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初二数学知识整理
11.1与三角形有关的线段
1.由不同一条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形
2.顶点是A,B,C的三角形,记作△ABC,读做三角形ABC
3.三角形两边的和大于第三边
4..三角形两边的差小于第三边
5.从△的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高
6.连接△ABC的顶点A和他所对的边BC的中点D,所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的高
7.三角形的三条中线交于一点,三角形三条中线的交点叫做三角形的重心
8.画∠A的平分线AD,∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线
9.三角形具有稳定性
11.2
10.三角形的内角和等于180°
11.直角三角形两个锐角互余
12.有两个角互余的三角形是直角三角形
13.三角形的一边与另一边的延长线,叫做三角形的外角
14、 多边形的定义:
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
15.三角形的外角等于与他不相邻的两个内角的和
16.由n条线段组成的角叫n边形三角形、四边形都属于多边形,其中三角形是边数最少的多边形
17.各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等
18.多边形的对角线:
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.
19.从n边形一个顶点可以引(n-3)条对角线,将多边形分成(n-2)个三角形
20.n边形共有n(n-3)÷2条对角线
21.公式:
边形的内角和为180°
22多边形的外角和等于360°
23.多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角,所以n边形的内角和加外角和为180°
(3):
全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定
边边边:
三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”) 边角边:
两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)
角边角:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”)
角角边:
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”)
斜边.直角边:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“HL”)
4、证明两个三角形全等的基本思路:
二、角的平分线:
1、(性质)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2、(判定)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题:
(1):
要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与 “对角”的不同含义;
(2):
表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上;
(3):
“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等;
(4):
时刻注意图形中的隐含条件,如 “公共角” 、“公共边”、“对
顶角”
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
两个三角形全等时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。
夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
2、全等三角形的表示和性质
全等用符号“≌”表示,读作“全等于”。
如△ABC≌△DEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注:
记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理:
(1)边角边定理:
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)
(2)角边角定理:
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)
(3)边边边定理:
有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。
直角三角形全等的判定:
对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”) 4、全等变换
只改变图形的位置,二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种:
(1)平移变换:
把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
(2)对称变换:
将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。
(3)旋转变换:
将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。
第十二章 轴对称
一、轴对称图形
1. 把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
4.轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线
1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上 三
、
用
坐
标
表
示
轴
对
称
小
结
:
在平面直角坐标系中,关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为
4.轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线
1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上 三
、
用
坐
标
表
示
轴
对
称
小
结
:
在平面直角坐标系中,关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为
相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等
四、(等腰三角形)知识点回顾 1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
(三线合一) 2、等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。
(等角对等边)
五、(等边三角形)知识点回顾 1.等边三角形的性质:
等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于600 。
2、等边三角形的判定:
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
3.在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
1、等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的性质定理及推论:
定理:
等腰三角形的两个底角相等(简称:
等边对等角)
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论:
定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:
等角对等边)。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1:
三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2:
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形性质 等腰三角形判定 中线
1、等腰三角形底边上的中线垂直底边,平分顶角;
2、等腰三角形两腰上的
1、两边上中线相等的三
角形是等腰三角形; 2、如果一个三角形的一
边中线垂直这条边
知识点一:
分式的定义
一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式
子BA
叫做分式,A
为分子,B为分母。
知识点二:
与分式有关的条件 ①分式有意义:
分母不为0(0B) ②分式无意义:
分母为0(0B)
③分式值为0:
分子为0且分母不为0(00BA )
④分式值为正或大于0:
分子分母同号(00BA或
00BA)
⑤分式值为负或小于0:
分子分母异号(00BA或
00BA)
⑥分式值为1:
分子分母值相等(A=B)
⑦分式值为-1:
分子分母值互为相反数(A+B=0) 知识点三:
分式的基本性质
分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。
字母表示:
CBCABA,CBC
ABA,其中A、B、C是整式,C0。
拓展:
分式的符号法则:
分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,即
BBABBAAA
注意:
在应用分式的基本性质时,要注意C0这个限制条件和隐
含条件B0。
知识点四:
分式的约分
定义:
根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。
步骤:
把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。
注意:
①分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分。
知识点四:
最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。
知识点五:
分式的通分
① 分式的通分:
根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。
② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义:
取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤:
Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数;
Ⅱ 单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式;
Ⅲ 相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。
注意:
分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。
知识点六分式的四则运算与分式的乘方 ① 分式的乘除法法则:
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
式子表示为:
dbcadcba
分式除以分式:
把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
式子表示为
cc
bdadbadcba
② 分式的乘方:
把分子、分母分别乘方。
式子 n
nn
baba
③ 分式的加减法则:
同分母分式加减法:
分母不变,把分子相加减。
式子表示为
cbacbca
异分母分式加减法:
先通分,化为同分母的分式,然后再加减。
式子表示为
bdbcaddcba
整式与分式加减法:
可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为1的分式,再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减,同级运算中,谁在前先算谁,有括号的先算括号里面的,也要注意灵活,提高解题质量。
注意:
在运算过程中,要明确每一步变形的目的和依据,注意解
题的格式要规范,不要随便跳步,以便查对有无错误或分
析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。
知识点六整数指数幂
① 引入负整数、零指数幂后,指数的取值范围就推广到了全体实数,并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。
即 任何不等于零的数的零次幂都等于1)
其中m,n均为整数。
科学记数法 若一个数x是0 的数,则可以表示为n 10a(10a1,即 a的 整数部分只有一位,n为整数)的形式,n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。 如0.000000125=-7 101.25 若一个数x是x>10的数则可以表示为n10a(10a1,即a 的整数部分只有一位,n为整数)的形式,n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。 如120 000 000=8 101.2 7个0 9个数字 知识点七分式方程的解的步骤 ⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。 (产生增根的过程) ⑵解整式方程,得到整式方程的解。 ⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中: 如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0,则是原方程的解。 产生增根的条件是: ①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。 知识点八列分式方程 基本步骤 ① 审—仔细审题,找出等量关系。 ② 设—合理设未知数。 ③ 列—根据等量关系列出方程(组)。 ④ 解—解出方程(组)。 注意检验 ⑤ 答—答题。
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