高等数学同济第七版版下册习题全解.docx
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高等数学同济第七版版下册习题全解
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高等数学同济第七版版下册习题全解
y
2
D2
-1
O
iT
-2
图10-1
数,故
/,=Jj(x2+y1)3d(j=2jj(x2+y1)3dcr.
fhi)i
又由于d3关于;t轴对称,被积函数(/+r2)3关于y是偶函数,故jj(x2+j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2.
Dy1):
从而得
/,=4/2.
(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意:
如果积分区域关于^轴对称,而被积函数/(x,y)关于y是奇函数,即fix,-y)=-f(x,y),PJ
jf/(x,y)da=0;
D
如果积分区域D关于:
k轴对称,而被积函数/(x,y)关于:
c是奇函数,即
/(~x,y)=-/(太,y),则
=0.
D
3.利用二重积分定义证明:
(1)jjda=(其中(7为的面积);
IJ
(2)JJ/c/(X,y)drr=Aj|y’(a:
,y)do■(其中A:
为常数);
on
(3)JJ/(x,y)clcr=JJ/(x,y)drr+jJ/(x,y)dcr,其中/)=/)!
U/)2,,A为两个
I)b\lh
尤公共内点的WK域.
证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得
n"
jj'ltr=Hmy^/(,rji)A =limcr=a. A—0 n (2)Ji/(x,j)(Ic7=lim^ i)1 n =Alimy/(^(,i7,)A(7-,=k\\f{x,y)Aa. A-°台{! (3)因为函数/U,y)在闭区域/)上可积,故不论把£? 怎样分割,积分和的极限总是不变的.因此在分割D时,可以使和/)2的公共边界永远是一条分割线.这样在AUD2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和,记为 ^/(^,,17,)Act,=^/(^,,17,)Act,+^/(^,,17,)Act,. /)(U0,",l): 令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限,即得Jf(x,y)i\a=jjf(x,y)da+JJ/(xfy)da. p,un}V,n; Sa4.试确定积分区域/),使二重积分][(1-2x2-y2)dly达到最大值. I) 解由二重积分的性质可知,当积分区域/>包含了所有使被积函数1-V2大于等于零的点,而不包含使被积函数1-2/-y2小于零的点,即当£? 是椭圆2/+y2=l所围的平面闭区域时,此二重积分的值达到最大. &5.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小: (1)Ju+y)2山7与J[U,其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A+.、= DI) 1所围成; (2)J(x+7)2如与■,其中积分区域0是由圆周(.r-2)2+(.v-l)2= t)n 2所围成; (3)I'mA;+y)(lor与! "[In(X+y)]2(1(7,其中Z>是三角形闭K域,三顶点分别为 l)" (1,0),(1,1),(2,0); (4)Jpn(: r+y)dcr与In(: t+y)]2fW,其中/)=|(.r,.v)|3,0彡、彡1. i)i) 解 (1)在积分K域0上,故有 (x+j)3^(x+y)2. 根据二重积分的性质4,可得 J(.r+y)\lrx^J(.\+v) 0D (2)由于积分区域0位于半平面|(a: ,V)|.V+、 (3)彡11内,故在/)|: &(.f+y)2彡(a+y)3 (4)从『(" (5)J(v+>): drr^jj(x+y)\lfr. (6)由于积分区域D位于条形区域1U,y)|1彡1+7彡2丨内,故知区域/)上的点满足0彡InU+y)彡1,从而有[lnU+y)]2彡lnU+.y).因此 jj[ln(a: +y)]2(Jo-^+y)d (7)由于积分区域/)位于半平面丨(x,y)|.v+y彡e|内,故在Z)上有ln(x+y)彡1,从而: In(-v+)')]2彡In(: c+)').因此 Jj^1n(.r+y)]2dcr^Jln(x+y)da. i)a 36.利用二重积分的性质估计下列积分的值: (1)/=|^7(文+7)心,其中/)=\(x,y)1,01|; n (2)/=j^sin^sin^do■,其中/)=j(a: y)|0^^^tt,0^y^tt1; i) (3)/=J*(A: +y+l)d(7,其中/>={{x,y)|0^x^l,0^j^2[; it (4)/=J(x2+4y2+9)do,其中D=\{x,y)\x2+y2^4|. I) 解 (1)在积分区域D上,0矣;<: 矣1,0英y矣1,从而0矣巧(*+y)矣2又£? 的面积等于1,因此 (2)在积分区域/)上,0矣sinj: 矣1,0^sin1,从而0彡sin2A: sin2y彡1,又0的面积等于tt2,W此 (3) 在积分K域"上有\^x+y+\4,/)的而积等于2,因此 (4) (5)W为在积分K域/>? 上有0矣;t2+y2苳4,所以有 9^+4r2+9^4(x2+y2)+9矣25. 34I)的酣枳等于4tt,W此 36tt^[[(x2+4/+9)(Ur^lOO-ir. 二重积分的计算法 .^1.计算下列二甩积分: &2._出枳分ix: 域,斤i卜r): v列m分: (1)J^^do■,其中/)是由两条抛物线7=v^,y=*2所围成的闭区域; D (2)jfxy2dcr,其中D是由圆周x2+J2=4及y轴所围成的右半闭区域; I) (3)JV+'dcr,其中/)=I(%,) )||A;|+|J|^1! ; D (4)|"U2+/-x) l、y二xh: 2*所围成的闭区域. D 解 (1)0可用不等式表示为 x2^y^J^,0矣x矣1(图10-2). 于是 (2) 0^^/4-y2,-2矣7矣2(图10-3), D可用不等式表示为 (3)如阁I()-4,W=/\U"2,其中 />1=\(x,y)\-x-\^y^Jc+1,-1^a;^0|, I)2=\(x,y)|*-1+ 因此 Ea3.如果二重积分|/(.r,y)心办的被积函数/(x,v)是两个函数/](O及)的乘 n 积,即/(X,y)=f\(x)./“y),积分区域/)={(.V,y)I(1^V^/>,r^,证叫 这个二重积分等于两个单积分的乘枳,即 |*/|U)-/2(r)flatly=[J/,(.v)]-[[/: (>)^v]- 证Jj./1(x) .,2(/)dvdV~J[fJ\(v)■./: t^]l^x* 在上式右端的第一次单枳分f/,(.V) /2(.V)dv中,./,(A.)1Jfut变招: 、无关,nn见为常数提到积分5外,W此上式“端笏T 而在这个积分中,由于f/2(y)dy为常数,故又可提到积分号外,从而得到 f2<,y)^xAy=[|/2(y)dj]-[Jn/,(x)dx] 证毕. ^4.化二重积分 /=Jf(x,y)da I) 为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域£>是: (1)由直线及抛物线y2=4x所围成的闭区域; (2)由x轴及半圆周/+y2=r2(y英0)所围成的闭区域; (3)由直线y=x,;c=2及双曲线: k=^-(*>0)所围成的闭区域; X (4)环形闭区域IU,y)|1+y2^4(. 解 (1)直线y=x及抛物线y2=4;c的交点为(0,0)和(4,4)(图10-6).于是 fix /=j[dy^/(*,y)tk. f(x,y)dy, (2)将/)用不等式表示'fyO^y^r2-x2,-r^W/,于是可将/化为如下的先对y、后对*的二次积分: r /=J(1文Jf(x,y)(\y; 如将0叫不等式表示为~Vr2-y2^x^Vr2-y2,0各/ ,则可将/化为如卜的先对*、后对y的二次枳分: (2,2).于是 dy(i_/(^,y)+tlj/(x,y)dx. |dxj[f(x,y)dy. 注本题说明,将二重积分化为二次积分时,需注意根据积分区域的边界曲线的情况,选取恰当的积分次序.本题中的积分区域/)的上、下边界曲线均分别由—个方程给出,而左边界曲线却分为两段,由两个不同的方程给出,在这种情况下采取先对y、后对^的积分次序比较有利,这样只需做一个二次积分,而如果采用相反的枳分次序则需计算两个二次积分. 需要指出,选择积分次序时,还需考虑被积函数/U,y)的特点.具体例子n]'见教材下册第144页上的例2. (4)将D按图10-8(a)和图10-8(1>)的两种不同方式则分为4块,分别得 图10-8 5.设/U,y)在D上连续,其中/)是由直线;==所围成的闭区 域,证明 dx|f(x,y)Ay 证等式两端的二次积分均等于二重积分J/U,y)do,因而它们相等. I) ^6.改换下列二次积分的积分次序: (2)J)dj|: f(x,y)dx; 解(丨)所给二次积分等于二重积分J[/U,;k)(^,其中o=丨h,y)1°^^^r- " 0^j^I(./>n|■改写为|Uj)|*矣y矣1,0^^I|(罔10-9),于是 原式=丄 (2)所给一.次枳分等于二'Ti积分|/U,y)山,.K: 中/)=I|.y2^^<2y, 0 0^21.MI)njm为{u’y)I音矣j^7^,0^x在4)(1冬11(>-I0),W此 原式=J,i\xjy/(x,y)i\y. (3)所给二次积分等于二重积分.其中D=: (.|-V1 U X^J1-y2,0彡>? 彡1;又D可表示为: (JC,)*)丨0彡y彡V1-.r2,-1=(图10-11),因此 f1fV1-X~ 原式=J^dxj/(x,v)dy. (4)所给二次积分等于二重积分其中D=: (.'2- h s/lx-x1%\彡.r彡2: .又D可表示为: (a: v)|2-1彡.t彡1+Y1—v2,0: (图10-12),故 原式=丄d)jf(x%y)dx. (5)所给二次积分等于二重积分]|/(.10)(1^,)1: 中/)=1(.|0^v^ I) x彡e| 又/)可表示为|(a: ,>) |e、彡a彡e,0彡、彡1i(|劄10-1,故 原式=L(I.、|,./X.、,.、). (6)m1()-14,将积分|><: 域/)丧示为/),U/)2,其中A),=jU,、)|arcsin>^ ^7.设平面薄片所占的闭区域D由直线;t=2,y=和;r轴所围成,它的面密度 /x(.t,v)=x2+y2,求该薄片的质量. 解D如图10-15所示.所求薄片的质 M=jJ/Lt(x9y)dcr=^dyj(x2+y2)dx r[+(2”)3+2, 12 |冬|10-15 8.i|灯|l|四个平而a: =0,y=0,;t=I,v=I所闲成的柱休被平面z=0及+3y+z6藏得的立休的体积. 解江力一EJ.它? 芪是;c0: .S二苎泛7: 省。 =X.;,0矣二矣 0^;.€1.了是芒-2x-3: .F10-]6.g-护不二歹 l=|(6-2j: -3;.dxdv=dx6-lx-5. d'. Sa9.求由平面a: =0,y=0,^+: , =]所围成的柱体被平面z=0及拉物面;c: ,: .: =6-: £.得的」/.体的体积. 解此立体为一曲顶柱体,它的底是xOv面上的闭区域D=.0 ^1-: ,. ,顶是曲面Z=f)- V-(I6-^x2+y2)dx(\y 6(1-x)-x2+——f1 广1广1-戈 dx^(6-x~ 这10.求由曲面+2/及z=6-2x2_y2所围成的立体的体积. _2^2 解由=T+'}'消去z,得;c2+y2=2,故所求立体在面上的投影U=6-2x2-j2 区域为 D=|(x,y)|x2+〆矣2|(图10-18).所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差: V=(6-2x2-y2)dcr—x2+2y2)dcr l)I) =JJ(6-3^r2-3y2)da=jj(6-3p2)pdpd0 /-2tt d0[(6-3p2)pdp=6tt. 注求类似于第8,9,10题中这样的立体体积时,并不一定要画出立体的准确图形,但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域,并知道立体的底和顶的方程,这就需要复习和掌握第八章中学过的空间解析几何的有关知识 y11.両出积分区域,把积分J[/(A: ,y)d;cdy表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区 U 域D是: (1)\(xyy)\X2+y2^a2I(a>0); (2)|{xyy)\x2+y2^2^|;
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- 高等数学 同济 第七 下册 习题