精品讲义七年级上册数学 一元一次方程应用知识点讲解+练习题推荐.docx

精品讲义七年级上册数学 一元一次方程应用知识点讲解+练习题推荐.docx

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精品讲义七年级上册数学一元一次方程应用知识点讲解+练习题推荐

1、知识链接

1.行程问题

（1）慢车每小时行驶48千米，x小时可行驶千米，快车每小时行驶72千米，如果快车先开

小时，那么在慢车开出x小时后快车行驶千米.

（2）路程、时间、平均速度之间有怎样的关系？

路程=___________×_____________；

时间＝___________÷_____________；

平均速度＝___________÷_____________。

2.工程问题

（1）一项工作甲独做5天完成，乙独做10天完成，那么甲每天的工作效率是，乙每天的工作效率是，两人合作3天完成的工作量是，此时剩余的工作量是.

（2）一项工作甲独做a天完成，乙独做b天完成，那么甲每天的工作效率是，乙每天的工作效率是，两人合作3天完成的工作量是，此时剩余的工作量是.

（3）工作量、工作时间、工作效率之间有怎样的关系？

工作量＝___________×_____________；

工作时间＝___________÷_____________；

工作效率＝___________÷_____________.

2、新知预习

自主探究

问题1：

甲、乙两地间的路程为375km.一辆轿车和一辆公共汽车分别从甲、乙两地同时出发沿公路相向而行.轿车的平均速度为90km/h，公共汽车的平均速度为60km/h.它们出发后多少小时在途中相遇？

分析：

（1）线段图

甲乙

（2）等量关系：

_____________+___________=_____________.

（3）设出发后x小时相遇，则：

（4）列方程__________________

解得x=_________________

答：

它们出发后______小时相遇.

【自主归纳】相遇问题中常用的等量关系有：

（1）路程=_______×_________；

（2）_________+___________=____________.

问题2：

一项工作，小李单独做需要6h完成，小王单独做需要9h完成.如果小李先做2h后，再由两人合做，那么还需几小时才能完成？

注意：

通常将完成全部工作的工作量为________.

小李单独做2h完成的工作量

小王、小李合做完成的工作量

总量

分析：

（1）线段图

（2）等量关系：

__________+____________=______________.

（3）设小李和小王合作还需要小时才能完成全部工作，则

（4）列方程__________________

解得_________________

答：

小李和小王合作还需要小时才能完成全部工作.

【自主归纳】工程问题中常用的等量关系有：

（1）工作总量=_______×_________；

（2）通常将工作总量看做__________,则工作效率=__________________.

3、自学自测

1.甲、乙两站相距365km，一列慢车从甲地开往乙地，每小时行驶65km，慢车行驶1h后，另有一列快车从乙站开往甲站，每小时行驶85km，快车行驶几小时后与慢车相遇？

2.某项工作，甲单独做需要4小时，乙单独做需要6小时，如果甲先做30分钟，然后甲、乙合作，问甲、乙合作还需要多久才能完成全部工作？

1、要点探究

探究点1：

相遇问题

例1：

小明家离学校2.9千米，一天小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？

例2：

甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分，乙的速度是240米/分．两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？

例题2、某连队从驻地出发前往某地执行任务，行军速度是6千米/小时，18分钟后，驻地接到紧急命令，派遣通讯员小王必须在一刻钟内把命令传达到该连队，小王骑自行车以14千米/小时的速度沿同一路线追赶连队，问是否能在规定时间内完成任务？

练习：

1、一架飞机飞行两城之间，顺风时需要5小时30分钟，逆风时需要6小时，已知风速为每小时24公里，求两城之间的距离和无风时飞机的速度？

2、甲、乙两人环绕周长是400米的跑道散步，如果两人从同一地点背道而行，那么过2分钟他们两人就要相遇。

如果2人从同一地点同向而行，那么经过20分钟两人相遇。

如果甲的速度比乙的速度快，求两人散步的速度？

【针对训练】

1.甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2.5千米，求乙的速度.

2.甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知跑道一圈长400m，甲每秒钟跑6m，乙每秒钟跑8m，如果甲、乙两人在跑道上相距8m，同时反向出发，那么经过几秒两人首次相遇？

3.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里.

（1）慢车先开出1小时，快车再开.两车相向而行.问快车开出多少小时后两车相遇？

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？

（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？

4.甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？

5.某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时.A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程.

6．有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．

7．已知甲、乙两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲乙的速度？

8．一队学生去军事训练，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以18米/分的速度从队头至队尾又返回，已知队伍的行进速度为14米/分.问：

✍若已知队长320米，则通讯员几分钟返回？

✍若已知通讯员用了25分钟，则队长为多少米？

9．一轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度为2千米/时，求甲、乙两码头之间的距离.

探究点2：

工程问题

例3：

一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？

【针对训练】

整理一批图书，由一个人做要40小时完成。

现在计划由一部分人先做4小时，再增加两人和他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应安排多少人工作？

销售：

1.某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？

优惠价是多少元？

2.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

3.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？

若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为（   ）

A.45%×（1+80%）x-x=50       B.80%×（1+45%）x-x=50

C.x-80%×（1+45%）x=50      D.80%×（1-45%）x-x=50

4．某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折．

5．一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”．经顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价．

6．白云商场购进某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元（销售价与进价的差价2元就是卖出一件商品所获得的利润）．现为了扩大销售量，把每件的销售价降低x%出售，但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%，则x应等于（ ）．

A．1      B．1.8      C．2       D．10

针对性练习：

1一件工作，甲独作10天完成，乙独作8天完成，两人合作几天完成？

2.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

3.一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？

4批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

5.某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件．

6一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？

7．某配件厂原计划每天生产60件产品，改进技术后，工作效率提高20%，这样不仅提前15天完成了生产任务，并且比原计划多生产了48件产品，求原计划要生产多少件产品？

如果设原计划要生产x件产品，那么由题意可得方程为____________．

8．某项工程，甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独做22天，剩下的由甲去完成，问甲、乙一共用几天可完成全部工作？

若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（　　）

A.

＋

＝1B.

＋

＝1C.

＋

＝1D.

＋

＝1

9．元代朱世杰所著的《算学启蒙》里有这样一道题：

“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几日追及之？

”请你回答：

良马________天可以追上驽马．

10．A，B两地相距100千米，甲从A地出发10千米后，乙从B地开始前往A地，4小时后相遇，若甲的速度是乙的速度的

.设甲的速度为x千米/时，则下列方程正确的是（　　）

A．100－4x＝4×

x＋10B．100＋10＝4（x＋

x）

C．4x＋4×

x＋10＝100D．4（x＋

x）＋10＝100

11．某同学骑车从家到学校每分钟行0.25千米，某天回家时，速度提高到每分钟0.3千米，结果提前5分钟回到家．设原来从学校到家需骑x分钟，则列方程为（　　）

A．0.25x＝0.3（x＋5）B．0.25x＝0.3（x－5）

C．0.25（x＋5）＝0.3xD．0.25（x－5）＝0.3x

12．学校到县城有28千米，除乘公共汽车外，还需步行一段路程，公共汽车的速度为36千米/时，步行的速度为4千米/时，全程共需1小时，求步行和乘车所用时间各是多少？

设步行所用时间为x小时，列方程得（　　）

A．36x＋4（1－x）＝28B.

＋

＝28C．36（1－x）＋4x＝28D．36＋4＝

13．一个通讯员骑摩托车要在规定的时间内把文件送到．他骑摩托车的速度是每小时36千米，结果早到20分钟，若每小时30千米，就迟到12分钟，求规定的时间是多少？

这段路程是多少？

14．某班组每天需生产50个零件，才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前三天并超额生产120个零件．若设该班组要完成的零件任务为x个，可列方程为（　　）

A.

－

＝3B.

－

＝3C.

－

＝3D.

－

＝3

15．甲、乙两人由A地到B地，甲比乙每小时多行1千米，甲每小时行10千米，已知乙早出发40分钟，结果甲早到10分钟，那么A，B两地的路程为（　　）

A．40千米B．75千米C．50千米D．55千米

16．某中学的学生自己动手整修操场，如果让八年级学生单独工作，需要6小时完成；如果让九年级学生单独工作，需要4小时完成．现在由八年级、九年级学生一起工作x小时，完成了任务.根据题意，可列方程为________．

17．一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要6天完成，现在由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程一共需要________天．

18．一水池安装有甲、乙两水管：

甲水管为进水管，5小时可把空水池注满，乙水管为出水管，6小时可将满池水放干．若先打开甲水管1小时，然后打开乙水管，还需________小时，空水池将注满．

19．甲、乙两人从A地到B地，甲需30分钟，乙需20分钟，若甲先出发5分钟，则乙追上甲需用________分钟．

20．甲、乙两人在长为400米的环形跑道上跑步，已知甲每秒跑6米，乙每秒跑4米．

（1）若两人同时同地背向而行，经过多少秒两人首次相遇？

（2）若两人同时同地同向而行，经过多少秒两人首次相遇？

20．某车间接到一批加工任务，计划每天加工120件，可以如期完成；实际加工时每天多加工20件，结果提前4天完成任务．则这批加工任务共有多少件？

21．一项工程，甲单独完成需要10天，乙单独完成需要12天，丙单独完成需要15天．若甲、丙先做3天后，甲因故离开，由乙接替甲工作，问乙还需多少天才能完成这项工程？

知能点5：

若干应用问题等量关系的规律

（1）和、差、倍、分问题 此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式.   增长量＝原有量×增长率   现在量＝原有量＋增长量

（2）等积变形问题

常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．

①圆柱体的体积公式   V=底面积×高＝S·h＝

r2h

②长方体的体积   V＝长×宽×高＝abc

1..某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的

.问每个仓库各有多少粮食？

2.一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，

≈3.14）．

3.长方体甲的长、宽、高分别为260mm，150mm，325mm，长方体乙的底面积为130×130mm2，又知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高？

知能点7：

数字问题

（1）要搞清楚数的表示方法：

一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：

100a+10b+c.然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．

（2）数字问题中一些表示：

两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.

1.一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数.

2.一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数.

调配、分配问题专项练习

1.若干本书分给某班同学,如果每人6本则余18本,如果每人7本则缺24本,这个有多少人?

书有多少本?

2.现有一堆苹果,分给若干个小朋友，每人分4个，最后剩下2个；若每人分5个，则缺3个。

问小朋友有多少人？

苹果有多少个？

3.某旅行团到达某一住处，如果安排3人住一间，则有10人无法安排；如果安排4人住一间，则空2张床，问该旅行团一共有多少人？

一共有多少间房间？

4.用若干辆汽车装运一批货物，如果每辆装3.5吨货物，那么这批货物还有2吨不能运走；如果每辆装4吨货物，那么装完这批货物后，还可以装1吨其他货物，则汽车有多少辆？

这批货物有多少吨？

5.某人承包了一项零件加工任务，限期完成，若他每天生产13个，则到期时还差20个零件；若他每天生产16个，则到期时还能多做16个零件，那么生产期限是多少天？

承包加工的零件有多少个？

6.某学校组织春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好做满；如果单独租用60座客车若干辆，则可少租1辆，且余30个座位，该校有多少个学生？

如何租车？

7.甲车间人数比乙车间人数的

少30人，如果从乙车间调10人到甲车间去，那么甲车间的人数就是乙车间的

。

求原来每个车间的人数。

8.甲、乙两书架各有若干本书，如果从乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的书比乙架上所剩的书多5倍，如果从甲架上拿100本书放到乙架上，两架所有书相等。

问原来每架上各有多少书？

9.某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比为1：

8。

今年夏天由于家电购买量明显增多，家电部经理从销售人员中抽调了22人去送货。

结果送货人员与销售人数之比为2：

5。

求这个商场家电部原来各有多少名送货人员和销售人员？

10.某车间有工人85人，平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10人，又知二个大齿轮和三个小齿轮配成一套，问应如何安排劳力使生产的产品刚好成套？

11、服装厂的工人每人每天可以生产4件上衣或7条裤子，一件上衣和一条裤子为一套服装，现有66名工人生产，问应如何分配才能使生产出的上衣和裤子刚好配套

12、某工厂104名工人分别生产甲、乙两种产品，已知每个工人可生产甲种产品8个或乙种产品12个，3个甲种产品与2个乙种产品配成一套，问应分派多少工人生产甲种产品，多少工人生产乙种产品才能使生产出的产品配套？

13、某队有55人，每人每天平均挖土2.5方或运土3方，为合理安排劳力，使挖出的土及时运走，应如何分配挖土和运土人数？

14.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个或盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整数套罐头盒？

15、一张方桌与四张椅子配成一套，如果5个工人每天能制11张椅子，每4个工人每天能制22张方桌，现有工人66人，应怎样合理分配生产椅子和桌子的工人才能使每天生产的方桌和椅子及时配套出厂。

16、生产某种产品需经过两道工序，进行第一道工序时，每人每天可完成90件；进行第二道工序时，每人每天可完成120件。

今有14名工人分别参加这两道工序工作，问应如何安排人员，才能使每天生产的产品数量最多？

17、红光服装厂要生产某种学生服一批，已知每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子，才能恰好配套？

共能生产多少套？

18、某部队派出一支有25人组织的小分队参加防汛抗洪斗争，若每人每小时可装泥土18袋或每2人每小时可抬泥土14袋，如何安排好人力，才能使装泥和抬泥密切配合，而正好清场干净。

19、用铝片做听装饮料瓶，每张铝片可制瓶身16个或制瓶43个，一个瓶身与两个瓶底配成43个，一个瓶身与两个瓶底配成一套，现有150张铝片，用多少张制瓶身多少张制瓶底可以正好制成整套的饮料瓶

20、车间有26名工人生产零件甲和零件乙，每人每天平均生产零件甲120个或零件乙180个，为使零件甲和零件乙按3：

2配套，则需分配多少工人生产零件甲和零件乙？

21、甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。

22、某班女生人数比男生的

还少2人，如果女生增加3人，男生减少3人，那么女生人数等于男生人数的

，那问男、女生各多少人？

23、有甲、乙两个牧童，甲对乙说：

“把你的羊给我1只，我的羊就是你的2倍。

”乙回答说：

“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊就一样多了”，两个牧童各有多少只羊？

24.某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个。

在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件。

已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件．

中等难度工程

例1整理一批图书,由一个人做要40小时完成.现在计划由一部分先做4小时,再增加2人和他们一起做8小时,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,具体应先安排多少人工作?

练习：

1、有一个蓄水池，装有甲、乙、丙三个进水管，单独开甲管，6分钟可注满空水池；单独开乙管，12分钟可注满空水池；单独开丙管，18分钟可注满空水池，如果甲、乙先齐开3分钟，然后由乙、丙齐开，需几分钟可注满空水池？

2、一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要20天完成,两队同时工作3天后,乙队采用新技术,工作效率提高了25%,自乙队采用新技术后,两队还需要同时工作多少天才能完成这项工程?

3、一部稿件，甲打字员单独打20小时可以完成，甲、乙两打字员合打，12小时可以完成。

现在由两人合打7小时，余下部分由乙完成，还需多少小时？

4、某公司须制作一块户外广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成需4天，徒弟完成需6天，回答下列问题：

（1）师徒合作需要几天完成？

（2）现由徒弟先做一天，在两人合作，完成后共得报酬450元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配呢

三、分配问题：

例1：

若干本书分给某班同学,如果每人6本则余18本,如果每人7本则缺24本,这个有多少人?

书有多少本?

例2：

现有一堆苹果,分给若干个小朋友，每人分4个，最后剩下2个；若每人分5个，则缺3个。

问小朋友有多少人？

苹果有多少个？

例3：

某旅行团到达某一住处，如果安排3人住一间，则有10人无法安排；如果安排4人住一间，则空2张床，问该旅行团一共有多少人？

一共有多少间房间？

练习：

1、用若干辆汽车装运一批货物，如果每辆装3.5吨货物，那么这批货物还有2吨不能运走；如果每辆装4吨货物，那么装完这批货物后，还可以装1吨其他货物，则汽车有多少辆？

这批货物有多少吨？

2、某人承包了一项零件加工任务，限期完成，若他每天生产13个，则到期时还差20个零件；若他每天生产16个，则到期时