三维表面形貌仿真模型.docx

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三维表面形貌仿真模型

三维表面形貌仿真模型

甘对表血形貌中的形状谋差成分*利用图形矩阵变换原理和矢昂运舞法则，推导出球头铳刀铳削平面和曲面过翘中，切削刃上任息点相对于工件的运动轨迹方程，构造出基于MATLAB软件可求解被切削表面任点残留高度值的三维表面形貌仿貞模型n

2.1空间坐标变换

在机械工程中，如空间复杂iKi面建摸、空间机构的运动关系零，都需要坐标变换。

在确定的坐标系下，空间邯一点的坐标和毎一矢童的分量都随Z備定，但在不同的坐标系卜"，同一点有不同的坐标，同一矢最有不同的分扯"所弘有必耍君察不同坐标系卜点的坐标利矢凰的分鼠变化「也就是要粵嚓两个坐标系Z间的相互运动关系，这就赴实际丄稈中经常用到的坐标变换.

如图2・〕所屆设空间任意-点P在坐标系厂［2%烁即］射的坐标为（xty^）t在另一坐标系代［0；酩刃,斶里的坐标为

则点P&ff和＜7円的径矢依次为：

OP-禺+ye2+zey*（7P=工妬+卩阳“才町（2-1）

设/的坐标原点里的坐标为（勘丿伽為）.则"业打甲.的径矢为’

（2-2）

在（7眼的矢S：

可表示为:

（2-3）

（yp=OP-O（y=（x■心）e|+（y-yQ）e2+（z-zQ）e3

山式（2J）和（2・3）可以看出,矢屋刃在两个坐标系e和/里的坐标分别为（x-d

y%z-zo）和（x\y,f）o所以,

（2-5）

（2-7）

式中（xo.yo.zo）是变换前的坐标系/的坐标原点。

在变换后的坐标系。

里的坐标：

创是坐标系*中序号为i的坐标轴*、#、z•与坐标系。

中序号为丿•的坐标轴X、八Z之间夹角的余弦・即atJ=cos©,勺）d2,3;y=L2f3）・

又由式（2书可得:

xan（x-x0）+al2（y-y0）+ai3（z-z0）/=a2l（x-x0）+-y0）+a23（z-z0）

z'=a3l（x-x0）+a32（y-y9）+ayi（z-z0）

坐标系/的坐标康点O在坐标系*下的坐标为（xo\yo\zo^则有：

O^O=x0,el^y0,e2,+z0,e3,

当求（卅,为',出），即求（7坐标原点O的坐标时，只需在式（2・5）中令刁所得结果为：

<=-

70-一（勺声o+%九+a/o）

将式（2*6）代入式（2・5）得:

x,=a1）x+al2j+a1jZ+x0<

八X+a沙+%+儿’

才=ayix+ay2y+a33z+z09

所以，由坐标系。

变换到坐标系/的坐标变换公式为:

（2-8）

2.2球头铳刀铁削平面时的运动模型

切削过程中，工件表而形貌的形成，归根结底足曲刀具相对于工件表面的相对运动形成的，它不仅与切削方式和切削条件有关，还与刀具工件材料、机床动态特性等有关卜叫为了准确地描述表而形貌，建立如图2・2所示的坐标系。

径向切削漁度方间

图2-2工件坐标系

（1）I件坐标系oarrz：

固定在工件上（灯平面平行于工件平面），丫正方向与进给方向相•致，x正方向与径向切削深度方向相一致.

（2）机床主轴坐标系OrUVW：

随主轴一起沿进给方向做相对于工件的平移运动，刀具垂直于灯平面时，坐标系Q和坐标系O*坐标轴方向一致，原点不同。

（3）刀具坐标系ON"恥随刀具一超做平移运动和振动，不随刀具旋转，其中Q过球头铳刀球头部分中心点，U轴、人轴、肌‘轴始终分别平行于U轴、V轴、炉轴。

主轴无振动时，坐标系0和坐标系。

重合。

（4）刀貝旋转坐标系OHW：

随刀具做旋转运动，不随刀具做平移运动和振动，绕主轴旋转角速度为血，原点0J过球头铳刀端部（刀尖），［7轴过第1个刀刃（可选取任意1个刀刃为第1个刀刃）顶点的切绘方向，（70平面与平面平行。

2.2.1刀具坐标系下的刀刃方程

在铳削工件的过程中，特别是加工曲面类工件，为了保证刀具切削刃与工件表血轮廓在切削点相切，避免刀刃与工件发生干涉，一般选择球头铳刀【列。

平面刃利螺旋刃刃形的球头铳刀在实际加工中都较为常见，虽然平面刃铳刀设计和制造工艺简单，但切削时切們的排出较困难。

螺旋刃铳刀结构复杂，但切削性能稳定。

因此本文选择螺旋刃球头铳刀作为研究对象。

球头铳刀铳削时主要是球头部分参与切削，本文主要针对球头部分的切削刃进行分析，刀刃刃数选择两刃。

为了简便起见，图2-3中仅画出了一个切削刃刃形。

建立如图2-3所示刀具坐标系Ov^VvWv和刀貝旋转坐标系O：

-UV]Vo铳削加工过程中，设主轴旋转方向为顺时针方向。

由几何关系可知，第一个刀刃上任意点P在刀具族转坐标系下的坐标为：

d=Rsinacos（怜一0」）

・Rsinasin（#-®j）（2-9）

W=/?

（l-cosa）

式中R球头铳刀半径（mm）；

a—刀刃上点尸与刀具坐标系原点的连线与炉轴的夹角（。

）；

卩——刀刃上点F与刀具坐标系原点的连线在平lMUW内的投影与〃轴的夹

角（。

）;

恥―刀具在第i次切削进给的开始位置，第一个刀刃上5轴到"轴之间的夹角（°），称为初始切入角。

设逆时针方向为正，・pi/2<%】

（2-10）

当螺旋角为y时，可得

怜一%i=tanyln（cot—）

将式（2-10）代入式（2・9）可求得刀具旋转坐标系中第一个刀刃上任意点P的坐标值为：

（2-H）

u'=Rsinacosftanyln（coty）]v*=/?

sinasin[tan/ln（cot^）]wf=/?

（l-cosa）

刀具第i次进给、第丿刃的初始切入角可用式（M2）表示：

%%+2ET）/z”（2-12）

式中z”一刀具齿数。

将式（2・12）代入（2・11）得刀具旋转坐标系中刀刃上任总点尸的坐标为：

（2-B）

u'=Rsinacos[tan/In（cot^）-2n（j-1）/z„]v*=Rsinasin[tan/ln（coty）-ln（j-1）/z“]w"=R（l-cosa）

刀具第i次进给.在/时刻刀具旋转坐标系相对于刀具坐标系

O+U必仏转过的角度为：

（2-14）

式中3—刀具随机床主轴族转角速度的大小（rad/s）,且旷1000啦60R）；

%—切削速度（m/min）：

I—从第i次进给开始到当前时刻所经历的时间（s）。

所以,在门“刻刀刃上任•点P曲刀具旋转坐标系o^uv^r变换到刀具坐标系0旷认艸的坐标转换矩阵为:

（2-15）

切削过程中，刀具做插补运动（直线或曲线），同时绕自身轴线做症转运动.

所以,在刀具运动过程中各刀刃上任一点P在刀具坐标系Ov-UvVvWv下的坐标为:

°°

d

V*

V

5

■

w?

1

1

（2-16）

2.2.2机床主轴燮标系下的刀刃方程

由于机床的制造误差、刀具安装误差和工作时间引起的机床加工精度下降等因素，便切削运动过程中，刀具相对于理想位置产生一定的运动偏差，从而导致刀具坐标系OvWvWv相对于机床主轴坐标系0广期T不重合•主轴运动误差影响工件的端面形状、轴向尺寸蒂度、圆度、圆柱度等，为了更准确地描述表面形貌,将机床主轴的运动误差简化为回转偏心和轴向窜动.

假设主轴冋转偏心振幅为&/】，轴向帘动振幅为M，则刀具中心0“在机床主轴坐标系下的坐标可近似用式（2-17）表示：

uo-&/]COSCAfl）-ftM）

叫=&/]sinCAa,-cut）（2-17）

式中皿——主轴回转偏心的初始相位角（。

）：

Aa2—轴向窜动的初始相位角（。

）；

t—第i次进给开始至当前时刻所经历的时间⑸.

在/时刻刀刃上任一点P由刀具坐标系OvUMv变换到机床主轴坐标系0广〃“F的坐标转换矩阵为：

100cosCAffj-cut）

010Msin（M・〃）

rr~001加曲现-曲）（）

0001

所以.在刀具运动过程中各刀刃上任一点P在机床主轴坐标系OrUV]V下的

坐标为:

2.23工件坐标系下的刀刃方程

（1）机床主轴坐标系原点在工件坐标系下的坐标

在铳削加工中，根据铳刀的旋转方向和切削进给方向之间的关系，可以分为顺铳和逆杭：

当铳刀的旋转力向和工件进给方向相同时称之为顺铳，当铳刀的旋转方向和工件进给方向相反时称之为逆铳。

顺饶的功率消耗要比逆铳时小，同时顺铳也更有利于排屑，所以一般应尽量采用顺铳法加工，以提高被加工零件的表面质13,保证尺寸梢度。

在本研究中.采用顺铳法（图24）.刀具完成一次进刀

后返回再次进刀。

图2-4顺饶

机床主轴坐标系原点在工件坐标系下的坐标可表示为:

（2-20）

式中i——第i次进给戸（1,2,3,.・・）；

4一向切削深度（mm）；

f：

每齿进给量（mm/tooth）；

刀具的直线进给速度（mm/s）,且萨必〃60；

（必,为，zo—刀具第一次直线进给时机床主轴坐标系原点在工件坐标系中

的坐标值。

（2）机床主轴坐标系到匸件坐标系的转换矩阵求解

对于球头铳刀加工而言，刀具轴线与丁件表面法线方向之间的倾角（即加工倾角，文中用"表示）对于工件表面质量和加工梢度犹为重要。

刀具倾斜方向和角度往往决定刀具的使用寿命，若切削过程中加工倾角为冬，那么在球头铳刀刀尖处，切削速度几乎为零，刀尖不是切过而是划过工件表面，且有效容用空间小,从而使加工表面质量变差，加工表面纹理不均匀，导致球头铳刀刀尖位置在较短的时间内快速磨损，从而缩短刀具寿命。

因此，在实际加工中，常使刀具轴线相对干工件表面法向量方向倾斜一定角度，以避免刀尖处的快速磨损.

在铳削加工过程中，大多数情况下，工件坐标系和刀具坐标系既不重合也不平行.为了将球头铳刀刀刃在刀具坐标系下的坐标转换为工件坐标系下的坐标，通常需要进行多次坐标变换。

如图2-5所示，五轴铳削加工时将刀刃方程由机床主轴坐标系QrU冲变换至工件坐标系QrXTZ需进行两次坐标旋转变换：

（1）绕X轴旋转角度血；

（2）绕Z轴族转角度伤。

風和向并不代表加丁倾角，它们的正负号根据右于螺旋定则判断。

图2-5机床生轴坐标系和工件坐标系

设厲、"分别衣示绕X轴和Z轴的旋转变换矩阵，则T|、7i的表达式如式（2-21）

所示:

由机床主轴坐标系卜•转换至工件坐标系下的旋转变换矩阵为:

所以，坐标由机床主轴坐标系至工件坐标系的转换矩阵为:

同理.若刀具只绕工件坐标系中的丫轴向/轴倾斜或绕x轴向y轴倾斜（即

四轴铳削加工人则根据刀具倾斜方向•可以分为以下四种铳削方式，如图2心2・9。

刀具绕工件坐标系中的丫轴向X轴倾斜，其中倾斜角度0的正负号根据右手

螺旋定则判断。

则将刀刃方程由机床主轴坐标系变换至工件坐标系的转换矩阵为:

图2«6刀具向X轴倾料g）图2-7刀具向X轴倾斜®0）

刀具绕工件坐标系中的x轴向y轴倾斜，其中倾斜角度0的正负号根据右手螺礎定则判断。

则将刀刃方程由机床主轴坐标系变换至工件坐标系的转换矩阵为:

（3）工件坐标系下刀刃的一般表达式

根据己求得的各刀刃上任一点P在刀具坐标系OrUWJVu下的坐标和刀具坐

标系到工件坐标系的转换矩阵T,可得切削过程中王件坐标系下刀刃刃点的-般表

（2-26）

达式为:

9Y

X

r、

u

y

=r

V

Z

w

1

1

224刀興相对于工件的运动轨迹

切削平面时球头铳刀切削刃点实际运动轨迹是平摆线.且不同半径处的摆线不同。

当刀具参数及切削参数分别为:

沪0,a=arcsin（l/5）»R=5mm,£=0」8mmAooth,vf=15m/min»a尸0.5mm,ap=O.2mm,y=30°时，球头铳刀两个切削刃上的两个点相对工件的运动曲线如图2-10所示。

图2・10球头铳刀切削刃点轨迹图

23球头铁刀铁削平面时的三维表面形貌

23.1工件樓型的建立

工件模型釆用三维空间网格模型，将工件的待加工表面划分为如图2・11所示的（m-l）x（n-l）个矩阵网格（即林”个网格点）.首先给定每个网格点的X坐标和Y坐标，并初始化每个网格点的Z坐标。

然后利用工件坐标系下刀刃的一•般表达式（2-26）,求解出被切削表面上每个网格点的Z坐标，辰后将毎个网格点上的Z坐标用三维图形农达出来.即可得到三维表面形貌。

图2・11工件模用

在工件表面划分网格时.增加力和n可增大矩阵网格的密度，进而提高仿真

的精度，但如果网格密度太大，计算虽随之增大，形响计算效率；网格密度太小,文不能得到理想的仿貞结果。

因此加和“的值可根据仿貞•楮度的需求进行选择，精度要求高时可以增大加和〃的值：

精度要求低时可以适当减小刃和〃的值，以提奇计算效率。

三维表面形貌的仿真步骤如下：

（!

）将工件沿进给方向（厂方向）的长度厶和径向切削深度方向（X方向）上的长度厶分别划分为（加・1）、（介1）等份，每等份的间距分别为4、必，这样就将工件待加工表面划分成刃"个格子•在这MX”个网格点上用矩阵H［ij］（/=1,2，…,加;7=1,2，…,”）表示工件农面加"个网格点对应位置的高度。

在切削开始之前，该矩阵的初始值均设为轴向切削深度“厂

（2）加工判定：

当刀具切入工件的时候，刀刃对应点的7坐标值代替工件矩阵对应点的初始值，对应网格点的高度值将发生变化，否则，H矩阵不作改变。

（3）在仿真计算过程中不断用刀具上对应的任意点P的Z坐标值代瞽工件矩

阵对应点的值•根据式（2-26）计算出刀刃上点P的Z坐标值，并比较点P的Z坐标值和師一次切削保存的对应网格点的高度值HlhJ］进行比较，当Z<成立时

表示刀刃上点P已切入工件，再用P的Z坐标值代瞽〃矩阵的对应项，最后的〃矩阵即可表示被加工表面三维形貌。

当然，在仿真计算过程中，刃点P不一定恰好落在格子点上，这时就需耍近似，把P靠在与它距离放近的网格点上。

（4）根据H矩阵绘制三维表面形貌。

23.2三维表面形毓仿真算法

建立仿真模型之后，就要利用MATLAB软件对建立的刀具运动模型和工件模型进行几何仿真运算。

在仿真运算的过程中，工件表面用三维空间网格点表示，将刀刃曲线离散处理，计算出合适的时间步长，以既节省系统计算时间，又能达到要求的精度。

保证在单位时间步长内，只有一个网格点落在切削刃微元扌」过的一个空间曲面里.切削过程中，在任意时刻/,比较刀刃曲线和工件表面网格点的付置关系，舍弃刀刃曲线上方的网格点，下方网格点的Z坐标值代替"矩阵中对应位迓的网格点高度值，如图2-12.切削完成之后，由〃矩阵绘制三维表面形貌。

程序流程如图2J3所示。

图2・12保留切削刃掖低点示意图

图2・13算法滾程图

233三錐表面形貌形成

球头铳刀在铳削过程中，一方而沿进给方向做平移运动，一方面绕自身轴线旅转，由于球头铳刀球头部分的球面形状，在连续的两个每齿进给盘周期内，将形成进给方向残留高度.假定球头铳刀相对『工件衣而只做平移运动，不做旋转运动，则在两个相邻的切削行间将形成径向切削深度方向残悄高度。

由图2-14uj见，在球头铳刀沿进给方向运动过程中，两个切削刃依次扫掠过工件表面，使进给方向的表而材料不断的被切除。

如果切削刃I先于切削刃2切fit第1刃切削过后的残留材料由第2刃继续切削,两个切削刃扫过工件表面后宙下的残留材料，则由下一次进给时继续切除。

径向切削深度方向的残留岛度山两次连续的进给扌」掠之后形成。

总之，切削后工件表面上任意一点最终的残留高度都是山若干次连续的切削进给共同扫掠Z后残留在工件表面的材料形成.在每次切削进给后沿径向切削深度方向刀具轴线左右两侧的表面形貌并不对称，这是因为两边切削方式不对称，任轴线左侧切削时相当于逆铳，刀具被拉向工件材料,在轴线右侧切削时相当于顺铳，因此导致加工后的衣111形貌并不对称.

由笫2切刃形成第曲次进给第侨+1次进给

图2・14仿X三维农面形腴

2.4球头铳刀铳削曲面时的运动模型

曲面分为简单曲血和自由曲面：

简单曲面可以用数学解析式表示出來，如球面、椭球面、双曲面等；自由曲面无法用解析式表达，如E机机翼、汽轮机叶片、汽车和船体的外形等。

在模具制造业、航空制造业及其他动力设备制造业领域中，曲面加工具有极其乖要的地位，始终是数控加工业的垂要研究对象和应用对象。

3坐标、4坐标或5坐标数控机床均可完成曲面的加工。

其中3坐标曲面加工应用最为广泛，可采用的刀具有球头铳刀、环形刀、平底立铳刀、鼓形刀和锥形刀等，其特征是刀具轴线在加工过程中始终平行于Z坐标轴①】。

3坐标曲面加工通过逐行进给加工来完成，通过刀具沿各切削行的运动，近似包络出破加工曲面W

本文曲面加工表面形貌的仿真以3坐标曲面加工为例，建立了适用于各类曲面的球头铳刀铳削三维表面形貌仿真模型•相对于平面铳削，曲面铳削建模需要貳新建立机床主轴坐标系原点在工件坐标系下的坐标表达式。

曲而的多坐标加T•中，不管采用何种加工方式，都是通过刀具的线性插补运动逼近被加工曲面来完成的，因而都会产生加工误差W在曲面形貌仿真建模过程中，将刀具的切削运动近似为…系列的线性插补运动.

铳削曲面时机床主轴坐标系原点在工件坐标系下的坐标可表示为：

儿戶儿+vz-cos^[z-r（/_i,0]（2-27）

z/=z。

+z,,+V厂sin9•"-TQ_i,<）]

式中t—从第i次进给开始，至当前时刻所经历的时间（s）；

（xo,JO,zo）—刀具第一次直线进给时机床主轴坐标系原点在工件坐标系中

的坐标值：

a<径向切削深度（mm）；

VJ—刀具的总线进给速度（mm/s）；

dy—将工件衣面均匀划分网格后，进给方向（F方向）上每等份的间距（mm）：

8—切削过程中切削速度方向与XY平面的夹角（了

/i——第i次进给时，机床主轴坐标系原点对应的工件表面沿进给方向第ij个点；

i—第i次间歐进给/=（1,2,3,...）;

T（ii,i）—刀具从第i次进给开始，至刚好经过机床主轴坐标系原点对应的工件表面沿进给方向第/J个点时所经历的时间（s）。

sin0=

其中，

“；+[Z（i」+l,（Xo+Q-l）q）/£+l）-Z（Li,ao+（i-l）q）//+l）]2

Z（Lj+I,（Xo+（i-l）q）/d,+l）-Z（i」ao+（i-】）・&）/d,+l）

（2-28）

所以，球头铳刀铳削过程中，工件坐标系下刀刃任意-点P的一般表达式为:

X

u

y

=r

V

Z

w

1

»«

1

式中r_曲面加工中刀具坐标系到工件坐标系的转换矩阵。

2.5球头铳刀铳削曲面时的三维表面形貌

工件仿貞模型的建立也采用三维空间网格模型。

切削加工前后，理论上加工之后的表面只是加工Z前的表面沿其法向虽向下偏移了-个轴向切削深度的距离.建立工件仿真模型的步骤如下：

（1）在仿貞模型中，将工件坐标系原点固定在初始面的一个顶点上，定义初始面，使其在工件坐标系AT平面内的投影为一个矩形区域；

（2）将初始面沿其法向虽方向向上僞遺•个轴向切削深度的距离，形成偏習面：

（3）将偏置面在工件坐标系中沿x方向和丫方向分别均匀划分成加、〃等份,每等份的间隔分别为dx、dy,计算岀偏置面上每个网格点在工件坐标系下的Z坐标值，并将这些网格点的Z坐标用矩阵//[/,/]（/=1,2，…,2，…,罚表示.

此时，偏牝面的网格点在工件坐标系中的三维坐标便已知了，然后根据所建立的刀具运动模型进行数学计算即可.铳削曲面时的三维表面形貌仿页算法与铳削平面时的三维表面形貌仿真算法一致。

图2・16球头乱刀铳削曲面的仿真三维表面形貌

以螺旋刃球头铳刀作为研究对象，运用图形矩阵变换原理求出切削刃上任怠点的运动轨迹方程，从而紂到刀具运动包络体.通过布尔运算，得到球头铳刀加工平面的三维衣面形貌，并延伸应用到曲面，建立了曲面三维形貌仿真模型。

主要内容如下：

（1）针对两刃球头铳刀球头部分的切削刃进行分析，考虑了冋转偏心利轴向窜动，媳立了刀具坐标系下的刀刃方程.

（2）针对球头铳刀铳削平面的农而形貌仿真，通过一系列的坐标转换，最终求得切削过程中工件唯标系下刀刃的般农达式。

并由表达式生成了刀具相对于工件的运动轨迹。

建立了工件模型，叙述了三维表面形貌仿宾步骤，绘制了仿真算法流程图，根据仿真三维形貌介绍了其形成过程.

（3）针对球头铳刀铳削曲面的表面形貌仿真，建立了3坐标铳削曲面时工件坐标系下刀刃的一般农达式，并建立了丁件模型.