(在x →π/2左側时)是无穷大。
在(0,π/2)内 y=tgx 是无界变量
x 趋于 0 时,函数 y=(1/x)sin(1/x)不是无穷大,但它在区间(0,1)内无界。
不仿用高级语言来作个对比。
任意给定一个正数E,不管它有多大,当过程发展到一定阶段以后,无穷大量的绝对值能全都大于E ;而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到一点,此点处的函数绝对值大于E 。
2. 运算与比较
有限个无穷小量的线性组合是无穷小 ;“∞-∞”则结果不确定。
乘积的极限有三类可以确定:
有界变量·无穷小 = 无穷小 无穷小·无穷小 = (高阶)无穷小
无穷大·无穷大 = (高阶)无穷大
其它情形都没有必然的结果,通通称为“未定式”。
例10 作数列x=1,0,2,0,3,0,---,0,n,0,---
y= 0,1,0,2,0,3,0,---,0,n,0,---
两个数列显然都无界,但乘积xy是零数列。
这表示可能会有 无界·无界 = 有界
两个无穷小的商求极限,既是典型的未定式计算,又有深刻的理论意义。
即“无穷小的比较”。
如果极限为1,分子分母为等价无穷小;极限为 0 ,分子是较分母高阶的无穷小;极限为其它实数,分子分母为同阶无穷小。
无穷大有类似的比较。
无穷小(无穷大)的比较是每年必考的点。
x 趋于 0 时,α=xsin(1/x)和 β=x 都是无穷小,且显然有∣α∣≤∣β∣;但是,它们的商是震荡因子sin(1/x),没有极限。
两个无穷小不能比较。
这既说明了存在性的重要,又显示了震荡因子sin(1/x)的用途。
能够翻阅《分析中的反例》的同学可以在其目录页中看到,很多反例都用到了震荡因子。
回到基本初等函数,我们看到
x 趋于 +∞时,y=x 的μ次方,指数μ>0 的幂函数都是无穷大。
且习惯地称为 μ阶无穷大。
(潜台词:
这多象汽车的1档,2档,--- 啊。
)
x 趋于 +∞时,底数大于 1 的指数函数都是无穷大;底数小于 1 的都是无穷小。
x 趋于 +∞或 x 趋于0+ 时,对数函数是无穷大。
x 趋于 ∞时,sinx 及 cosx 都没有极限。
正弦,余弦,反三角函数都是有界变量。
请体验一个很重要也很有趣的事实。
(1) x → +∞时, lim (x的n次方)∕exp(x)=0 , 这表明:
“x 趋于 +∞时,指数函数 exp(x)是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。
”
或者说,“x 趋于 +∞时,函数 exp(-x)是任意高阶的无穷小。
”
(2) x → +∞时, limlnx∕(x的δ次方)=0; δ是任意取定的一个很小的正数。
这表明:
“对数函数 lnx 是比 x的δ次方都还要低阶的无穷大。
”
在数学专业方向,通常称幂函数(x的n次方)为“缓增函数”; 称 exp(-x)为“速降函数”。
只需简单地连续使用洛必达法则就能求出上述两个极限。
它让我们更深刻地理解了基本初等函数。
如果只知道极限值而不去体验,那收获真是很小很小。
例11 函数 f(x)=xsinx (A)当x →∞时为无穷大。
(B)在(-∞,+∞)内有界。
( C)在(-∞,+∞)内无界。
(D)在 x→∞ 时有有限极限。
分析 这和 y=(1/x)sin(1/x)在x趋于0时的状态一样。
(选(C))
例12 设有数列 Xn,具体取值为
若n为奇数,Xn=(n平方 + √n )∕n ;若n为偶数,Xn=1∕n
则当 n → ∞ 时,Xn 是(A)无穷大量 (B)无穷小量 (C)有界变量 (D)无界变量
分析 一个子列(奇下标)为无穷大,一个子列是无穷小。
用唯一性定理。
选(D))
请与“典型不存在1”对比。
本质相同。
例13 已知数列 Xn 和 Yn 满足 n → ∞ 时,limXn Yn =0 ,则
(A)若数列 Xn 发散,数列 Yn 必定也发散。
(B)若数列 Xn 无界,数列 Yn 必定也无界。
(C)若数列 Xn 有界,数列 Yn 必定也有界。
(D)若变量 1∕Xn 为无穷小量,则变量 Yn 必定也是无穷小量。
分析 尽管两个变量的积为无穷小,我们却无法得到其中任何一个变量的信息。
例10给了我们一个很好的反例。
对本题的(A)(B)(C)来说,只要 Yn 是适当高阶的无穷小,就可以保证 limXn Yn =0
无穷小的倒数为无穷大。
故(D)中条件表明 Xn 为无穷大。
要保证 limXn Yn =0 ,Yn 必须为无穷小量。
应选答案(D)。
考研数学指导(6)微观分析始连续
微分学研究函数。
函数是描述过程的最简单的数学模型。
由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的,且由一个数学式子所表示的函数,统称为初等函数。
大学数学还让学生学习两类“分段函数”。
或是在不同的定义区间内,分别由不同的初等函数来表示的函数;或者是有孤立的特别定义点的函数。
微分学研究函数的特点,是先做微观分析。
即讨论函数的连续性,可导性,可微性。
再通过函数的导数来宏观地研究函数的图形特征。
即单调性,有界性,奇偶性,周期性等。
1.函数的连续性
定义 —— 设函数 f(x) 在点 x0 的邻近有定义。
当 x 趋于 x0 时,如果函数有极限, 且极限值等于函数值 f(x0),就称函数 f 在点 x0 连续。
否则,称函数 f 在点 x0 间断。
x0 是它的间断点。
“函数f在点 x0 的邻近有定义”意味着,如果函数在点 x0 没有定义,那 x0 只是函数的一个孤立的无定义点。
也就是函数的一个天然的间断点。
y=1/x在原点就是这样的。
“有极限” 意味着存在。
在分段函数情形,要立即转换成“左右极限存在且相等。
”
函数在一点连续的定义等式,“左极限 = 右极限 = 中心点函数值”,最多可以得出两个方程。
如果在这里出题:
“用连续定义求参数值。
”则函数可以含一个或两个参数。
如果函数在区间上每一点连续,就称函数在此区间上连续。
最值定理——在闭区间上连续的函数一定有最大,最小值。
“有”,意味着至少有两点,相应的函数值分别为函数值域中的最大,最小数。
介值定理——如果数 c 能被夹在连续函数的两个值之间,则 c 一定属于此函数的值域。
请体会我的描述方式,这比教科书上写的更简明。
介值定理的一个特殊推论是,连续函数取正取负必取零。
从理论上讲,求方程F(x)=0的根,可以转化为讨论函数F的零点。
例16 试证明,如果函数 f 在闭区间上连续,则它的值域也是一个闭区间。
分析 函数f在闭区间上连续,f 必有最大值 M=f(x1),最小值 m= f(x2),闭区间 [m ,M] 内的任一数c ,自然就夹在 f 的两个最值之间,因而属于 f 的值域。
即 f 的值域就是这个闭区间。
例17 试证明连续函数在相邻的两个零点间不变号。
(潜台词:
没有零点的连续函数定号。
)
分析 如果此连续函数在相邻的两个零点间变号。
则它取正取负必取零。
与已知矛盾。
(潜台词:
函数究竟恒正还是恒负,选个特殊点算算。
)
例18 函数f在闭区间 [a,b]上连续,其值域恰好也是 [a,b],试证方程 f(x)=x 在区间 [a,b]上有解。
分析 作 F=f(x)-x ,它显然在已知闭区间上连续。
且有 F(a)≥0 而 F(b)≤0
如果有一等号成立,则结论得证。
否则,用介值定理。
(潜台词:
要寻找反号的两个函数值,当然该先把已知点拿去试试。
)
2. 间断点分类
连续的对立面是间断。
人们把函数的间断点分为两类。
若函数在某点间断,但函数在这点的左右极限都存在。
就称此点为第一类间断点。
若函数在某点间断,且至少有一个单侧极限不存在,就称此点为第二类间断点。
第一类间断又分为两种。
左右极限不相等,跳跃间断;左右极限相等,可去间断。
若考题要求你去掉某个可去间断点时,你就规定极限值等于此点的函数值,让其连续。
对于第二类间断,我们只学了两个特例。
即
x=0 是震荡因子 y=sin(1/x) 的震荡间断点。
( 画外音:
请联想“典型不存在
(2)”)
x=0 是函数 y=exp(1/x) 的无穷间断点。
( 画外音:
请联想“典型不存在
(1)”)
只要函数在 x0 的一个单側为无穷大,x0 就是函数的无穷间断点。
x= x0 是图形的竖直渐近线。
考题中经常把问题平移到别的点去讨论。
例 19 确定 y= exp(1/x) arctg((x+1)/(x-1))的间断点,并说明其类型。
分析 函数的解析表达式中,分母有零点 0,1 (潜台词:
两个嫌疑犯啊。
)
在点 0 ,前因子的右极限为正无穷,后因子连续非零, 故 0 点是无穷间断点.
在点 1 ,前因子连续非零,后因子的左极限是 -π/2,右极限为π/2,第一类间断。
三个特殊的“不存在”记得越熟,计算左右极限就越快。
要有一个基本材料库,典型的知识首先在基本材料范围内滚瓜烂熟,你就会走得踏实走得远。
例20 设函数 f(x)=x∕(a+ exp(bx))在(-∞, -∞)内连续,且 x → -∞时,极限 limf(x)=0 ;
则常数 a ,b 满足(A)a <0,b <0 (B)a >0,b >0 (C)a≤0,b >0 (D)a≥0,b <0
分析 初等函数的表达式中若有分母,则分母的零点是其天然没有定义的点,也就是函数的一个天然间断点。
已知函数连续,则其分母不能为 0,而指数函数exp(bx) 的值域为(0,+∞),故 a≥ 0
又,x → -∞时,极限 limf(x)=0 表明, f(x) 分母是较分子x高阶的无穷大,即要指数函数exp(bx)为无穷大,只有 b <0,应选(D)。
(画外音:
一个4分题,多少概念与基础知识综合!
典型的考研题!
漂亮的考研题!
)
*例21 已知函数f(x)在区间 [a,b]上处处有定义,且单调。
若f(x)有间断点,则只能是第一类间断点。
分析 (构造法) 不仿设f(x)在区间 [a,b]上单增,但是有间断点x0 ;我们得证明f在点x0的左右极限都存在。
已设f在区间单增,余下的问题是寻找其上界或下界。
事实上有
x → x0- 时,f单增,显然 f(b) 是它的一个上界。
故左极限存在。
x → x0+ 时,自变量从右向左变化,相应的f值单减。
显然 f(a) 是其一个下界。
右极限也存在。
构造法是微积分自己的方法。
它的要点是,实实在在地梳理函数的构造及其变化,由此推理获得所要结果。
考研数学指导(7)导数定义是重点
选定一个中心点 x0 ,从坐标的角度讲,可以看成是把原点平移;从物理角度说,是给定一个初始点;从观察角度议,是选好一
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