版高中数学北师大版选修11学案第二章 12 椭圆的简单性质一.docx
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版高中数学北师大版选修11学案第二章12椭圆的简单性质一
椭圆的简单性质
(一)
学习目标.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形.根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质、图形.
知识点一椭圆的简单性质
已知两椭圆、的标准方程:
:
+=,
:
+=.
思考怎样求、与两坐标轴的交点?
交点坐标是什么?
思考椭圆具有对称性吗?
思考椭圆方程中,的取值范围分别是什么?
梳理
标准方程
+=(>>)
+=(>>)
图形
性质
焦点
焦距
=(=)
=(=)
范围
对称性
关于对称
顶点
轴
长轴长,短轴长
知识点二椭圆的离心率
思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样,哪些量影响其扁平程度?
怎样刻画?
梳理()定义:
椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的,用表示.
()性质:
离心率的取值范围是,当越接近,椭圆越,当越接近,椭圆就越接近圆.
类型一椭圆的简单性质
引申探究
已知椭圆方程为+=,求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
例求椭圆+=的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用,,之间的关系和定义,求椭圆的基本量.
跟踪训练设椭圆方程+=(>)的离心率为,试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标.
类型二求椭圆的离心率
命题角度与焦点三角形有关的离心率问题
例设,分别是椭圆:
+=(>>)的左,右焦点,过点的直线交椭圆于,两点,=.
()若=,△的周长为,求;
()若∠=,求椭圆的离心率.
反思与感悟涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到与的关系或利用=求解.
跟踪训练椭圆+=(>>)的两焦点为,,以为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为.
命题角度利用,的齐次式,求椭圆的离心率(或其取值范围)
例()设椭圆:
+=(>>)的左,右焦点分别为,,过作轴的垂线与相交于,两点,与轴相交于点,若⊥,则椭圆的离心率等于.
()若椭圆+=(>>)上存在一点,使得∠=°(,为椭圆的两个焦点),则椭圆的离心率的取值范围是.
反思与感悟若,的值不可求,则可根据条件建立,,的关系式,借助于=+,转化为关于,的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以的最高次幂,得到关于的方程或不等式,即可求得的值或取值范围.
跟踪训练若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是.
类型三 利用椭圆的简单性质求方程
例求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
()已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,且与轴的一个交点为(,-),该点与最近的焦点的距离为-;
()已知椭圆的离心率为=,短轴长为.
反思与感悟在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴,从而确定方程的形式;若不能确定焦点所在的坐标轴,则应进行讨论,然后列方程(组)确定,,这就是我们常用的待定系数法.
跟踪训练椭圆过点(),离心率=,求椭圆的标准方程.
.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(),另一个顶点是(-),则焦点坐标为()
.(±).(,±)
.(,±).(,±)
.
如图,已知直线:
-+=过椭圆的左焦点和一个顶点,则椭圆的离心率为()
.与椭圆+=有相同焦点,且短轴长为的椭圆标准方程是()
+=.+=
+=+=
.已知点(,)在椭圆+=上,则+的取值范围是.
.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
()已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,若其离心率为,焦距为;
()短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为.
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