初二数学寒假课程 第五讲 平行四边形初步.docx

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初二数学寒假课程第五讲平行四边形初步

第五讲平行四边形初步

第一部分知识梳理

一、平行四边形的性质

1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作__________。

2．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______．

3．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______．

4．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______．

5．若□ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是______．

6．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______．

6题图

7．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______．

二、平行四边形的判定

1．平行四边形的判定方法有：

从边的条件有：

①两组对边__________的四边形是平行四边形；

②两组对边__________的四边形是平行四边形；

③一组对边__________的四边形是平行四边形．

从对角线的条件有：

④两条对角线__________的四边形是平行四边形．

从角的条件有：

⑤两组对角______的四边形是平行四边形．

注意：

一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．（填“一定”或“不一定”）

第二部分例题与解题思路方法归纳

知识点一平行四边形的性质

【例题1】如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．

（1）证明：

∠DFA=∠FAB；

（2）证明：

△ABE≌△FCE．

〖选题意图〗此题主要考查平行四边形的性质和判定以及全等三角形的证明，使学生能够灵活运用平行四边形知识解决有关问题．

〖解题思路〗

（1）利用平行四边形的两组对边分别平行即可得到两角相等；

（2）利用上题证得的结论及平行四边形对边相等即可证明两三角形全等．

〖参考答案〗证明：

（1）∵在平行四边形ABCD中，

∴DF∥AB，

∴∠DFA=∠FAB；

（2）∵E为BC中点，

∴EC=EB，

∴在△ABE与△FCE中，

，

∴△ABE≌△FCE．

【课堂训练题】

1．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：

AB=BF．

〖参考答案〗解：

由ABCD是平行四边形得AB∥CD，

∴∠CDE=∠F，∠C=∠EBF．

又∵E为BC的中点，

∴△DEC≌△FEB，

∴DC=FB．

又∵AB=CD，

∴AB=BF．

2．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=32°．分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE=BC，DF=DC，∠EBC=∠CDF，延长AB交边EC于点G，点G在E、C两点之间，连接AE、AF．

（1）求证：

△ABE≌△FDA；

（2）当AE⊥AF时，求∠EBG的度数．

〖参考答案〗证明：

（1）在平行四边形ABCD中，AB=DC，

又∵DF=DC，

∴AB=DF．

同理EB=AD．

在平行四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC，

又∵∠EBC=∠CDF，

∴∠ABE=∠ADF．

∴△ABE≌△FDA．

（2）∵△ABE≌△FDA，

∴∠AEB=∠DAF．

∵∠EBG=∠EAB+∠AEB，

∴∠EBG=∠DAF+∠EAB，

∵AE⊥AF，

∴∠EAF=90°．

∵∠BAD=32°，

∴∠DAF+∠EAB=90°﹣32°=58°．

∴∠EBG=58°．

知识点二平行四边形的面积相关

【例题2】阅读下面操作过程，回答后面问题：

在一次数学实践探究活动中，小强过A、C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（如图（a）），小刚过AB、AC的中点画直线EF，把平行四边形ABCD也分割成两个部分（如图（b））；

（1）这两种分割方法中面积之间的关系为：

S1　　S2，S3　　S4；

（2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有

　　条，请在图（c）的平行四边形中画出一种；

（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？

〖选题意图〗平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．

〖解题思路〗

（1）都是相等关系，因为AC，EF都经过平行四边形的对称中心，故分得的两部分的面积相等；

（2）有无数条，因为经过对称中心的直线有无数条；

（3）经过平行四边形对称中心的直线把平行四边形的面积分成相等的两份．

〖参考答案〗解：

（1）S1=S2，S3=S4；

（2）无数，如图，所以直线过O即可；

（3）经过平行四边形对称中心的任意直线，都可以把平行四边形分成满足条件的图形．

【课堂训练题】

1．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且

cm，

，求平行四边形ABCD的面积．

〖参考答案〗解：

设AB=x，则BC=18﹣x，

由AB•DE=BC•DF

代入数值得：

，解之x=10，

所以平行四边形ABCD的面积为

．

2．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上。

图中有　　对四边形面积相等；

他们是　，，．

〖参考答案〗∵在平行四边形ABCD中，BD是对角线

∴S△ABD=S△DBC，S△BEP=S△BHP，S△GPD=S△DPF，

让最大的三角形面积减去其他两个小三角形面积可得：

S▱AEPG=S▱PHCF，都加上S▱EBHP可得S▱ABHG=S▱EBCF，

都加上S▱GPFD可得：

S▱AEFD=S▱CDGH．

S四边形ABPG=S△ABD﹣S△GPD=S△BCD﹣S△PFD=S四边形CBPF；

S四边形ADPE=S△ABD﹣S△EPB=S△CBD﹣S△HPB=S四边形CDPH．

∴图中有3对四边形面积相等，

即：

S▱AEPG=S▱PHCF、S▱ABHG=S▱EBCF、S▱AEFD=S▱CDGH．

3．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过O点作直线EF分别交BC、AD于E、F．

（1）求证：

BE=DF；

（2）若AC，EF将平行四边形ABCD分成的四部分的面积相等，指出E点的位置，并说明理由．

〖参考答案〗证明：

（1）在平行四边形ABCD中，

∵AD∥BC，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

又∵AO=CO，

∴△AOF≌△COE．

∴AF=CE．

又∵AD=BC，

∴AD﹣AF=BC﹣BE，

即BE=DF．

（2）答：

当E点与B点重合时，EF将平行四边形ABCD分成的四个部分的面积相等．

理由：

由△ABO与△AOD等底同高可知面积相等，

同理，△ABO与△BOC的面积相等，

从而易知所分成的四个三角形面积相等．

知识点三两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）

【例题3】已知：

如图，∠1=∠2，BE∥MF，EF∥AB．求证：

AF=BM．

〖选题意图〗本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及判定定理．能够把两条不相关的直线通过等效转化建立联系是解题的关键．

〖解题思路〗由BE∥MF，EF∥AB，可判断四边形BMEF为平行四边形，再根据同位角求出∠2=∠AEF，即可得出结论．

〖参考答案〗证明：

∵BE∥MF，EF∥AB，

∴四边形BMEF为平行四边形，∴BM=EF，

∵EF∥AB，∴∠EFC=∠1+∠2．

又∠EFC=∠2+∠AEF，

∴∠AEF=∠1=∠2，

∴AF=EF，即AF=BM．

【课堂训练题】

1．（2011•北京）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，求四边形ACEB的周长．

〖参考答案〗解：

∵∠ACB=90°，DE⊥BC，

∴AC∥DE．

又∵CE∥AD，

∴四边形ACED是平行四边形．

∴DE=AC=2．

在Rt△ADE中，由勾股定理得CD=

=2

．

∵D是BC的中点，

∴BC=2CD=4

．

在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AB=

=2

．

∵D是BC的中点，DE⊥BC，

∴EB=EC=4．

∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2

．

2．等腰△ABC中，AB=AC，D为BC上的一动点，DE∥AC，DF∥AB，则DE+DF是否随D点变化而变化？

若不变化，请证明．

〖参考答案〗解：

DE+DF不随D点变化而变化．

理由是：

∵DE∥AC，DF∥AB

∴四边形AEDF是平形四边形，∠FDC=∠B

∴DE=AF

∵AB=AC

∴∠B=∠C

∴∠FDC=∠C

∴FD=FC

∴DE+DF=AF+FC=AC

知识点四两组对边分别相等的四边形是平行四边形

【例题4】如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，BG⊥AC，DH⊥AC，垂足分别为G、H．判断四边形GEHF的形状，并说明理由．

〖选题意图〗本题考查了平行四边形的性质和判定．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

〖解题思路〗求出四边形GEHF的两组对边相等，即可判定其为平行四边形．

〖参考答案〗解：

四边形GEHF为平行四边形．

在平行四边形ABCD中，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，即为两个三角形的高，

∴AE∥CF且AE=CF，

进而可得△CFH≌△AEG，

∴GE=FH，

同理，GF=EH，

∴可得四边形GEHF为平行四边形．

【课堂训练题】

1．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请说明四边形ADEF是什么四边形；

〖参考答案〗解：

四边形ADEF是平行四边形．

理由：

∵△ABD，△EBC都是等边三角形．

∴AD=BD=AB，BC=BE=EC

∠DBA=∠EBC=60°

∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．

∴∠DBE=∠ABC．

在△DBE和△ABC中

∵BD=BA

∠DBE=∠ABC

BE=BC，

∴△DBE≌△ABC．

∴DE=AC．

又∵△ACF是等边三角形，

∴AC=AF．

∴DE=AF．

同理可证：

AD=EF，

∴四边形ADEF平行四边形．

知识点五对角线互相平分的四边形是平行四边形

【例题5】已知：

如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：

四边形EHFG是平行四边形．

〖选题意图〗此题主要考查平行四边形的判定：

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

〖解题思路〗要证四边形EHFG是平行四边形，需证OG=OH，OE=OF，可分别由四边形ABCD是平行四边形和△OEB≌△OFD得出．

〖参考答案〗证明：

如答图所示，

∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，

∴OA=OC，OB=OD．

∵G，H分别为OA，OC的中点，

∴OG=

OA，OH=

OC，

∴OG=OH．

又∵AB∥CD，

∴∠1=∠2．

在△OEB和△OFD中，

∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，

∴△OEB≌△OFD，

∴OE=OF．

∴四边形EHFG为平行四边形．

【课堂训练题】

1．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F．求证：

四边形AECF是平行四边形．

〖参考答案〗证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD=OB，OA=OC

∵AB∥CD

∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO

∴△FDO≌△EBO

∴OF=OE

∴四边形AECF是平行四边形

2．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，E，F分别为垂足，试说明四边形BEDF是平行四边形．

〖参考答案〗证明：

∵ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，∠DAF=BCE，OB=OD，OA=OC．

∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠AFD=∠CEB=90°．

∴△ADF≌△CBE（AAS）．

∴AF=CE．

∴OE=OF．

∴四边形BEDF是平行四边形．

知识点六一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

【例题6】如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．

（1）求证：

四边形EFCD是平行四边形；

（2）若BF=EF，求证AE=AD．

〖选题意图〗此题把等边三角形和平行四边形结合在一起，首先利用等边三角形的性质证明平行四边形，然后利用等边三角形的性质证明全等三角形，最后利用全等三角形的性质解决问题．

〖解题思路〗

（1）由△ABC是等边三角形得到∠B=60°，而∠EFB=60°，由此可以证明EF∥DC，而DC=EF，然后即可证明四边形EFCD是平行四边形；

（2）如图，连接BE，由BF=EF，∠EFB=60°可以推出△EFB是等边三角形，然后得到EB=EF，∠EBF=60°，而DC=EF，由此得到EB=DC，又

△ABC是等边三角形，所以得到∠ACB=60°，AB=AC，然后即可证明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性质就证明AE=AD．

〖参考答案〗证明：

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

∵∠EFB=60°，

∴∠ABC=∠EFB，

∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），

∵DC=EF，

∴四边形EFCD是平行四边形；

（2）证明：

连接BE

∵BF=EF，∠EFB=60°，

∴△EFB是等边三角形，

∴EB=EF，∠EBF=60°

∵DC=EF，

∴EB=DC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，AB=AC，

∴∠EBF=∠ACB，

∴△AEB≌△ADC，

∴AE=AD．

【课堂训练题】

1．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：

四边形GEHF是平行四边形．

〖参考答案〗证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD．

∴∠GBE=∠HDF．

又∵AG=CH，

∴BG=DH．

又∵BE=DF，

∴△GBE≌△HDF．

∴GE=HF，∠GEB=∠HFD．

∴∠GEF=∠HFE．

∴GE∥HF．

∴四边形GEHF是平行四边形．

2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD=

AB．连接DE，DF．

（1）求证：

AF与DE互相平分；

（2）若BC=4，求DF的长．

〖参考答案〗证明：

（1）连接EF，AE．

∵在Rt△ABC中，点E是BC的中点，

∴EF=

AB．

又∵AD=

AB，

∴EF=AD．

又∵EF∥AD，

∴四边形AEFD是平行四边形．

∴AF与DE互相平分．

（2）在Rt△ABC中，

∵E为BC的中点，BC=4，

∴AE=

BC=2．

又∵四边形AEFD是平行四边形，

∴DF=AE=2．

第三部分课后自我检测试卷

A类试题：

1．在下面的格点图中，以格点为顶点，你能画出多少个平行四边形？

2．如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A，求证：

四边形DECF是平行四边形．

3．如图，分别延长▱ABCD的边BA、DC到点E、H，使得AE=AB，CH=CD，连接EH，分别交AD、BC于点F、G．

求证：

△AEF≌△CHG．

4．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

（1）试说明AC=EF；

（2）求证：

四边形ADFE是平行四边形．

5．▱ABCD的对角线相交于点，直线EF过点O分别交BC、AD于点E、F，G、H分别为OB、OD的中点，四边形GEHF是平行四边形吗？

为什么？

B类试题：

6．如图，过平行四边形ABCD内任一点P作各边的平行线分别交AB、BC、CD、DA于E、F、G、H．

求证：

S平行四边形ABCD﹣S平行四边形AEPH=2S△AFG

7．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，则　　秒后四边形ABQP为平行四边形．

8．如图，是某寻宝示意图，F为宝藏所在．AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE．甲、乙两人同时从B出发．甲路线是B﹣A﹣E﹣F；乙路线是B﹣D﹣C﹣F．假设两人寻找速度与途中耽误时间相同，那么谁先找到宝藏．请说明理由．

C类试题：

9．如图，在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且2b＜a+c，求证：

2∠B＜∠A+∠C．

10．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．

（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：

EF=CD；

（2）在

（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；

（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明：

若不成立，请说明理由．

课后自我检测试卷参考答案

A类试题：

1．解：

3个，如图

2．证明：

∵DE⊥AC，∠ACB=90°，

∴DE∥FC．

又∵∠CDF=∠A，AD=DC，∠ADE=∠ACF=90°，

∴△ADE≌△DCF．

∴DE=FC．

∴四边形DECF是平行四边形．

3．证明：

在▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD，

∴∠E=∠H，∠EAF=∠D，

∵AD∥BC，

∴∠EAF=∠HCG，

∵AE=AB，CH=CD，

∴AE=CH，

∴△AEF≌△CHG（ASA）．

4．证明：

（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，

∴AB=2BC，

又△ABE是等边三角形，EF⊥AB，

∴∠AEF=30°

∴AE=2AF，且AB=2AF，

∴AF=CB，

而∠ACB=∠AFE=90°

∴△AFE≌△BCA，

∴AC=EF；

（2）由

（1）知道AC=EF，

而△ACD是等边三角形，

∴∠DAC=60°

∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，

而EF⊥AB，

∴EF∥AD，

∴四边形ADFE是平行四边形．

5．解：

四边形GEHF是平行四边形；理由如下：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BO=DO，AD=BC且AD∥BC．

∴∠ADO=∠CBO．

又∵∠FOD=∠EOB，

∴△FOD≌△EOB（ASA）．

∴EO=FO．

又∵G、H分别为OB、OD的中点，

∴GO=HO．

∴四边形GEHF为平行四边形．

B类试题：

6．证明：

S△AFG=S平行四边形﹣（S△AGD+S△GFC+S△ABF），

=S平行四边形﹣

（S平行四边形AEPH+S平行四边形HPGD+S平行四边形FPGC+S平行四边形BEPF+S平行四边形AEPH），

=

，

=

，

=

（S平行四边形ABCD﹣S平行四边形AEPH），

∴S平行四边形ABCD﹣S平行四边形AEPH=2S△AFG．

7．解：

设点P由A向D运动t秒，则AP=tcm，CQ=2tcm．

∵BC=6

∴BQ=6﹣2t

若四边形ABQP为平行四边形，则须AP平行且等于BQ．

∴6﹣2t=t

∴t=2

∴2s后四边形ABQP成为平行四边形．

故答案为2．

8．解：

延长ED交BC于M，

∵BA∥DE，BD∥AE，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AB=DE，EA=BD，

∵AF∥BC，AB∥DE，

∴四边形ABMD是平行四边形，

∴AB=DM，

∴DE=DM，

∵EC⊥BC，

∴ED=DM=DC，

∵AF∥BC，EC⊥BC，

∴AF⊥EC，

∴EF=CF，

甲路线是B﹣A﹣E﹣F，路程为：

BA+AE+EF，

乙路线是B﹣D﹣C﹣F，路程为：

BD+DC+CF，

∴路线的长度相同，他们应该同时到达．

C类试题：

9．证明：

延长BA到D，使AD=BC=a，延长BC到E，使CE=AB=c，连接DE，

这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD=BE=a+c，

∴∠BDE=∠BED，

作DF∥AC，CF∥AD，相交于F，连接EF，则ADFC是平行四边形．

∴CF=AD=BC，

又∠FCE=∠CBA，∴△FCE≌△CBA

∴EF=AC，

于是DE≤DF+EF=2b＜a+c=BD=BE．

这样，在△BDE中，便有∠B＜∠BDE=∠BED

∴∠2B＜∠BDE+∠BED=180°一∠B=∠A+∠C，

即2∠B＜∠A+∠C．

10．解：

（1）证明：

∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，且∠DAB=

∠BAC=30°，

∵△AED是等边三角形，

∴AD=AE，∠ADE=60°，

∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，

∵ED∥CF，

∴∠FCB=∠EDB=30°，

∵∠ACB=60°，

∴∠ACF=∠BAD=30°，

又∵∠B=∠FAC=60°，AB=CA，

∴△ABD≌△CAF，

∴AD=CF，

∵AD=ED，

∴ED=CF，

又∵ED∥CF，

∴四边形EDCF是平行四边形，

∴EF=CD．

（2）△AEF和△ABC的面积比WEI1：

4；

（3）成立．

证明：

∵ED∥FC，

∴∠EDB=∠FCB，

∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=60°﹣∠FCB，=60°﹣∠EDB，

∴∠ACF=∠BAD，

又∵∠B=∠FAC=60°，AB=CA，

∴△ABD≌△CAF，

∴AD=FC，

∵AD=ED，

∴ED=CF，

又∵ED∥CF，

∴四边形EDCF是平行四边形，

∴EF=DC．