第八章 二元一次方程组教案.docx

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第八章二元一次方程组教案

2.2一元一次方程的的讨论

（1）第1课时教案

⏹一、背景与意义分析

本节前一节2.1节已介绍了一元一次方程的意义及等式性质，本节主要解决如何一元一次方程解法的问题。

一元一次方程是最简单的方程，它的解法是解其它代数方程的基础。

本章从引出方程、一元一次方程的的概念，到讲解一元一次方程的解法，都是从实际问题导入。

在解决实际问题的过程中探讨概念、数量关系、列方程的方法、解方程的步骤。

使本章的学习始终贯彻数学建模的思想。

本课主要学习“合并”，根据“问题1”所得的方程，观察其特征，利用分配律，分析得到“合并”法则，从而得到这类一元一次方程的解法。

⏹二、学习与导学目标

1．知识积累与疏导：

通过“问题1”，分析等量关系，得到一元一次方程。

认知率达100%。

2．技能掌握与指导：

通过分析一元一次方程特征，掌握“合并”法则，从而学会该类一元一次方程。

利用率100%。

3．智能提高与训导：

在与同学与老师的交流探究过程中，学会合作，学会向别人清晰表过自己的思维过程。

4．情感修练与开导：

积极创设问题情景，初步理解解一元一次方程的基本思想。

投入率95%。

5．观念确认与引导：

通过“解方程”这一数学方法的发现与实际过程，感受到“问题情境----分析讨论----发现方法----解释应用”模式，从而更好理解解方法的基本思想。

认同率95%。

⏹三、障碍与生成关注

通过分析较复杂方程，找到化归为简单方程的过程难度较大，为此要鼓励学生积极思考。

⏹四、学程与导程活动

（一）创设情景，引入新课

介绍数学阿尔·花拉子米及关于方程的著作《对消与还原》。

引入问题：

“对消与还原”是什么意思？

（二）分析例题，揭示课题

问题1某校三年共购买计算机140台，去年购买数学是前年的

2倍，今年购买数学又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？

基本思想：

列方程------解方程

（1）列方程

设未知数：

设前年购买计算机x台。

分析：

第一步：

问题中还有哪些量？

如何表示？

去年购买计算机__________台；

今年购买计算机__________台。

第二步：

问题中有什么样的等量关系？

前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台

第三步：

根据上面分析，列出方程

x+2x+4x=140……………….

（1）

上面得到的方程如何解呢？

（三）观察分析，化简方程

分析：

第一步：

观察这个方程与前面所解的一元一次方程有什么不同？

这个方程比上节所学的方程相比，式子比较复杂。

所以不能简单求解。

如果上面的方程能转化为比较简单的一元一次方程，那么方程

（1）就是可解的。

如何转化呢？

第二步：

观察x+2x+4x特征，由分配律可化简

x+2x+4x=（1+2+4）x=7x

这个过程称为“合并”

这样原方程可化为：

7x=140

这个方程是一个简单的一元一次方程，是可以解的，所以原方程就可以解了。

第三步：

总结解此类一元一次方程的步骤。

x+2x+4x=140

↓合并

7x=140

↓系数化为1

x=20

（四）解答例题，规范书写

例解方程3x+2x-8x=7

解：

合并，得

-3x=7

两边同除以-3，得

x=-

（五）练习巩固，总结讨论

（1）课本P771,2

（2）小结：

（3）作业：

P82，1，3

（1）（3）

⏹五、笔记与板书提纲

课题问题1分析补充例题

问题1解方程

⏹六、练习与拓展选题

星期天，小明、小华、小芳帮助李奶奶家摘棉花，三人共摘80斤。

已知，小华摘的棉花是小明的

，小芳、小华的斤数之比为5：

6，求三个各摘多少斤？

⏹七、分别与重点辅导

（略）

2.2一元一次方程的的讨论

（1）（第2课时）

⏹一背景与意义分析

本课时是人教版七年级上册第二章第二节从古老的代数书说起-----一元一次方程的的讨论

（1）的第二课时,通过本节课的教学,不仅要激发学生学习数学的兴趣,而且要让学生体会到数学就来源于生活.从中国古代灿烂的文化,激发学生的爱国热情.

在上一节课,已经重点讨论了解方程中的“合并”。

通过本节课的教学，学进一步解ax+b=cx+d型的方程的解法，进一步体会“解方程就是要使方程不断向x=a的形式转化”的化归思想。

引导学生联系解方程的目标体会解法。

⏹二学习与导学目标

知识技能：

1、找相等关系列一元一次方程

2、用移项解一元一次方程

数学思考：

1、学习分析问题找到相等关系并通过列方程解决问题的方法

2、通过学习移动解一元一次方程，体会到式子变形的转化作

用。

解决问题：

体会解方程中的化归思想，会移项、合并解ax+b=cx+d型方

程，进一步认识如何用方程解决实际问题。

情感态度：

通过学习“合并”和“移项”，体会古老的代数书中的“对消”

和“还原”的思想，激发数学学习的热情。

⏹三障碍与生成关注

重点1、找相等关系，列一元一次方程

2、用移项，合并等解一元一次方程

难点找相等关系列方程，正确地移项解一元一次方程

⏹四学程与导程活动

活动1

复习：

通过“合并”解方程

（1）-6x+5.6x=2

（2）

x-

x=

（3）6z-1.5z-2.5z=3

（从学生已有的知识出发，为进一步学习做好知识准备）

活动2

问题2把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本，如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？

设这个班有x名学生分析题意找出等量关系，

列出方程：

3x+20=4x-15

（通过问题2，再现列方程解决实际问题的过程）

活动3

（1）方程3x+20=4x-25的两边都有含x的项（3x与4x）和不含字母的常数项（20与-25），怎样才能使它向x=a（常数）的形式转化呢？

同时解释“含x的项”和“常数项”

（前后两桌为一组，讨论交流，如何变为x=a的形式）

（通过问题2提供的方程，学习移项法解方程，体会知识的发展过程）

（2）为了使方程的右边没有含x的项，等号两边同减4x为了使左边没有常数项，等号两边同减20，整个过程利用了等式的性质1，通过观察结果强调“变号”这个特点，从而理解移项的概念。

（3）移项的概念：

像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项

（4）用下面的框图表示解这个方程的具体方程

3x+20=4x-25

↓移项

3x-4x=-25-20

↓合并

-x=-45

↓系数化为1

x=45

活动4

例题解方程：

（1）-0.48x-6=0.02x

（2）5x+2=7x-8

演示解方程的具体步骤，格式，规范书写

活动5

练习P79

活动6

总结：

移项的方法及注意点，体会“对消”和“还原”与“合并”和“移项”的思想。

（通过对移项的思考及解方程过程的总结，丰富学生的认知结构）

活动7

作业：

P822、3、7、9

⏹五笔记与板书提纲

问题2例题

（1）

（2）

移项法则练习

（1）

（2）

⏹六练习与拓展过程

1、已知k是整数，关于x的方程7x-5=kx+9有正整数解，求k的所有可能值

2、（古代数学问题）好马每天走240里，劣马每天走150里，劣马先走12天，好马几天可以追上劣马？

⏹七个别与重点辅导

学生姓名（略）

2.2一元一次方程的的讨论

（1）第3课时教案

一背景与意义分析

本课在引出了方程一元一次方程等基本概念，以及一元一次方程的解法，引出例1，例2有关数列的数学问题，题中有三个未知数，它们是互相联系，通过观察可以发现它们的排列规律，然后根据数量关系，设出适当的未知数，列出一元一次方程。

以方程为工具分析问题，解决问题，即建立方程模型是全章的重点。

同时，也是难点。

而本节课通过一个同学熟悉的“配比”问题引入，引导学生尝试用算术方法解决它，然后，再进一步分析，由学生列出含未知数的式子表示有关的量。

根据题中的相等关系，列出方程达到解决问题目的。

然后，进一步引出例1等问题。

通过师生共同参与，探索，发现，归纳，使学生认识到用方程这样的工具来解决应用题的优越性，从而激发学生学习数学的热情。

二学习与导学目标

知识技能：

（1）一元一次方程解决实际问题;

（2）会通过合并，移项解一元一次方程;

（3）进一步巩固用一元一次方程解决实际问题的步骤;

数学思考：

（1）会将实际问题转化为数学问题，通过列方程解决问题;

（2）会用不同的方程解决实际问题;

解决问题：

通过学生自主探究，师生共同研讨，体验将实际问题转化

成数学问题，并加以解决。

三障碍与生成关系

重点：

会用一元一次方程解决实际问题;

难点：

通过寻找规律，将实际问题转化为数学问题，通过列方程解决问题。

四学程与导程活动

教学流程安排

活动流程图

活动1

创设问题情境

活动2

提出例题1

活动3

通过希腊数学家丢番图的墓碑上记载的数学题激发学生学数学的热情。

活动4

巩固练习，进一步激发学生学数学用数学的热情，提高分析解决问题的能力

活动5

小结，本节课你学到什么?

活动内容和目的

由问题引入例1，激发学生学习欲望

对问题分析理解，找出规律，让学生学会分析问题的方法

教师引导学生回忆总结

教学过程设计

问题与情境

活动1

一种混凝土中，水泥，黄沙，石子的配比是1：

2：

3，现有混凝土1000kg，则水泥，黄沙，石子各有多少kg?

活动2

例1有列数，按一定规律排列，1，-3，9，-27，81，-243，…，其中某三个相邻数的和是-1701，这三个数各是多少?

活动3

希腊数学家丢番图（公元3-4世纪）的墓碑上记载着：

”他生命的d腊数学系,__________________________________________________________________________________________________________________________

是幸福的童年;再活了他生命的

，两颊长起了细细的胡须;他结婚了，又度过了一生的

，再过5年他有了儿子，感到很幸福;可是儿子只活了他生命的一半;儿子死后他在极度悲痛中，度过了4年，也与世长辞了”，丢番图活了多少年?

活动4

练习，

1。

填空

（1）有一数列，按一定规律排成0，2，6，12，29，…，则第8个数为______，第n个数为_____

（2）有一数列，按一定规律排成1，-2，3，2，-4，6，3，-6，9，接下来的三个数为________

2。

用72厘米的铁丝做一个长方形，要使长是宽的2倍多6厘米，则这个长方形的长和宽各是多少厘米?

3。

有若干个小方格，第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒，第4格8粒，如此类推，从第几格开始的连续三格中共有448粒?

活动5

小结

作业

课本习题2。

24，5，6，7

师生行为

1.如何寻找规律?

2.算术方法如何做?

3.你会列方程解吗?

4.怎样设未知数?

由学生来解决上述问题

1.引导学生通过从符号和绝对值两方面观察，这列数有什么规律?

如果设其中一个数为a，那么它后面与前面相邻的数是_____________

可通过小组讨论的方式，共同探讨，得出结论。

2。

本题的相等关系是什么?

如何设未知数，列方程?

师生共同完成此求解过程。

解：

设这三个相邻数中的第一个数为x，那么第2个数就是-3x，第3个数是-3×（-3x）=9x

由题意，得

x-3x+9x=-1701

合并，得

7x=-1701

系数化为1，得

x=-243

所以-3x=729

9x=-2187

答：

这三个数是：

-243，729，-2187

如果不这样设未知数，你还有其它的解法吗?

首先提出算术方法怎么解，然后共同分析找出相等关系，即各年龄段之和等于他去世的年龄，设出适当的未知数。

然后由学生完成解答过程。

学生练习，教师巡视辅导，并作适当的引导，并通过小组讨论交流，达到解决问题的目的。

1.现实生活中的许多问题用一元一次方程来解决更方便

2.用一元一次方程解决问题的一般步骤是：

一审题

二设未知数

三列方程

四解方程

五答

3.如何寻找规律，逐步通过渗透让学生掌握从特例到一般的分析思想方法。

设计意图

由学生熟悉的问题入手，探求一般的规律

教师引导则必不可少

找出这列数的规律，特别是三数之间的规律，是本题的难点。

强化规范列方程解应用题的步骤和书写要求，培养学生严谨，细致的学习习惯和分析解决问题的能力。

树立多种方法解决问题的创新意识，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情

通过此题的研究，进一步激发学生学习数学的热情，体会利用方程解应用题的优越性。

引导同学“执果索因”和“由因导果”的方法，研究数学问题从而逐步建立用方程的方程解决问题的意识。

2.2一元一次方程的讨论

（1）（第4课时）

教学目标

进一步体会用一元一次方程解决实际问题的基本过程，巩固通过移项、合并解一元一次方程；学习将实际问题转化为数学问题，感悟数学建模思想，体会数学的应用价值；会设未知数，并利用问题中的相等关系列方程，且正确求解。

初步掌握用方程解决实际问题的基本过程；通过学习使学生更加关注生活，增强用数学的意识，激发学习数学的热情。

重点：

会用一元一次方程解决实际问题。

难点：

将实际问题转化为数学问题，通过列方程解决问题。

教程：

展示问题，激发学生学习数学的热情：

全球通

神州行

月租费

50元/月

0

本地通话费

0．40元/分

0．60元/分

某人新买一部手机，了解到电信公司有两种移动电话计费方式（如图）。

他正为选择哪一种方式犹豫呢！

请帮助他选择。

帮助学生掌握有关信息，明确问题的关键是要知道每月通话的大约时间。

用具体小问题作铺垫，逐步深入解决问题。

问题

（1）一个月内本地通话200分钟和300分钟，按两种计费方式各需交费多少元？

学生完成（板演）：

通话200分钟50+0.40×200=130（元）

0.60×200=120（元）

通话300分钟50+0.40×300=170（元）

0.60×300=180（元）

分析所得结果后提出问题

（2）。

问题

（2）会出现两种移动电话计费方式的收费一样的情况吗？

让学生进一步明确问题即：

月累计通话多少分钟时，两种方式收费一样？

并引导学生用方程来解决：

设累计通话分钟，则用“全球通”费用为（50+0.4t）元，用“神州行”费用为0.6t元，则得方程

0.6t=50+0.4t

以下由学生完成。

问题（3）选择哪种计费方式费用少？

学生交流讨论，教师适当讲解。

引导学生明确关键是估计月累计通话时间是大于250分钟还是小于250分钟。

③结合以上的问题

（2），师生共同小结归纳用一元一次方程解实际问题的基本过程（P81结构图）

数学问题

（一元一次方程）

实际问题

列方程

解

方

程

数学问题的解

实际问题

答案

检验

课堂练习P1047（若多数学生独立解决问题有困难，则可先师生共同探讨）

⑤小结全课引导学生回忆⑴用一元一次方程解实际问题的基本过程；⑵最佳方案问题。

作业：

P8310、11（预计要适当，引导学生分析作业题）

2.3一元一次方程的讨论

（2）（第1课时）

一背景与意义分析

本课安排在第二章第三小节，属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域。

本课在前面列、解一元一次方程的基础上，进一步探讨列方程解方程的问题，如何根据实际列方程，如何解方程是本课的重点，正确利用“去括号”变形来解方程是本课的难点，本课是在建立和运用方程这种数学模型的大背景下进行的。

二学习与导学目标

1．知识积累与疏导：

结合一些实际问题讨论一元一次方程，掌握“去括号”法则。

2．技能掌握与指导：

能根据实际问题中的等量关系列出方程，感悟到方程是刻画现实世界的一个有效模型。

3．智能的提高与训导：

通过同学间，学生和老师的合作探讨让学生逐步学生思维。

4．情感修炼与开导：

俄罗斯古题创设情境，激发学生学习数学的热情，增强数学教科书的人文色彩。

5．观念确认与引导：

会通过列方程解决实际问题，并会将含有括号的方程化归成已经熟悉的方程，逐步培养学生的化归思想。

.三障碍与生成关系

关注方程与实际问题的联系，感受数学建模思想。

四学程与导程活动

（一）创设问题情境

活动1：

展示问题（幻灯片）俄罗斯小说家契诃夫的小说《家庭教师》中，写了一位教师为一道算术题大伤脑筋。

我们来看看这道题。

问题（买布问题）顾客用540卢布买了两种布料共138俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料每俄尺5卢布，两种布料各买了多少？

（二）探索解决方法

活动2：

先让学生读题，然后老师提出，你会用方程解这道题吗？

以同桌同学或前后两桌为一组，讨论交流一下，此题怎样解，老师巡视之后，若发现学生中有会解的，请同学板演并指出每个式子的意义，若没有，则作如下提示：

设买了蓝布x俄尺，那么买了黑布料_________俄尺，买蓝布料花了3x卢布，买黑布料花了________卢布，根据买两种布共用540卢布，列得方程为______________

活动3

列出方程后，教师再次提出问题：

怎样解这个方程，求出x值？

学生思考，交流，得出共识，先去括号，然后按已学方程变，化简成x=a的形式。

活动4

尝试练习：

去括号是解方程时常用的变形，分别将式子2（x+2y-2）,-3（3x-y+1）,-（4a+3b-5c）去括号，你能从中发现去括号时符号变化析规律吗？

注意其中-（4a+3b-5c）=（-1）•（4a+3b-5c）（幻灯片）

学生学会合作完成作业，归纳总结去括号法则（幻灯片）

所列方程的具体过程：

3x+5（138-x）=540

↓去括号

3x+690-5x=540

↓移项

3x-5x=540-690

↓合并

-2x=-150

↓系数化为1

x=75

↓代入

138-x=63

由上可知，买了75俄尺蓝布料和63俄尺黑布料

活动5

巩固去括号法则，解下列方程

（1）4x+3（2x-3）=12-（x+4）

（2）6（

x-4）+2x=7-（

x-1）

活动6

师生小结归纳（幻灯片）

五笔记与板书提纲

1课题

2幻灯片

3师生板演练习

六练习与拓展选题

1、P91/1，2

2、P92/11（选做题）.

七个别与重点辅导

学生姓名（略）

2.3一元一次方程的的讨论

（2）第2课时

一、背景与意义分析

本课主要是结合实际问题继续讨论一元一次方程的解法与与运用。

在前几节课，学生已经学会通过移项，合并，去分母来解一元一次方程。

而本节课的主要任务是要在熟练解方程的基础上，利用一元一次方程来分析问题，并解决实际问题。

本课主要设置了两个问题。

问题

（1）是行程问题中的航行问题，涉及了顺流、逆流因素。

这个问题中包含了几个基本关系式：

顺流速度=静水速度+水流速度

逆流速度=静水速度-水流速度

顺流路程=顺流速度×顺流时间

逆流路程=逆流速度×逆流时间

行程问题中，速度、时间和路程这三个物理量及它们之间的关系，对于分析数量关系很重要，在匀速运动中，路程=速度×时间是基本关系，因此本题也不例外，而解决该问题的关键是要根据往返路程相等列出方程。

问题

（2）是生产调度问题即如何规划分工使两种产品在数量上成龙配套的问题。

“螺母的数量是螺钉数量的2倍”是本题中特有的相等关系。

“每人每天的工作效率×人数=每天的工作量”两者结合，就能列出方程。

这两个问题在解法上无大区别都要进行去括号的过程。

而列方程中蕴涵的“数学建模思想”和“解方程中蕴涵的”化归思想“是本课始终渗透的主要数学思想。

二学习与导学目标

1、知识积累与疏导：

学会利用去括号解一元一次方程，学会根据题意列出一元一次方程解决实际问题，认知率达100%.

2、技能掌握与指导：

能根据具体问题中的数量关系，列出方程，感悟到方程是刻画现实世界的一个有效模型。

利用率达100%.

3、智能的提高与训导：

在与同学探讨的过程中，学会能合理清晰地表达自己的思维过程。

互动率达95%.

4、情感修炼与开导：

通过学习更加关注生活，增强用数学的意识，从而激发学习数学的热情。

5、观念确认与引导：

会将实际问题转化为数学问题，加强数学建模思想，学会用“去括号”解一元一次方程，进一步体会化归思想。

三障碍与生成关注

通过“问题情境”，建立“数学模型”难度较大，为此要充分引导学生关注生活实际，仔细分析题目，促使学生朝“数学模型”方面理解。

四学程与导学活动

活动1知识巩固，引入新课

解下列方程：

（1）4x+3（2x-3）=12-（x+4）

（2）6（

x-4）+2x=7-（

x-1）

（3）2（10-0.5y）=-（1.5y+2）

（通过学生板演，起到复习巩固的作用，进一步熟悉去括号解方程的步骤与要点）

下面我们来看两个实际问题

活动2师生互动，学习新知

展示问题

（1）

一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。

（1）分析问题：

（先由学生读题，教师引导）这是一个行程问题中的航行问题，小学里关于顺流、逆流问题同学们应该是学习过的，顺流速度、逆流速度、静水速度和水流速度之间有什么关系？

让学生自由发挥，最后板书如下：

顺流（逆流）速度=静水速度+（-）水流速度

进一步问：

本题中蕴含的重要相等关系是什么？

学生口答，教师整理如下：

顺流路程=逆流路程

（2）解决问题：

教师引导学生设未知数，列出方程，解方程，作答。

由学生口述，教师板书出完整的解题过程，并逐步强调各个注意点。

活动3展示问题

（2）

某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？

（学生读题）

1、引导学生分析题意，找出相等关系

每人每天的工作效率×人数=每天的工作量（产品数量）

螺母的数量=螺钉数量×2

2、由学生尝试解决问题，即学生完成板演，集体订正。

然后幻灯片打出完整的解题过程，让学生进行比较，明确步骤中的各个要点。

活动4归纳总结，初步应用

1、师生共同小结归纳得出：

用一元一次方程分析和解决问题实际问题的基本过程。

（用幻灯片打出）

2、学生练习：

书本P92，7；P91，5

3、课堂小结：

这节课你学习了哪些知识？

4、布置作业：

（1）书本习题2.2P91-926，10，11

（2）学生用书同步练习

五、笔记与板书提纲

幻灯片

课题

问题

（1）问题

（2）

学生板书

六练习与拓展选题

（见有关参考资料）

七个别与重点辅导

学生姓名（略）

八、反思与点评记录

从买布问题说起

——一元一次方程的讨论

　　一、背景与教学任务分析：

本节课教学的主要内容是：

一元一次方程的应用——工程问题。

学生在小学里已学过解工程问题，对于“把全部工作量