0037算法笔记分支限界法最大团问题.docx
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0037算法笔记分支限界法最大团问题
问题描述
给定无向图G=(V,E),其中V是非空集合,称为顶点集;E是V中元素构成的无序二元组的集合,称为边集,无向图中的边均是顶点的无序对,无序对常用圆括号“()”表示。
如果U∈V,且对任意两个顶点u,v∈U有(u,v)∈E,则称U是G的完全子图(完全图G就是指图G的每个顶点之间都有连边)。
G的完全子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。
G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。
如果U∈V且对任意u,v∈U有(u,v)不属于E,则称U是G的空子图。
G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大的空子图中。
G的最大独立集是G中所含顶点数最多的独立集。
对于任一无向图G=(V,E),其补图G'=(V',E')定义为:
V'=V,且(u,v)∈E'当且仅当(u,v)∈E。
如果U是G的完全子图,则它也是G'的空子图,反之亦然。
因此,G的团与G'的独立集之间存在一一对应的关系。
特殊地,U是G的最大团当且仅当U是G'的最大独立集。
例:
如图所示,给定无向图G={V,E},其中V={1,2,3,4,5},E={(1,2),(1,4),(1,5),(2,3),(2,5),(3,5),(4,5)}。
根据最大团(MCP)定义,子集{1,2}是图G的一个大小为2的完全子图,但不是一个团,因为它包含于G的更大的完全子图{1,2,5}之中。
{1,2,5}是G的一个最大团。
{1,4,5}和{2,3,5}也是G的最大团。
右侧图是无向图G的补图G'。
根据最大独立集定义,{2,4}是G的一个空子图,同时也是G的一个最大独立集。
虽然{1,2}也是G'的空子图,但它不是G'的独立集,因为它包含在G'的空子图{1,2,5}中。
{1,2,5}是G'的最大独立集。
{1,4,5}和{2,3,5}也是G'的最大独立集。
算法设计
最大团问题的解空间树也是一棵子集树。
子集树的根结点是初始扩展结点,对于这个特殊的扩展结点,其cliqueSize的值为0。
算法在扩展内部结点时,首先考察其左儿子结点。
在左儿子结点处,将顶点i加入到当前团中,并检查该顶点与当前团中其它顶点之间是否有边相连。
当顶点i与当前团中所有顶点之间都有边相连,则相应的左儿子结点是可行结点,将它加入到子集树中并插入活结点优先队列,否则就不是可行结点。
接着继续考察当前扩展结点的右儿子结点。
当upperSize>bestn时,右子树中可能含有最优解,此时将右儿子结点加入到子集树中并插入到活结点优先队列中。
算法的while循环的终止条件是遇到子集树中的一个叶结点(即n+1层结点)成为当前扩展结点。
对于子集树中的叶结点,有upperSize=cliqueSize。
此时活结点优先队列中剩余结点的upperSize值均不超过当前扩展结点的upperSize值,从而进一步搜索不可能得到更大的团,此时算法已找到一个最优解。
算法具体实现如下:
1、MaxHeap.h
[cpp] viewplain copy
1.template
2.class MaxHeap
3.{
4. public:
5. MaxHeap(int MaxHeapSize = 10);
6. ~MaxHeap() {delete [] heap;}
7. int Size() const {return CurrentSize;}
8.
9. T Max()
10. { //查
11. if (CurrentSize == 0)
12. {
13. throw OutOfBounds();
14. }
15. return heap[1];
16. }
17.
18. MaxHeap
19. MaxHeap
20.
21. void Initialize(T a[], int size, int ArraySize);
22.
23. private:
24. int CurrentSize, MaxSize;
25. T *heap; // element array
26.};
27.
28.template
29.MaxHeap
:
MaxHeap(int MaxHeapSize)
30.{// Max heap constructor.
31. MaxSize = MaxHeapSize;
32. heap = new T[MaxSize+1];
33. CurrentSize = 0;
34.}
35.
36.template
37.MaxHeap
:
Insert(const T& x)
38.{// Insert x into the max heap.
39. if (CurrentSize == MaxSize)
40. {
41. cout<<"no space!
"< 42. return *this; 43. } 44. 45. // 寻找新元素x的位置 46. // i——初始为新叶节点的位置,逐层向上,寻找最终位置 47. int i = ++CurrentSize; 48. while (i ! = 1 && x > heap[i/2]) 49. { 50. // i不是根节点,且其值大于父节点的值,需要继续调整 51. heap[i] = heap[i/2]; // 父节点下降 52. i /= 2; // 继续向上,搜寻正确位置 53. } 54. 55. heap[i] = x; 56. return *this; 57.} 58. 59.template 60.MaxHeap : DeleteMax(T& x) 61.{// Set x to max element and delete max element from heap. 62. // check if heap is empty 63. if (CurrentSize == 0) 64. { 65. cout<<"Empty heap! "< 66. return *this; 67. } 68. 69. x = heap[1]; // 删除最大元素 70. // 重整堆 71. T y = heap[CurrentSize--]; // 取最后一个节点,从根开始重整 72. 73. // find place for y starting at root 74. int i = 1, // current node of heap 75. ci = 2; // child of i 76. 77. while (ci <= CurrentSize) 78. { 79. // 使ci指向i的两个孩子中较大者 80. if (ci < CurrentSize && heap[ci] < heap[ci+1]) 81. { 82. ci++; 83. } 84. // y的值大于等于孩子节点吗? 85. if (y >= heap[ci]) 86. { 87. break; // 是,i就是y的正确位置,退出 88. } 89. 90. // 否,需要继续向下,重整堆 91. heap[i] = heap[ci]; // 大于父节点的孩子节点上升 92. i = ci; // 向下一层,继续搜索正确位置 93. ci *= 2; 94. } 95. 96. heap[i] = y; 97. return *this; 98.} 99. 100.template 101.void MaxHeap : Initialize(T a[], int size,int ArraySize) 102.{// Initialize max heap to array a. 103. delete [] heap; 104. heap = a; 105. CurrentSize = size; 106. MaxSize = ArraySize; 107. 108. // 从最后一个内部节点开始,一直到根,对每个子树进行堆重整 109. for (int i = CurrentSize/2; i >= 1; i--) 110. { 111. T y = heap[i]; // 子树根节点元素 112. // find place to put y 113. int c = 2*i; // parent of c is target 114. // location for y 115. while (c <= CurrentSize) 116. { 117. // heap[c] should be larger sibling 118. if (c < CurrentSize && heap[c] < heap[c+1]) 119. { 120. c++; 121. } 122. // can we put y in heap[c/2]? 123. if (y >= heap[c]) 124. { 125. break; // yes 126. } 127. 128. // no 129. heap[c/2] = heap[c]; // move child up 130. c *= 2; // move down a level 131. } 132. heap[c/2] = y; 133. } 134.} 2、6d6.cpp [cpp] viewplain copy 1.//最大团问题 优先队列分支限界法求解 2.#include "stdafx.h" 3.#include "MaxHeap.h" 4.#include 5.#include 6.using namespace std; 7. 8.const int N = 5;//图G的顶点数 9.ifstream fin("6d6.txt"); 10. 11.class bbnode 12.{ 13. friend class Clique; 14. private: 15. bbnode *parent; //指向父节点的指针 16. bool LChild; //左儿子节点标识 17.}; 18. 19.class CliqueNode 20.{ 21. friend class Clique; 22. public: 23. operator int() const 24. { 25. return un; 26. } 27. private: 28. int cn, //当前团的顶点数 29. un, //当前团最大顶点数的上界 30. level; //节点在子集空间树中所处的层次 31. bbnode *ptr; //指向活节点在子集树中相应节点的指针 32.}; 33. 34.class Clique 35.{ 36. friend int main(void); 37. public: 38. int BBMaxClique(int []); 39. private: 40. void AddLiveNode(MaxHeap 41. int **a, //图G的邻接矩阵 42. n; //图G的顶点数 43.}; 44. 45.int main() 46.{ 47. int bestx[N+1]; 48. int **a = new int *[N+1]; 49. for(int i=1;i<=N;i++) 50. { 51. a[i] = new int[N+1]; 52. } 53. 54. cout<<"图G的邻接矩阵为:
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